第四章 第7节 解三角形应用举例（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

第7节　解三角形应用举例 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． [对应学生用书P101] 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1). (2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等． (3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图2). (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． (1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． (2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 二、易误易混澄清 1．(方向角、方位角的概念不清)点A在点B的南偏西20°方向上，若以点B为基点，则点A的方位角是 . 答案：200°　解析：根据方位角的概念可得点A的方位角为200°. 2．(仰角、俯角的概念不清)若某人在点A处测得塔顶端的仰角为30°，此人往塔的方向走了80米到达点B处，测得塔顶端的仰角为45°，则塔的高度约为 米．(忽略人的身高，结果保留整数，≈1.732) 答案： 109　解析：如图，设CD为塔，由题知AB＝80米．设CD＝h米，则BC＝h米，则由已知得(80＋h)×tan 30°＝h，解得h＝40(＋1)≈109(米). 一、教材典题改编 1．(人教A版必修第二册P49例9改编)设点A，B在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为(　　) A． m B．25 m C．50 m D．50 m 答案：C 2.(人教A版必修第二册P49例10改编)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝ ． 答案：a 3．(人教A版必修第二册P51T1改编)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为 km. 答案：－1 [对应学生用书P102] 考点一　测量距离问题 [例1] 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，在岸边取相距4 km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为(　　) A． km B． km C． km D．2 km B　解析：在△ACD中，∠CAD＝180°－75°－45°－30°＝30°，∠ACD＝75°＋45°＝120°，由正弦定理得＝，则AD＝＝＝4.在△BCD中，∠CBD＝180°－45°－45°－30°＝60°，∠BCD＝45°，由正弦定理得＝，则BD＝＝ ＝.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB＝48＋－2×4××＝，可得AB＝，则A，B间的距离为 km. 测量距离问题的解题步骤 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理求解，如果都可用，那么就选择更便于计算的定理． 训练1 (1)如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，1小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离约为(　　) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 C　解析：由题设可知∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，且AB＝40海里，在△ABC中＝，则BC＝＝＝20海里． (2)现要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的北偏东30°方向上，若A地的地动仪正东方向的铜丸落下，B地的地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东方向的 km处． 答案：100(＋1)　解析：如图，设地震的位置在C处，由已知得AB＝200 km，A＝60°，B＝75°，C＝45°.根据正弦定理可得＝，又sin 75°＝sin (45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝，所以AC＝＝＝100(＋1)(km)，所以地震的位置在A地正东方向的100(＋1)km处． 考点二　测量高度问题 [例2] 如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处测得M到楼地面底部点N的距离MN为40(2－)m，假设电视塔底部为E点，顶部为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M、电视塔顶部F的仰角分别是α＝15°和β＝60°，在阳台M处测得电视塔顶部F的仰角γ＝45°，假设EF，MN和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高EF为(　　) A．120 m B．90 m C．40 m D．(80－120)m A　解析：在Rt△PMN中，PM＝，在△FPM中，∠FMP＝45°＋15°＝60°，∠FPM＝180°－60°－15°＝105°，则∠MFP＝180°－105°－60°＝15°，由正弦定理得＝，则PF＝·MP＝·＝×＝.在Rt△PEF中，EF＝PF·sin 60°＝·sin 60°＝×＝120(m). 测量高度的关注点 (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线之间的夹角． (2)要根据题意正确画出图形，同时空间图形和平面图形要区分开，以免影响解答． 训练2 (1)如图，学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度，在地面上选取相距120米的两点M，N，若在M，N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角约为60°和30°，则该圆柱状建筑物的高度约为(　　) A．60米 B．60米 C．30米 D．30米 B　解析：设圆柱状建筑物的高度为h，则有－＝120，即h＝120，所以h＝60. (2)矗立在上饶市市民公园(如图1)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．如图2，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为，，，且AB＝BC＝20 m，则四门通天铜雕的高度为(　　) A．15 m B．10 m C．6 m D．5 m B　解析：设OP＝h，则OA＝h，OB＝h，OC＝h，在△ABO中，由余弦定理得cos ∠ABO＝＝，在△BCO中，由余弦定理得 cos ∠OBC＝＝，因为∠ABO＋∠OBC＝π，所以＋＝0，即800－h2＝0，解得h＝10，所以四门通天铜雕的高度为10 m． 考点三　测量角度问题 [例3] 某渔船在航行过程中不幸遇险，发出求救信号，我国海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得该渔船正沿方位角为105°的方向以10海里/时的速度向小岛靠拢，我国海军舰艇立即以10海里/时的速度沿直线前去营救，恰好在B处追上渔船，求舰艇航行的方位角和追上渔船所需的时间． 解：如图所示， 设所需时间为t小时，舰艇与渔船在B处相遇，则AB＝10t海里，CB＝10t海里， 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°， 即(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t cos 120°， 整理得2t2－t－1＝0，可得t＝1(负值舍去)， 所以舰艇需1小时追上渔船．AB＝10海里， CB＝10海里， 在△ABC中，由正弦定理得＝， 所以sin ∠CAB＝＝＝，又在△ABC中，∠ACB＝120°， 所以∠CAB＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°. 测量角度的思路 (1)先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知和所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键和最主要的一步． (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，再确定使用正弦定理还是余弦定理解决问题． 训练3 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　) A． B．－2 C．－1 D．－1 C　解析：在△ABC中，∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－15°－135°＝30°，由正弦定理知＝，故BC＝＝＝50(－)，在△BDC中，＝，故＝，∴sin ∠BDC＝－1， 即sin (θ＋90°)＝－1，即cos θ＝－1. [课时训练(33)见P252] 学科网（北京）股份有限公司 $$