第四章 第4节 三角函数的图象与性质（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

第4节　三角函数的图象与性质 1．能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象． 2．了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大(小)值．(重点) 3．借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质． [对应学生用书P87] 一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 1．在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． 2．在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)． 二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R，且x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正 周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增 区间 [2kπ－，2kπ＋] [2kπ－π，2kπ] (kπ－，kπ＋) 递减 区间 [2kπ＋，2kπ＋] [2kπ，2kπ＋π] 无 对称 中心 (kπ，0) (kπ＋，0) (，0) 对称轴 方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). (2)若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). (3)若y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为(　　) A． 3　　　B．4　　　C．6　　　D．8 追根 溯源 (人教A版必修第一册P237例1)画出函数y＝2sin (3x－)的简图 发现 感悟 高考题与教材例题考查角度完全相同，函数解析式都相同，考查“五点法”作图，进一步说明复习时注重教材的必要性 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P206例4改编)下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D．cos 10°＜sin 168°＜sin 11° C　解析：sin 168°＝sin (180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°，∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°. 2．(人教A版必修第一册P214T10改编)函数y＝cos (x＋)，x∈[0，]的值域是 ． 答案：[－，]　解析：由x∈[0，]得x＋∈[，]，所以y＝cos (x＋)∈[－，]. 3．(人教A版必修第一册P214T16改编)函数f(x)＝sin (2x－)，x∈R的单调递减区间是 ． 答案：[＋kπ，＋kπ](k∈Z)　解析：由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z). 4．(人教A版必修第一册P213T4改编)函数y＝3－2cos (x＋)的最大值为 ，此时x＝ ． 答案：5　＋2kπ(k∈Z)　解析：函数y＝3－2cos (x＋)的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z). 三、易误易混澄清 1．(易直接用T＝得最小正周期)函数y＝3sin (ax＋)的最小正周期是π，则a＝ . 答案：±2　解析：因为＝π，所以|a|＝2，所以a＝±2. 2．(忽视正、余弦函数的有界性)函数y＝－sin2x＋3sinx－1的最大值为 ． 答案：1　解析：∵y＝－sin2x＋3sinx－1＝－(sin x－)2＋，sin x∈[－1，1]，∴当sin x＝1时，ymax＝1. 第一课时　三角函数的定义域、值域及单调性 [对应学生用书P88] 考点一　三角函数的定义域 [例1] (1)函数y＝的定义域为(　　) A．(－＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z) B．[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) C．(＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z) D．[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) (2)函数y＝2tan (3x＋)的定义域为 ． 答案：(1)D　(2){x|x≠＋，k∈Z}　 解析：(1)要使函数有意义，需sin x－cos x≥0，即sin x≥cos x，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，故原函数的定义域为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z). (2)由3x＋≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以函数y＝2tan (3x＋)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}． 求函数定义域的关键 求三角函数的定义域，关键是构造简单的三角不等式(组)，有时候还需要借助三角函数图象求解． 训练1 函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z) B．(2kπ－，2kπ)∪(2kπ，2kπ＋](k∈Z) C．(kπ－，kπ＋)(k∈Z) D．(kπ－，kπ)∪(kπ，kπ＋)(k∈Z) B　解析：由函数式知 ∴即x∈(2kπ－，2kπ)∪(2kπ，2kπ＋](k∈Z). 考点二　三角函数的值域(最值) [例2] (1)(2025·天津和平区期中)函数f(x)＝sin x＋cos x在区间[0，]上的最小值为(　　) A． B． C．1 D．2 (2)已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin x cos x＋2，则(　　) A．f(x)的最大值为3，最小值为1 B．f(x)的最大值为3，最小值为－1 C．f(x)的最大值为3＋，最小值为 D．f(x)的最大值为3＋，最小值为3－ (1)C　(2)C　解析：(1)f(x)＝sin x＋cos x＝2(sin x＋cos x)＝2sin (x＋)，因为x∈[0，]，所以x＋∈[，]，则2sin (x＋)∈[1，2]，所以f(x)在[0，]上的最小值为1. (2)因为函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin x cos x＋2，设t＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，t∈[－，]，则2sin xcos x＝t2－1，所以f(t)＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋，t∈[－，].当t＝－时，f(t)min＝；当t＝时，f(t)max＝3＋. 求解三角函数的值域(最值)的常见类型 (1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值). (2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值). (3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值). 训练2 (1)如果函数f(x)＝sin (x＋)＋＋a在区间[－，]上的最小值为，则a的值为(　　) A． B． C． D． A　解析：因为当x∈[－，]时，x＋∈[0，]，所以sin (x＋)∈[－，1]，当x＝时，sin (x＋)有最小值－，可得f(x)＝sin (x＋)＋＋a的最小值为－＋＋a＝，解得a＝. (2)当x∈[，]时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为 ． 答案：[，2]　解析：因为x∈[，]，所以sinx∈[－，1].又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2(sinx－)2＋，所以当sin x＝时，ymin＝；当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为[，2]. 考点三　三角函数的单调性及应用 考向1　求三角函数的单调区间 [例3] 已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在(－，－)上单调递减 B．f(x)在(－，)上单调递增 C．f(x)在(0，)上单调递减 D．f(x)在(，)上单调递增 C　解析：依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.对于A选项，因为x∈(－，－)，所以2x∈(－π，－)，函数f(x)＝cos 2x在(－，－)上单调递增，所以A选项错误；对于B选项，因为x∈(－，)，所以2x∈(－，)，函数f(x)＝cos 2x在(－，)上不单调，所以B选项错误；对于C选项，因为x∈(0，)，所以2x∈(0，)，函数f(x)＝cos 2x在(0，)上单调递减，所以C选项正确；对于D选项，因为x∈(，)，所以2x∈(，)，函数f(x)＝cos 2x在(，)上不单调，所以D选项错误． 已知三角函数解析式求单调区间的方法 代换法 将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调性列不等式求解 图象法 画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间 考向2　已知三角函数的单调性求参数问题 [例4] 若f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间[－，]上单调递增，则ω的取值范围是 . 答案：(0，]　解析：方法一(反子集法)　因为x∈[－，]，ω>0， 所以ωx∈[－ω，ω].因为f(x)＝2sin ωx在[－，]上单调递增，所以(ω>0)，故0<ω≤. 方法二(数形结合法)　画出函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)的图象如图所示． 要使f(x)在[－，]上单调递增，需(ω>0)，即0<ω≤. 方法三(子集法)　由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间是[－＋，＋](k∈Z).由题意[－，]⊆[－＋，＋](k∈Z，ω>0)，从而有(ω>0)，即0<ω≤. 由单调区间求参数范围的方法 子集 法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解 反子 集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解 周期 性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 训练3 (1)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是(　　) A． B． C． D．π A　解析：f(x)＝cos x－sin x＝－sin (x－).当x－∈[－，]，即x∈[－，]时，y＝sin (x－)单调递增，则f(x)＝－sin (x－)单调递减．因为函数f(x)在[－a，a]上单调递减，所以[－a，a]⊆[－，]，所以0<a≤，所以a的最大值是. (2)若函数y＝tan (ωx＋)在[－，]上单调递减，且在[－，]上的最大值为，则ω＝ ． 答案：－　解析：因为函数y＝tan (ωx＋)在[－，]上单调递减，所以ω<0，≥，则－≤ω<0.又函数在[－，]上的最大值为，所以－ω＋＝＋kπ，k∈Z，即ω＝－－3k，k∈Z，所以ω＝－. [课时训练(28)见P236] 第二课时　三角函数的奇偶性、周期性及对称性 [对应学生用书P90] 考点一　三角函数的奇偶性 [例1] (1)已知函数f(x)＝cos x－2cos2(－)＋1，则下列说法正确的是(　　) A． y＝f(x－)为奇函数 B． y＝f(x－)为偶函数 C． y＝f(x＋)－1为奇函数 D． y＝f(x＋)－1为偶函数 (2)函数f(x)＝3sin(2x－＋φ)，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为(　　) A． B． C． D． (1)B　(2)C　解析：(1)f(x)＝cos x－2cos2(－)＋1＝cosx－2×＋1＝cos x－sin x＝cos (x＋).f(x－)＝cos [(x－)＋]＝cos x，所以y＝f(x－)为偶函数，故A错误，B正确；y＝f(x＋)－1＝cos (x＋)－1＝－sin x－1，所以函数y＝f(x＋)－1为非奇非偶函数，故CD错误． (2)因为f(|x|)＝f(x)，所以函数f(x)＝3sin (2x－＋φ)是偶函数．所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z.因为φ∈(0，π)，所以φ＝. 判断三角函数奇偶性的方法 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式． 训练1 (2024·沧州模拟)若函数f(x)＝cos (2x＋＋φ)(φ>0)为奇函数，则φ的最小值为 . 答案：　解析：因为函数f(x)＝cos (2x＋＋φ)(φ>0)为R上的奇函数，所以f(0)＝cos (＋φ)＝0，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又φ>0，所以φ的最小值为. 考点二　三角函数的周期性 [例2] (1)(2025·八省高考综合改革适应性演练)函数f(x)＝cos (x＋)的最小正周期是(　　) A． B． C． π D．2π (2)(2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω>0).已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A． 1 B．2 C． 3 D．4 (1)D　(2)B　解析：(1)依题意，f(x)的最小正周期T＝＝2π. (2)由题意可知，x1为f(x)的最小值点，x2为f(x)的最大值点，则|x1－x2|min＝＝，即T＝π，且ω>0，所以ω＝＝2. 1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法． (2)公式法：函数y＝A sin (ωx＋φ)(y＝A cos (ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝. (3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期． 2．有关周期的2个结论 (1)函数y＝|A sin (ωx＋φ)|，y＝|A cos (ωx＋φ)|，y＝|A tan (ωx＋φ)|的最小正周期均为T＝. (2)函数y＝|A sin (ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|A cos (ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝. 训练2 (1)(多选)下列函数最小正周期为π的是(　　) A． y＝cos |2x| B． y＝|cos x| C． y＝cos (2x＋) D． y＝tan (2x－) ABC　解析：对于A，y＝cos |2x|＝cos 2x，其最小正周期为π；对于B，结合图象，知y＝|cos x|的最小正周期为π； 对于C，y＝cos (2x＋)的最小正周期T＝＝π；对于D，y＝tan (2x－)的最小正周期T＝. (2)(2025·滨州模拟)已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为 ． 答案：3　解析：因为f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，所以最小正周期T＝，因为f(T)＝cos (ω·＋φ)＝cos (2π＋φ)＝cos φ＝，0<φ<π，所以φ＝，即f(x)＝cos (ωx＋).又x＝为f(x)的零点，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝3＋9k，k∈Z，因为ω>0，所以ωmin＝3. 考点三　三角函数的对称性 [例3] (2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T，若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，则f()＝(　　) A． 1 B． C． D．3 A　解析：因为<T<π，即<<π，又ω>0，所以2<ω<3.因为y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，所以b＝2，且ω×＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝(k－)，k∈Z.又2<ω<3，所以k＝4，ω＝，所以f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin ＋2＝1. 三角函数对称性问题的2种求解方法 定义法 正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点 公式法 函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴为直线x＝－＋，对称中心为(－，0)；函数y＝A cos (ωx＋φ)的对称轴为直线x＝－，对称中心为(－＋，0)；函数y＝A tan (ωx＋φ)的对称中心为(－，0)，上述k∈Z 训练3 (1)记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为T.若π<T<4π，且点(，0)和直线x＝分别是f(x)图象的对称中心和对称轴，则T＝(　　) A． B． C． D． A　解析：∵点(，0)和直线x＝分别是f(x)图象的对称中心和对称轴，∴＋k·＝－＝π(k∈N*)，得T＝(k∈N*)，∵π<T<4π，∴k＝1，T＝. (2)(2025·沧州模拟)已知函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，当f(x)的最小正周期取得最大值时，f(x)的图象上距离原点最近的对称中心为(　　) A． (，0) B．(，0) C． (－，0) D．(－，0) D　解析：由已知得ω＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝6k－(k∈Z)，当k＝1时，ω最小，且为，则T最大，此时f(x)＝cos (x＋)，其对称中心的横坐标为x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，当k＝1时，x＝，函数f(x)的图象上距离原点最近的对称中心为(－，0). (3)(多选)(2025·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的是(　　) A． 函数f(x)的最小正周期为π B． 点(－，0)是y＝f(x)图象的对称中心 C． 点(，)是y＝f(x)图象的对称中心 D． 直线x＝是y＝f(x)图象的对称轴 AD　解析：f(x)＝sin x(sin x－cos x)＝sin2x－sinx cos x＝－sin 2x＝－sin (2x＋)＋，T＝＝π，故A正确；当x＝－时，2x＋＝0，此时sin (2x＋)＝0，则函数关于点(－，)对称，故B错误；当x＝时，2x＋＝，此时sin (2x＋)＝1，则函数关于直线x＝对称，故C错误；当x＝时，2x＋＝，此时sin (2x＋)＝－1，则函数关于直线x＝对称，故D正确． [课时训练(29)见P240] 学科网（北京）股份有限公司 $$