第四章 第3节 三角恒等变换（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

第3节　三角恒等变换 1．经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义． 2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(重点) 3．能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). [对应学生用书P81] 一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式 1．公式C(α－β)：cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； 2．公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； 3．公式S(α－β)：sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； 4．公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； 5．公式T(α－β)：tan (α－β)＝； 6．公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝． 二、辅助角公式 a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 辅助角公式实际上是两角和的正弦公式(两角差的余弦公式)的变形应用． 三、二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α． (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． (3)公式T2α：tan2α＝． 四、半角公式(不要求记忆) sin＝±；cos ＝±； tan ＝±.符号由所在象限决定． tan ＝＝. 1．两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β； (2)cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β； (3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1. 2．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝. 3．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，1±sin2α＝(sin α±cos α)2. 三、易误易混澄清 1．(混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号)计算：＝ ． 答案：　解析：＝＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝. 2．(已知角与待求角之间的关系不清楚)若sin (x－)＝，则sin (2x＋)的值为 . 答案：－　解析：∵sin (x－)＝，∴sin (2x＋)＝cos (－2x)＝1－2sin2(－x)＝1－＝－. 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2023·新课标Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． 　　　B．　　　C．－　　　D．－ 追根 溯源 (人教A版必修第一册P229T9)已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，求证： (1)sin αcos β＝5cos αsin β； (2)tan α＝5tan β 发现 感悟 教材习题和高考试题的考查角度基本相同，都是两角和与差的正弦、余弦公式的基本应用．解决此类问题的关键是掌握公式及其常见变形 二、教材典题改编 1．[人教A版必修第一册P229T6(1)改编]sin －cos 的值为(　　) A．0 B．－ C．2 D． B　解析：sin －cos ＝2(sin －cos )＝2sin (－)＝2sin (－)＝－. 2．(人教A版必修第一册P223T2)已知sin (α－π)＝，则cos 2α＝ ． 答案：　解析：sin (α－π)＝－sin α＝，故sin α＝－，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×(－)2＝. 3．(人教A版必修第一册P218例3改编)已知cosα＝－，α∈(，π)，则tan (α－)＝ ． 答案：7　解析：因为cos α＝－，α∈(，π)，所以sin α＝＝，tanα＝＝－，则tan (α－)＝＝7. 4．(人教A版必修第一册P226T1结论tan ＝＝的应用)已知α∈(0，)，cos α＝，则tan ＝ ． 答案：　解析：由题意得sin α＝，tan ＝＝. 第一课时　两角和与差及二倍角的三角函数公式 [对应学生用书P83] 考点一　两角和与差的三角函数公式 [例1](1)(2024·全国甲卷)已知＝，则tan (α＋)＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C． D．1－ (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan α·tan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m (1)B　(2)A　解析：(1)由题易知，cos α≠0，因为＝，所以＝，所以tan α＝1－，所以tan (α＋)＝＝2－1. (2)因为cos (α＋β)＝m，所以cos αcos β－sin α·sin β＝m，而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m即cos αcos β＝－m，从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m. 利用三角函数公式时应注意的问题 (1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”． (2)应注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用． (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 训练1 已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin (α－13°)＝(　　) A． B． C．－ D．－ A　解析：由三角函数的定义，得sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，则sin (α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°＝cos (47°＋13°)＝cos 60°＝. 考点二　两角和与差三角函数公式的逆用与变形 [例2] (1)－＝ ． (2)(2025·德州模拟)若α，β为锐角，且α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ ． 答案：(1)4　(2)2　解析：(1)原式＝ ＝ ＝ ＝＝4. (2)因为tan (α＋β)＝，所以(1＋tan α)·(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋tan (α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1＋tan (1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2. 三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一．应注意公式的逆用和变形使用． 训练2 (1)(2025·徐州模拟)已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos (α－β)的值等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　解析：sin α＋sin β＝⇒sin2α＋sin2β＋2sinα·sin β＝　①，cos α＋cos β＝⇒cos2α＋cos2β＋2cosαcos β＝　②，①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝⇒cos (α－β)＝×(－2)＝－. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos (α＋)sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 C　解析：由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos α·cos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)·sin β，整理得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin α·sin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，易知cos (α－β)≠0，所以tan (α－β)＝－1. 考点三　角的变换问题 [例3] (1)已知α，β∈(，)，若sin (α＋)＝，cos (β－)＝，则sin (α－β)的值为(　　) A． B． C． D． (2)若tan (α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan (α＋β)＝ ，tan α＝ ． 答案：(1)A　(2)－1　　解析：(1)由题意可得α＋∈(，π)，β－∈(－，0)，所以cos (α＋)＝－，sin (β－)＝－，所以sin (α－β)＝－sin [(α＋)－(β－)]＝－×＋(－)×(－)＝. (2)因为tan (α＋2β)＝2，tan β＝－3，所以tan (α＋β)＝tan (α＋2β－β)＝＝＝－1，tan α＝tan (α＋β－β)＝＝＝. 1．三角函数求值中变角的解题思路 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 2．常用的拆角、配角技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＝－；＋α＝－(－α)等． 训练3 (1)已知0<α<<β<π，tan α＝，cos (β－α)＝，则sin α＝ ，cos β＝ . 答案：　－　解析：因为0<α<，且tan α＝，所以sin α＝，cos α＝.由0<α<<β<π，得0<β－α<π，又cos (β－α)＝，所以sin (β－α)＝，所以cos β＝cos [(β－α)＋α]＝cos (β－α)cos α－sin (β－α)sin α＝×－×＝－. (2)(2025·泰州一模)已知sin (α＋)＝，α∈(，π)，则tan (α－)＝ ． 答案：－7　解析：因为α∈(，π)，所以α＋∈(，)，所以cos (α＋)＝－＝－＝－，所以tan(α＋)＝＝＝－，所以tan (α－)＝tan [(α＋)－]＝＝＝－7. [课时训练(26)见P231] 第二课时　三角恒等变换 [对应学生用书P84] 考点一　三角函数式的化简 [例1] (1)(2025·重庆巴蜀中学模拟)化简＋的结果是(　　) A．cos 10° B．sin 10° C．2sin 10°＋cos 10° D．2cos 10°－sin 10° (2)(2025·邯郸一中模拟)化简的值为(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 (1)D　(2)D　解析：(1)原式＝＋＝＋＝cos 10°＋cos 10°－sin 10°＝2cos 10°－sin 10°. (2)＝ ＝＝ ＝＝＝1. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 训练1 化简2cos2α－(tanα＋)×sin 2α＝ ． 答案：cos 2α　解析：2cos2α－(tanα＋)×sin 2α＝cos 2α＋1－(＋)·sin α·cos α＝cos 2α＋1－(sin2α＋cos2α)＝cos 2α. 考点二　三角函数求值问题 考向1　给角求值 [例2] 求值：(1)； (2)sin 50°(1＋tan 10°). 解：(1)原式＝＝－＝－＝－1. (2)原式＝sin 50°·(1＋·)＝sin 50°·＝sin 50°·＝＝＝＝1. 给角求值问题的解题策略 在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系．其基本思路是： (1)观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值； (2)再通过正、负相消或约分并利用特殊角的三角函数值达到求值的目的． 考向2　给值(式)求值 [例3] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． (2)(2025·青岛模拟)已知sin (α＋)＝，则sin 2α＝(　　) A．－ B． C．± D．－ (1)D　(2)A　解析：(1)因为α为锐角，也为锐角，由半角公式得sin ＝＝＝＝. (2)方法一　因为sin (α＋)＝，所以sin α·cos ＋cos αsin ＝，所以sin α＋cos α＝，所以sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，所以sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，即1＋2sin αcos α＝，所以sin 2α＝－. 方法二　因为sin 2α＝－cos (＋2α)＝－[1－2sin2(＋α)]＝2sin2(＋α)－1＝2×()2－1＝－. 考向3　给值求角 [例4]已知cos (α＋)＝，α∈(0，). (1)求cos α的值； (2)若tan (α＋β)＝，β∈(0，)，求β的值． 解：(1)因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)， 又cos (α＋)＝，所以sin (α＋)＝， 所以cos α＝cos (α＋－)＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin ＝×＋×＝. (2)由(1)可知sin α＝，所以tan α＝， 所以tan β＝tan (α＋β－α)＝＝＝， 因为β∈(0，)，所以β＝. 给角求值选取函数时有以下原则 (1)已知正切函数值，则选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是(0，)，则正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦函数较好；若角的范围为(－，)，则选正弦函数较好． 训练2 (1)2＋等于(　　) A．2cos 2 B．2sin 2 C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2 B　解析：2＋＝2＋＝2＋＝2|sin2＋cos 2|＋2|cos 2|.∵＜2＜π，∴cos 2＜0.∵sin 2＋cos 2＝sin (2＋)，＜2＋＜π，∴sin 2＋cos 2＞0.∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2. (2)已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝ ． 答案：　解析：因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝.因为cosβ＝，且β为锐角，所以sin β＝＝＝，则sin2β＝2sin βcos β＝2××＝，cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×()2＝，所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝.因为α∈(0，)，β∈(0，)，所以α＋2β∈(0，)，故α＋2β＝. 考点三　三角恒等变换的综合应用 [例5] 已知向量m＝(－，)，n＝(2cos α，2sin α)，0<α<π. (1)若m∥n，求的值； (2)若|m＋n|＝|n|，求sin (α＋)的值． 解：(1)因为m∥n，所以－×2sin α＝×2cos α， 所以sin α＝－cos α，由题易知，cos α≠0，所以tan α＝－， 则原式＝＝＝＝＝3＋. (2)因为|m＋n|＝|n|，且m＋n＝(2cos α－，2sin α＋)， 所以 ＝， 整理得2sin α－2cos α＋1＝0， 所以4sin (α－)＝－1，即sin (α－)＝－. 因为0<α<π，所以α－∈(－，)， 又sin (α－)<0，所以α－∈(－，0)， 所以cos (α－)＝＝， 所以sin (α＋)＝sin [(α－)＋]＝cos (α－)＋sin (α－)＝×＋×(－)＝. 三角恒等变换的策略 (1)进行三角恒等变换时要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其要注意角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用． (2)把y＝a sin x＋b cos x化为y＝sin (x＋φ)的形式，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值等． 训练3 已知f(x)＝sin (2x－)＋2sin (x－)·cos (x＋). (1)求f()的值； (2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值． 解：(1)由题意得 f(x)＝sin (2x－)＋2sin (x－)·cos (x＋)＝sin (2x－)＋2sin (x－)·cos [x＋(π－)] ＝sin (2x－)－2sin (x－)·cos (x－) ＝sin (2x－)－sin (2x－) ＝sin 2x cos －cos 2x sin ＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)， 故f()＝sin (2×＋)＝0. (2)∵α∈(0，)，∴2α＋∈(，). 又f(α)＝，∴f(α)＝sin (2α＋)＝. ∵0<sin (2α＋)＝<，∴2α＋∈(，π)， ∴cos (2α＋)＝－＝－. ∴sin 2α＝sin [(2α＋)－] ＝sin (2α＋)cos －cos (2α＋)sin ＝×＋×＝. 万能公式及应用 sin α＝，cosα＝，tanα＝. (1)上述三个公式统称为万能公式，即角的任何一个三角函数都可以用这个角的半角的正切来表示． (2)上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小了． [例]已知α，β∈(0，π)，tan ＝，sin (α－β)＝，则cos β＝ ． 答案：　解析：∵tan ＝，∴sin α＝＝＝，cosα＝＝＝. ∵α，β∈(0，π)，cosα＞0，∴α∈(0，)，∴α－β∈(－π，).∵sin (α－β)＝＞0， ∴α－β∈(0，)，∴cos (α－β)＝， ∴cos β＝cos (－β)＝cos (α－β－α)＝cos (α－β)·cos α＋sin (α－β)sin α＝×＋×＝. 训练 (1)已知6sin2α＋sinαcos α－2cos2α＝0，α∈(，π).则tanα＝ ，sin (2α＋)＝ ． 答案：－　　解析：∵6sin2α＋sinα·cos α－2cos2α＝＝＝0，即6tan2α＋tanα－2＝0，解得tan α＝－或tan α＝.又α∈(，π)，∴tan α＝－.∵sin 2α＝＝－，cos2α＝＝，∴sin(2α＋)＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝－×＋×＝. (2)已知tan ＝，tan αtan β＝，求cos (α－β)的值． 解：cos (α＋β)＝＝＝－， 则有cosαcos β－sin αsin β＝－　①， 又已知·＝，从而有7sin αsin β－13cos αcos β＝0　②， 联立①②可得cos αcos β＝，sin αsin β＝， 所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝. [课时训练(27)见P234] 学科网（北京）股份有限公司 $$