第四章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.(重点) 2．借助单位圆的对称性，利用定义推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．(重点) [对应学生用书P78] 一、同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R). 2．商数关系：tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z). (1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值的转化(要注意确定角的终边所在的象限)，判断三角函数值的符号；(2)商数关系的作用：弦切互化． 二、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α 正弦 sin α －sin α －sin α 余弦 cos α －cos α cos α 正切 tan α tan α －tan α 公式 四 五 六 角 π－α －α ＋α 正弦 sin α cos α cos α 余弦 －cos α sin α －sin α 正切 －tan α － 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α(α≠＋kπ，k∈Z). (3)sin2α＝＝(cosα≠0)； cos2α＝＝(cosα≠0). 一、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P189例1改编)计算sin 1 665°的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A 2．(人教A版必修第一册P185T6改编)若sin α＝，<α<π，则tan α等于(　　) A．－2 B．2 C． D．－ D　解析：∵<α<π，∴cos α＝－＝－，∴tanα＝＝－. 3．(人教B版必修第三册P70T6改编)已知tan α＝2，则＝ ． 答案：　解析：∵tan α＝2，∴原式＝＝＝. 4．(人教A版必修第一册P193例4改编)化简·sin (α－π)cos (2π－α)的结果为 ． 答案：－sin2α　解析：原式＝(－sin α)·cos α＝－sin2α. 二、易误易混澄清 1．(忽略kπ中对k的分类讨论)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　) A．{1，－1，2，－2} B．{－1，1} C．{2，－2} D．{1，－1，0，2，－2} C　解析：当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝－＝－2. 2．(忽视诱导公式变名、变号的条件)计算下列各式的值： (1)sin (－)＝ ；(2)tan (－)＝ ． 答案：(1)　(2) 3．(运用平方关系时不考虑角为第几象限角)若tan α＝k，α为钝角，则sin α＝ ． 答案：－　解析：因为tan α＝k，α为钝角，所以k<0，sin α>0，且＝k　①，又sin2α＋cos2α＝1　②，所以由①②可得sinα＝－. [对应学生用书P79] 考点一　同角三角函数的基本关系 考向1　“弦”“切”互化 [例1] (1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　) A． B．－ C． D．－ (2)(2023·全国乙卷)若θ∈(0，)，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝ ． 答案：(1)D　(2)－　解析：(1)因为α为第四象限角，故cos α＝＝＝，所以tanα＝＝＝－. (2)由且θ∈(0，)，解得故sin θ－cos θ＝－. 同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值．因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 训练1 (1)(2025·深圳模拟)已知tan α＝－3，则等于(　　) A．－ B． C． D．－ C　解析：因为tan α＝－3，所以＝＝－＝－＝－＝－＝. (2)已知tanα＝cos α，则－＝ . 答案：1　解析：由tan α＝cos α，得＝cos α，即sin α＝cos2α，则sinα＝(1－sin α)(1＋sin α)，即＝＝，所以－＝－＝1. 考向2　和积转换 [例2] 已知sin α－cos α＝，α∈(－，)，则＝(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：由题意可得(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝， 整理得sin αcos α＝>0，又α∈(－，)，所以α∈(0，)，即sin α>0，cos α>0，所以sin α＋cos α>0.因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，所以sin α＋cos α＝，所以＝＝. sin α与cos α的和与积的互化方法 对于sin α，cos α与sin α±cos α的互求问题，一般应用同角关系的变形公式，利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α等． 训练2 (1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　) A． B．± C．－ D．－ D　解析：∵sin αcos α＝，∴(cos α－sin α)2＝cos2α－2sinαcos α＋sin2α＝1－2sinαcos α＝1－2×＝. ∵<α<，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－. (2)(2025·通化一模)若α∈(0，)，cos 2α＝，则sin α＋cos α＝(　　) A．1 B． C． D． C　解析：因为α∈(0，)，所以2α∈(0，π)，sin α>0，cos α>0，又cos 2α＝，所以2cos2α－1＝，即cos2α＝，cosα＝，所以sin2α＝1－cos2α＝，所以sinα＝，所以sin α＋cos α＝＋＝. 考点二　诱导公式及其应用 [例3] (1)的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)已知sin (α＋)＝，则cos (－α)等于(　　) A． B． C．－ D．－ (1)B　(2)B　解析：(1)原式＝＝＝－·＝－1. (2)因为sin (α＋)＝，所以cos (－α)＝sin [－(－α)]＝sin (α＋)＝. [变式探究] 若把本例(2)中的条件换为“cos (＋α)＝－”，那么sin (＋α)的值为 ． 答案：－　解析：因为cos (＋α)＝－，所以sin (＋α)＝sin (＋＋α)＝cos (＋α)＝－. 诱导公式的3个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (3)应用技巧：常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等． 训练3 (1)已知cos (－θ)＝a，则cos (＋θ)＋sin (－θ)的值是 ． 答案：0　解析：因为cos (＋θ)＝cos [π－(－θ)]＝－cos (－θ)＝－a，sin (－θ)＝sin [＋(－θ)]＝cos (－θ)＝a，所以cos (＋θ)＋sin (－θ)＝0. (2)化简：＝ ． 答案：tan α　解析： ＝＝tan α. 考点三　基本关系与诱导公式的综合应用 [例4] 已知f(θ)＝. (1)若f(θ)＝，求tan θ的值； (2)若f(－θ)＝，求f(＋θ)的值． 解：(1)f(θ)＝＝＝cos θ，由f(θ)＝，得cos θ＝，sin θ＝±＝±，所以tanθ＝±2. (2)由f(－θ)＝，得cos (－θ)＝，则f(＋θ)＝cos (＋θ)＝cos [π－(－θ)]＝－cos (－θ)＝－. 同角关系与诱导公式应用的关键点 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的范围对三角函数值符号的影响． 训练4 (2025·济宁模拟)已知α是第四象限角，f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若cos (α－)＝，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝＝＝－cos α. (2)∵cos (α－)＝－sin α＝，即sin α＝－，又α是第四象限角， ∴cos α＝＝， ∴f(α)＝－cosα＝－. [课时训练(25)见P229] 学科网（北京）股份有限公司 $$