第四章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

第1节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 1．了解任意角的概念和弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． 3．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点) [对应学生用书P75] 一、任意角 定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角； (2)按终边位置分为象限角和轴线角 终边相 同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z} 二、弧度制 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad 弧度数 公式 |α|＝(弧长用l表示，半径用r表示) 角度与 弧度的 换算 (1)1°＝ rad；(2)1 rad＝()°≈57.30° 计算公式 l＝|α|r，扇形面积S＝lr＝|α|r2 (1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零； (2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 三、任意角的三角函数 1．定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0). 2．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 3．定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝3.，cos α＝，tan α＝(x≠0). 三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 1．象限角 2．轴线角 3．若角α∈(0，)，则sin α<α<tan α. 一、教材典题改编 1．(多选)(人教A版必修第一册P171练习T4改编)在下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A．160° B．480° C．－960° D．1 530° 答案：ABC 2．(人教A版必修第一册P175练习T6改编)半径为2的圆中，有一条弧长是，则此弧所对的圆心角是(　　) A．15° B．20° C．30° D．40° 答案：C 3．(人教A版必修第一册P179例2改编)已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则tan α的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 答案：B 4．(人教A版必修第一册P176习题5.1T11改编)某次考试的时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了 弧度的角． 答案：－4π　解析：某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了－720°，即－4π. 二、易误易混澄清 1．(任意角的定义不清)设集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，则(　　) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ B　解析：由于M中，x＝(2k＋1)·45°，k∈Z，2k＋1是奇数；而N中，x＝(k＋1)·45°，k∈Z，k＋1是整数，因此必有M⊆N. 2．(涉及整数k的问题，忽视对k的讨论)角α＝45°＋k·180°，k∈Z的终边落在(　　) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 A　解析：当k为偶数时，α的终边在第一象限；当k为奇数时，α的终边在第三象限． 3．(忽视对参数的讨论)已知角α的终边过点P(－8m，6m)(m≠0)，则sin α＝ ． 答案：或－　解析：由题意得x＝－8m，y＝6m，所以r＝10|m|.当m>0时，sin α＝＝；当m<0时，sin α＝＝－. [对应学生用书P76] 考点一　角的概念及表示 1．(2024·广东高三学业水平考试)下列各角中与437°角的终边相同的角是(　　) A．67° B．77° C．107° D．137° B　解析：与437°角的终边相同的角为θ＝437°＋360°·k，k∈Z.当k＝－1时，θ＝437°－360°＝77°，B项正确．经验证，其他三个选项均不符合要求． 2．(多选)下列命题正确的是(　　) A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z} B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z} C．第三象限角的集合为{α|π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z} D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315° AD　解析：A项显然正确；角度与弧度不能混用，故B错误；第三象限角的集合为{α|π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}，故C错误；所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°＜0°，k∈Z，解得－≤k＜－，k∈Z，从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故D正确． 3．若角α是第二象限角，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 C　解析：∵角α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角． 4．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为 ． 答案：{－，－，，}　解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝x， 可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个为，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个分别为－，－.故满足条件的角α构成的集合为{－，－，，}. 1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件角的方法 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角． 2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同的角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置． 考点二　弧度制及其应用 [例1] 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0). (1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：(1)由题意得 解得(舍去)，故扇形的圆心角为. (2)由已知，得l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5 cm时，S取得最大值25， 此时l＝10 cm，α＝2. 应用弧度制解决问题时的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 训练1 (1)(多选)(2025·广安模拟)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有(　　) A．圆的半径为2 B．圆的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 ABC　解析：设扇形半径为r，圆心角弧度数为α， 则由题意得解得或 可得当圆的半径为1时，圆心角的弧度数为4；当圆的半径为2时，圆心角的弧度数为1. (2)已知半径为3的扇形OAB的弦长AB＝3，则该扇形的弧长是 ． 答案：　解析：在△ABO中，AB2＝OA2＋OB2＝18，故∠AOB＝，故l＝×3＝. 考点三　三角函数的定义及应用 考向1　三角函数的定义 [例2] 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若P(cos ，1)是角α终边上一点，则sin α＝(　　) A． B． C． D． D　解析：依题意，点P(，1)，则|OP|＝＝，∴sin α＝＝. 定义法求三角函数值的2种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，再根据定义中的两个量，列方程求参数值． 考向2　三角函数符号的应用 [例3] (1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 (1)C　(2)A　解析：(1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． (2)因为<2<3<π<4<，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，所以sin 2·cos 3·tan 4<0. 判定三角函数值符号的关键点 要判定三角函数值的符号，关键是要清楚角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，就要分类讨论求解． 训练2 (1)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　) A． B． C．－ D．－ D　解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝x＝，解得x＝－3(x＝3舍去)，所以tan α＝＝－. (2)(2024·成都石室中学模拟)若α是第三象限角，则下列各式中成立的是(　　) A．tan α－sin α>0 B．sin α＋cos α>0 C．cos α－tan α>0 D．tan αsin α>0 A　解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，对于A，tan α－sin α>0，故A正确；对于B，sin α＋cos α<0，故B错误；对于C，cos α－tan α<0，故C错误；对于D，tan αsin α<0，故D错误． (3)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0 D　解析：方法一　∵α是第四象限角，∴－＋2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ＜2α＜4kπ，k∈Z，∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin 2α＜0，cos 2α可正、可负、可为零． 方法二　因为α是第四象限角，所以sin α＜0，cos α＞0，因此sin 2α＝2sin αcos α＜0. [课时训练(24)见P227] 学科网（北京）股份有限公司 $$