第二章 第6节 指数函数、对数函数（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

第6节　指数函数、对数函数 第一课时　指数与对数 1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．(重点) 2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． [对应学生用书P35] 一、指数 1．根式的性质 (1)()n＝a(a使有意义)； (2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝． 2．分数指数幂的意义 (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键！ 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 二、对数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaan＝n．(a>0，且a≠1，n∈R，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M>0). 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数恒等式：＝N(a>0，且a≠1，N>0). 一、教材典题改编 1．[人教A版必修第一册P110习题4.1T7(1)改编]已知5m＝10，5n＝2，则＝(　　) A．2 B．3 C．20 D．5 D　解析：＝＝＝＝＝5. 2．(人教A版必修第一册P109T1改编)下列运算中正确的是(　　) C　解析：对于A，2－π<0，所以＝π－2，A错误；对于B，因为－>0，所以a<0，则a＝－(－a)·＝－，B错误；对于C，，C正确；对于D，(x3－)3＋＝x9－2＝x7，D错误． 3．(人教A版必修第一册P126T1改编)下列各式中正确的是(　　) A．log3(27×92)＝5 B．lg 5＋lg 2＝1 C．ln 3＋ln ＝1 D．log35－log315＝ B　解析：对于A，log3(27×92)＝log3(33×34)＝7log33＝7，故A错误；对于B，lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故B正确；对于C，ln 3＋ln ＝ln 1＝0，故C错误；对于D，log35－log315＝log3＝－1，故D错误． 4．(人教A版必修第一册P127T5改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A． B． C．2a＋b D．2b＋a A　解析：log1210＝＝＝. 二、易误易混澄清 1．[化简(a∈R)时忽略n的范围]计算＋＝ ． 答案：2 2．(不熟悉对数的运算性质)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论是 ．(填序号) 答案：①②③④⑤ 3．(忽视真数大于零)已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则＝ ． 答案：4 [对应学生用书P36] 考点一　指数式的化简与求值 1．计算：－3－1＋(－1)0＝ ． 答案：16　解析：－(－)－2＋－3－1＋(－1)0＝－(－7)2＋－＋1＝－49＋64－＋1＝16. 2．已知a2x＝5，则＝ ． 答案：　解析：＝＝a2x＋1＋a－2x＝5＋1＋＝. 3．化简与求值： 解：(1)原式＝＝－＋0.09＝－0.16. 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 考点二　对数式的化简与运算 [例1] (1)(2024·广州高三统考)计算－log4＋ln e2－2lg 2－lg 25＝(　　) A．20 B．21 C．9 D．11 (2)(2025·盐城模拟)已知2m＝9n＝6，则＋的值等于(　　) A． B．3 C．1 D．2 (3)(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝ ． 答案：(1)B　(2)C　(3)64　解析：(1)原式＝×2－log44－3＋2－2(lg 2＋lg 5)＝9×2＋3＋2－2＝21. (2)因为2m＝9n＝6，则m＝log26，n＝log96，所以＝log62，＝log69，因此＋＝log62＋log69＝＝1. (3)根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. 解决对数运算的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行运算． (2)将同底对数的和、差、积合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 训练1 计算下列各式： (1)log225·log3(2)·log59； (2)； 解：(1)方法一　log225·log3(2)·log59 方法二　log225·log3(2)·log59＝·· (2)原式＝＝＝1. 考点三　指数、对数运算的应用 [例2] (2024·龙岩三模)声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)＝10×lg .喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB． 若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为(　　) A．120 dB B．100 dB C．80 dB D．60 dB D　解析：设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2，由题意可得f(x1)＝10×lg ＝140，解得x1＝102，因为＝＝108，所以x2＝10－6，所以f(10－6)＝10×lg ＝60，所以一般说话时声音的等级约为60 dB． 指数、对数应用问题的思路 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 训练2 (1)青少年的视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 C　解析：由题意，得L＝5＋lg V＝4.9，所以lg V＝－0.1，所以V＝10－0.1＝≈≈0.8. (2)(2025·内蒙古兴安盟期中)内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N(单位：mg/L)与时长t(单位：h)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物浓度).如果前2 h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要(　　) A．3 h B．4 h C．5 h D．6 h B　解析：由题意知，t＝2时，N0e－2k＝N0，可得e－2k＝.设N0e－kt＝0.512N0＝()3N0，则e－kt＝(e－2k)3＝e－6k，解得t＝6，因此，污染物消除至最初的51.2%还需要4 h． [课时训练(12)见P198] 第二课时　指数函数 1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．(重点) [对应学生用书P38] 一、指数函数 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． 二、指数函数的图象与性质 y＝ax 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 减函数 增函数 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，(－1，). (1)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． (2)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A． c>a>b　　　　　B．c>b>a C． a>b>c D．b>a>c 追根 溯源 (人教A版必修第一册P119T6)比较下列各题中两个值的大小： (1)30.8，30.7；(2)0.75－0.1，0.750.1； (3)1.012.7，1.013.5；(4)0.993.3，0.994.5 发现 感悟 两题的命题角度完全相同，都是考查利用指数函数的单调性比较大小，只不过高考题综合性更强，同时考查了幂函数的单调性 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P115T2改编)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点(　　) A．(－2，) B．(－1，) C．(1，2) D．(3，) 答案：D 2.[人教A版必修第一册P159T1(2)]如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝6x，y＝()x的一个是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案：B 3．(苏教版必修第一册P165T5改编)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D． 答案：A 三、易误易混澄清 1．(对指数函数的概念理解不透彻)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝ ． 答案：2 2．(忽视对底数a的讨论)若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝ ． 答案：2或 [对应学生用书P39] 考点一　指数函数的图象及应用 [例1] (1)(2025·黄山检测)函数y＝的图象的大致形状是(　　) (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则实数k的取值范围为 ． 答案：(1)C　(2)(－∞，0]　解析：(1)∵y＝＝∴根据指数函数图象即可判断选项C符合． (2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移1个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以实数k的取值范围为(－∞，0]. [变式探究] 若本例(2)的条件变为：若函数y＝|3x－1|－k有一个零点，则实数k的取值范围为 ． 答案：{0}∪[1，＋∞)　解析：函数y＝|3x－1|－k有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k的图象有一个交点．由本例得y＝|3x－1|的图象如图所示．故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，即函数y＝|3x－1|－k有一个零点． 指数型函数图象问题的解题思路 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到． (2)当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 训练1 (1)函数f(x)＝()|x＋2|的部分图象大致为(　　) B　解析：由题意得，f(x)的值域为(0，＋∞)，排除C，D；当x≥－2时，f(x)＝()|x＋2|，因为0<<1，所以f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，排除A． (2)(2025·武汉开学考试)设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为(　　) A．(0，) B．(－∞，) C．(－∞，) D．(0，) A　解析：由函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b<－1，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·(1－)＝·3b<·3－1＝，又·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为(0，). 考点二　指数函数的性质 考向1　比较指数幂的大小 [例2] (1)(2025·淮南模拟)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．b>a>c (2)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a (1)A　(2)D　解析：(1)因为函数y＝是(0，＋∞)上的增函数，<，所以b<c.因为函数y＝()x是R上的减函数，<，所以，即a>c，则a，b，c的大小关系为a>c>b. (2)方法一　由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a<b，由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得c>b，所以c>b>a. 方法二　因为＝0.30.6－0.5<1，且＝()0.5<1，又a，b，c都为正数，所以c>b>a. 比较指数幂值大小的方法 (1)能化成同底数的，先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“中介值”比较大小． 考向2　解简单的指数方程或不等式 [例3] (1)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　　) A．[2，4] B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] (2)(2025·邯郸质检)不等式10x－6x－3x≥1的解集为 ． 答案：(1)D　(2)[1，＋∞)　解析：(1)∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x＞0，∴0＜2x≤1或2≤2x≤4，∴x≤0或1≤x≤2. (2)由10x－6x－3x≥1，两边同除以10x，可得()x＋()x＋()x≤1，令f(x)＝()x＋()x＋()x，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，∴f(x)≤f(1)，∴x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞). 简单的指数方程或不等式的求解方法 解决此类问题的基本思路是转化，即利用指数函数的单调性转化为简单方程或不等式；注意x的取值范围，必要时进行分类讨论． 考向3　指数函数性质的综合 [例4] (1)(多选)设函数，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的单调递增区间为[1，＋∞) C．f(x)的最小值为3 D．f(x)的图象关于直线x＝1对称 (2)(2025·江苏部分重点中学联考)若f(x)＝e－x－aex为奇函数，则f(x)≤－e的解集为(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) (1)ABD　(2)D　解析：(1)易知函数f(x)＝的定义域为R，故选项A正确；f(x)＝可看作由y＝3u与u＝x2－2x＋3复合而成，而y＝3u为增函数，所以函数f(x)＝的单调递减区间为u＝x2－2x＋3的单调递减区间(－∞，1]，函数f(x)＝的单调递增区间为u＝x2－2x＋3的单调递增区间[1，＋∞)，故选项B正确；由选项B可知f(x)min＝f(1)＝31－2＋3＝9，故选项C错误；因为f(2－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故选项D正确． (2)由f(x)＝e－x－aex为奇函数，得f(－x)＋f(x)＝(ex＋e－x)－a(e－x＋ex)＝0，解得a＝1，于是f(x)＝e－x－ex.因为y＝e－x是R上的减函数，y＝ex是R上的增函数，所以函数f(x)是R上的减函数，不等式f(x)≤－e，即为f(x)≤f(1)，可得x≥1，所以f(x)≤－e的解集为[1，＋∞). 指数函数综合问题的解题思路 指数函数性质的综合问题主要涉及单调性、奇偶性、最值等，应结合题目条件合理利用这些性质进行解题．指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化． 训练2 (1)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则(　　) A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 D　解析：y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，因为y＝2x在定义域内为增函数，所以y1>y3>y2. (2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是(　　) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 D　解析：∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb(*)，令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，(*)式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0. (3)(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)＝()x－3x，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 C　解析：函数f(x)的定义域为R，因为f(－x)＝3x－()x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又函数y＝()x，y＝－3x在R上都是减函数，所以函数f(x)＝()x－3x在R上是减函数． (4)(2025·大庆模拟)已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(0.1)>f(0.2) B．函数f(x)有一个零点 C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于点(，)对称 D　解析：函数f(x)＝的定义域为R，对于A，函数f(x)＝＝1－，函数y＝4x在R上为增函数，易得f(x)在R上为增函数，则有f(0.1)<f(0.2)，故A错误；对于B，由于4x>0，则f(x)>0，因此f(x)没有零点，故B错误；对于C，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，所以f(1)≠f(－1)，因此f(x)不是偶函数，故C错误；对于D，因为f(x)＝，所以f(1－x)＝＝＝，所以f(x)＋f(1－x)＝1，所以函数f(x)的图象关于点(，)对称，故D正确． [课时训练(13)见P201] 第三课时　对数函数 1．通过实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．(重点) 2．知道指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． [对应学生用书P41] 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 二、对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 三、反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线y＝x对称． 1．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(，－1). 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A． c<b<a　　　　　　B．b<a<c C． a<c<b D．a<b<c 追根 溯源 (人教A版必修第一册P141T13)比较下列各题中三个值的大小：(1)log0.26，log0.36，log0.46；(2)log23，log34，log45 发现 感悟 高考题是对教材习题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后进行比较，而变形的过程中应用了函数的单调性 二、教材典题改编 1．(湘教版必修第一册P123T19改编)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ D　解析：利用对数恒等式，有y＝10lg x＝x(x>0)，其定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)，结合选项知，D正确． 2．[人教A版必修第一册P160T5(2)改编]已知f(x)＝|lg x|，若a＝f()，b＝f()，c＝f(2)，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a D　解析：∵f(x)＝|lg x|＝ ∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2)＝lg 2＝－lg ＝f()，∵0<<<<1， ∴f()>f()>f()＝f(2)，∴c<b<a. 3．(苏教版必修第一册P158T4改编)函数y＝ (3x－1)的单调递减区间为 ． 答案：(，＋∞) 三、易误易混澄清 1．(忽视对底数的讨论)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ ． 答案：2或 2．(忽视真数大于零)函数y＝的定义域是 ． 答案：(，1]　解析：由 (2x－1)≥0，得0<2x－1≤1， ∴<x≤1，∴函数的定义域是(，1]. [对应学生用书P42] 考点一　对数函数的图象及应用 [例1] (1)(多选)(2025·辽宁模拟)已知ax＝b－x，则函数y＝loga(－x)与y＝bx在同一坐标系中的大致图象可能是(　　) (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) (1)AB　(2)B　解析：(1)因为ax＝b－x，即ax＝()x，所以a＝.当a>1时，0<b<1，则指数函数y＝bx在R上单调递减，且图象过点(0，1)，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增且图象过点(1，0)，将y＝logax的图象关于y轴对称得到y＝loga(－x)的图象，则y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减且图象过点(－1，0)，故A符合题意；当0<a<1时，b>1，同理可得，指数函数y＝bx在R上单调递增，且图象过点(0，1)，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递增且图象过点(－1，0)，故B符合题意． (2)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，∴＜a＜1. 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 训练1 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c是常数，其中a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，下列关于a，c的表述，正确的是(　　) A．a>1，c>1 B．a>1，0<c<1 C．0<a<1，c>1 D．0<a<1，0<c<1 D　解析：由题图可以看出0<a<1，logac>0，loga(1＋c)<0，故得0<c<1，0<a<1. (2)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 ． 答案：(1，＋∞)　解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1. 考点二　对数函数的性质 考向1　比较对数值的大小 [例2] (1)(2025·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b (2)已知a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则(　　) A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c (1)C　(2)D　解析：(1)a＝log30.5<log31＝0，即a<0；b＝log3π>log33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b. (2)a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1，b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21.9＜1.因为log35＝＞＝log45，所以a＞b＞c. 比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 考向2　解简单的对数方程或不等式 [例3] (1)若1＋lg x－lg y＝lg y2，则＝ ． (2)已知a>0，a≠1，则关于x的不等式|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|的解集为 . 答案：(1)10　(2)(0，1)　解析：(1)因为1＋lg x－lg y＝lg y2，所以lg 10＋lg x＝lg y2＋lg y，所以lg (10x)＝lg y3(x>0，y>0)，则10x＝y3，所以＝10. (2)易知－1<x<1，且x≠0，原不等式可化为||>||，即|lg (1－x)|>|lg (1＋x)|，两边同时平方得[lg (1－x)]2>[lg (1＋x)]2，即[lg (1－x)＋lg (1＋x)]·[lg (1－x)－lg (1＋x)]>0，所以lg (1－x2)·lg >0.又－1<x<1，且x≠0，所以0<1－x2<1，所以lg (1－x2)<0，从而lg <0，解得0<x<1. 对数不等式的常见类型与求解方法 (1)对于形如logaf(x)>b的不等式，一般转化为logaf(x)>logaab的形式，再根据底数的范围转化为f(x)>ab或0<f(x)<ab. (2)而对于形如logaf(x)>logbg(x)的不等式，通过用图象法或转化法来解． 考向3　对数函数性质的综合 [例4] (多选)(2025·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－x，则下列说法中正确的是(　　) A． 函数f(x)的图象关于原点对称 B． 函数f(x)的图象关于y轴对称 C． 函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数 D． 函数f(x)的值域为[，＋∞) BD　解析：易知f(x)的定义域为R，f(x)＝log4(1＋4x)－＝log4＝log4(2－x＋2x)，由于f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，因此f(x)为偶函数，故A选项错误，B选项正确；令t＝2x，则f(x)＝log4(t＋)，令s＝t＋，则f(x)＝log4s，当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋为增函数，又y＝log4s为增函数，所以y＝log4(t＋)为增函数，又t＝2x为增函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，故选项C错误；因为f(x)为R上的偶函数，所以f(x)≥f(0)＝，所以f(x)的值域为[，＋∞)，故选项D正确． 解决对数函数性质综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数的范围是(0，1)，还是(1，＋∞). (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行． (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性． 训练2 (1)已知，则(　　) A． a>c>b B．c>a>b C． a>b>c D．c>b>a A　解析：因为函数y＝3x为增函数，所以a＝>30＝1，即a>1；因为y＝log2x为增函数，所以b＝log2<log21＝0，即b<0；因为为减函数，所以，即0<c<1，故a>c>b. (2)已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A． (2，＋∞) B．[2，＋∞) C． (5，＋∞) D．[5，＋∞) D　解析：由x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，因为y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5. (3)(多选)关于函数f(x)＝ln (e2x＋1)－x，下列说法正确的有(　　) A． f(x)在R上是增函数 B． f(x)为偶函数 C． f(x)的最小值为ln 2，无最大值 D． f(x)的最大值为ln 2，无最小值 BC　解析：由题易知f(x)＝ln (ex＋)，令t＝ex>0，在R上单调递增，则g(t)＝t＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以u＝ex＋在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝ln u在定义域上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A错误；f(－x)＝ln (e－x＋)＝ln (ex＋)＝f(x)，即f(x)为偶函数，故B正确；由u＝ex＋≥2，当且仅当ex＝，即x＝0时，等号成立，可知f(x)min＝f(0)＝ln 2，无最大值，故C正确，D错误． (4)已知loga<logaa2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围为 ． 答案：(0，)∪(1，＋∞)　解析：当0<a<1时，a2<，可得0<a<；当a>1时，a2>，可得a>1.综上所述，实数a的取值范围为(0，)∪(1，＋∞). [对应学生用书P44] 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现． 类型一　直接利用单调性比较大小 [例1] (1)已知a＝log47，b＝log930，，则a，b，c的大小关系为(　　) A． a<b<c B．c<a<b C． a<c<b D．c<b<a (2)(2025·天津模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若a＝f(log20.2)，b＝f(20.2)，c＝f(0.20.3)，则a，b，c大小关系为(　　) A． a＜b＜c B．c＜a＜b C． a＜c＜b D．b＜a＜c (1)C　(2)A　解析：(1)由题可得，a＝log47＝log2<log2＝＝＝c，b＝log930＝log3>log3＝＝c，则a<c<b. (2)log20.2＝log2＝－log25，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以a＝f(log20.2)＝f(－log25)＝f(log25).因为log25＞log24＝2，1＝20＜20.2＜21＝2，0＜0.20.3＜0.20＝1，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log25)＜f(20.2)＜f(0.20.3)，即a＜b＜c. 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较大小． 训练1 (2025·岳阳模拟)已知a＝30.5，b＝log30.5，c＝0.53，则a，b，c的大小关系是(　　) A． a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a D　解析：根据指数函数y＝3x在R上单调递增可得，a＝30.5＞30＝1；根据对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增可得，b＝log30.5＜log31＝0；根据指数函数y＝0.5x在R上单调递减和值域可得，0＜c＝0.53＜0.50＝1，∴b＜c＜a. 类型二　引入中间值比较大小 [例2] (2025·上饶模拟)已知a＝log53，，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A． a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a C　解析：因为1＝log55＞log53＞log5＝＝，所以＜a＜1.因为7－0.5＝＝，所以0＜c＜.又b＝＞20＝1，所以b＞a＞c. 在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 训练2 已知a＝，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为(　　) A． a>b>c B．c>b>a C． b>a>c D．a>c>b A　解析：因为a＝＝，＝34＝81>43＝64，且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以>log34，即a>b.又b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1，即b>c，所以a>b>c. 类型三　作差(商)法比较大小 [例3] 若a＝sin 4，b＝log53，c＝lg 6，d＝e0.01，则(　　) A． a＜b＜c＜d B．a＜c＜b＜d C． b＜c＜d＜a D．a＜d＜b＜c A　解析：由题意，a＝sin 4＜0，d＝e0.01＞1，0＜b＝log53＜1，0＜c＝lg 6＜1，只需比较b，c的大小，而log53－lg 6＝－lg 6＝＝＝＜0，∴b＜c，综上可得，a＜b＜c＜d. (1)一般情况下，作差或者作商可处理底数不一样的对数比较大小问题． (2)作差或者作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法． 训练3 (2025·沈阳月考)已知正实数x，y满足x<y，设a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x，则a，b，c的大小关系是(　　) A． a<c<b B．c<a<b C． c<b<a D．b<c<a A　解析：因为a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x，所以b－c＝y(ey－ex)，又y>x>0，e>1，所以ey>ex，所以b>c.因为c－a＝(x－y)＋(y－x)ex＝(x－y)(1－ex)，又y>x>0，ex>1，所以c－a>0，得c>a.综上可得，a<c<b. 类型四　构造函数比较大小 [例4] 已知ex－2y>ln y－x＋ln 2，则(　　) A． x>2y B．x<2y C． x>ln (2y) D．x<ln (2y) C　解析：由ex－2y>ln y－x＋ln 2，得ex＋x>2y＋ln (2y)，即ex＋x>eln (2y)＋ln (2y).令f(x)＝ex＋x，易知f(x)在R上单调递增，所以x>ln (2y). 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小． 训练4 已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A． a<b<c B．b<a<c C． a<c<b D．b<c<a B　解析：a＝＝，c＝＝，令f(x)＝(x>0)，∴a＝f()，b＝f(2)，c＝f(e).∵f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(e)＝＝c，∴a<c，b<c.又b＝＝＝＝f(4)，且4>，∴f(4)<f()，∴b<a，∴b<a<c. 类型五　利用函数图象比较大小 [例5] 若log3x＝log4y＝log5z<－1，则(　　) A． 3x<4y<5z B．4y<3x<5z C． 4y<5z<3x D．5z<4y<3x D　解析：令log3x＝log4y＝log5z＝m<－1，则x＝3m，y＝4m，z＝5m，3x＝3m＋1，4y＝4m＋1，5z＝5m＋1，其中m＋1<0，在同一坐标系内画出y＝3x，y＝4x，y＝5x的图象，如图所示，由图可知5m＋1<4m＋1<3m＋1，故5z<4y<3x. 涉及某些由指数式、对数式给出的几个数的大小比较问题，可以把这几个数视为对应的指数函数、对数函数与另外某个函数图象交点的横坐标，利用图象的直观性解决． 训练5 已知a，b，c均大于1，满足＝2＋log2a，＝3＋log3b，＝4＋log4c，则下列不等式成立的是(　　) A． c<b<a B．a<b<c C． a<c<b D．c<a<b B　解析：由＝2＋log2a，得＝log2a，由＝3＋log3b，得＝log3b，由＝4＋log4c，得＝log4c，所以考虑y＝(x>1)和y＝logmx(m＝2，3，4)的图象相交时，交点的横坐标的大小．在同一平面直角坐标系中，画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x与y＝(x>1)的图象，如图所示，根据图象可知a<b<c. [课时训练(14)见P203] 学科网（北京）股份有限公司 $$