第一章 第1节 空间几何体（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第1节　空间几何体 1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(重点) 2．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图，能通过直观图还原原图并会相关计算． 3．知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．(热点) [对应学生用书P1] 一、空间几何体的结构特征 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 —— 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 —— (1)要掌握棱柱、棱锥各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． (2)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要知道截面与底面平行． 二、空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 1．“斜”：直观图中，x′轴与y′轴的夹角为45°或135°． 2．“二测”：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半． 斜二测画法中的“三变”与“三不变” (1)“三变” (2)“三不变” 三、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 四、柱、锥、台、球的表面积和体积 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 　　　　　　　　　　　　 圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素间的关系． 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 2．直观图与原平面图形面积间的关系 S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π　　　　B．3π C．6π D．9π 追根 溯源 (人教A版必修第二册P119例4)如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比 发现 感悟 高考题与教材例题考查背景相近，考查角度相似，体现了高考回归教材的命题思路 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第二册P106T8改编)如图，若长方体ABCD­A′B′C′D′中截去体积较小的一部分，其中EH∥B′C′∥FG，则剩下的几何体是(　　) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 答案：C 2．(多选)[人教B版必修第四册P59练习AT1(3)改编]如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是(　　) A．A与B B．D与E C．B与D D．C与F ABD　解析：将平面展开图还原成正方体如图所示，所以互相重合的点是A与B，D与E，C与F. 3．(人教A版必修第二册P119习题8.3T1改编)如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内．如果四边形ABCD是边长为3 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是 cm2. 答案：18 4．(北师版必修第二册P256 T2改编)某小区修建一个圆台形的花台，它的上、下底面半径分别为1 m和2 m，高为1 m，则需要 m3的土才能把花台填满． 答案： 三、易误易混澄清 1．(直观图与原图形面积的关系用错)如图，Rt△O′B′A′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是(　　) A．1 B． C．2 D．4 答案：C 2．(几何体形状不确定时，忽视分类讨论)圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的体积是 ． 答案：24π2或36π2 [对应学生用书P3] 考点一　基本立体图形 考向1　结构特征 [例1] (多选)下列说法中正确的是(　　) A．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 AD　解析：由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正确；由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；底面是正多边形的棱锥，但不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确． 空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可． 考向2　直观图 [例2] (1)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是(　　) A．三角形的直观图仍然是一个三角形 B．90°的角的直观图一定会变为45°的角 C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 (2)用斜二测画法画出的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中B′C′＝A′B′＝1，A′B′∥C′D′，B′C′⊥C′D′，则原平面图形的面积为(　　) A． B． C．3 D．6 (1)B　(2)C　解析：(1)对于A，根据斜二测画法，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90°的角的直观图可以变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确． (2)如图①，过点A′作A′E′⊥C′D′于点E′，因为∠A′D′C′＝45°，所以A′D′＝A′E′＝B′C′＝，C′D′＝C′E′＋D′E′＝C′E′＋A′E′＝A′B′＋B′C′＝2，则原平面图形中AD＝2，AB＝A′B′＝1，CD＝C′D′＝2，作出原平面图形，如图②所示，则原平面图形的面积为(CD＋AB)×AD＝3. 　 斜二测画法的两个“关键” 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． 考向3　展开图 [例3] 某三棱柱的平面展开图如图所示，网格中的小正方形的边长均为1，K是线段DI上的点，则在原三棱柱中，AK＋CK的最小值为(　　) A． B． C．4 D． B　解析：将展开图还原成立体图形得到三棱柱ADI­BCJ，如图①.由已知可得，AI＝4，DI＝3，AD＝5，易知△ADI为直角三角形且∠AID＝90°.将三棱柱的上底面ADI沿DI翻折至平面IDCJ上，A，C在DI两侧，连接AC，如图②所示．因为AJ＝8，CJ＝3，所以AC＝＝，则AK＋CK的最小值为. 　 侧面展开图的重要应用 在解决空间曲线或折线(段)最短问题时一般要考虑几何体的侧面展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化． 训练1 (1)(多选)下面关于空间几何体的叙述，正确的是(　　) A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 C．长方体是直平行六面体 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 CD　解析：当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥，故A不正确；当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为圆或矩形，否则为椭圆或椭圆的一部分，故B不正确；长方体是直平行六面体，故C正确；如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形，故D正确． (2)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则△ABC是(　　) A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 C　解析：将该直观图还原成原平面图形，如图所示，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，从而AB＝BC＝，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形． (3)如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为1 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为(　　) A．12 cm B．13 cm C． cm D．15 cm C　解析：将正三棱柱ABC­A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示， 在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度， 则最小值为AA1＝＝(cm). 考点二　面积与体积 考向1　空间几何体的表面积与侧面积 [例4] (1)(2025·武汉统考)已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为(　　) A．8 B． C． D． (2)(2025·兰州诊断)如图所示的是某研究性学习小组制作的仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位：dm)分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的表面积为 dm2. 答案：(1)B　(2)34＋8　解析：(1)设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，球的半径为R，则l＝2r＝R，即R＝2r，l＝2r，球的表面积S1＝4πR2＝16πr2，圆锥的表面积S2＝πrl＋πr2＝2πr2＋πr2＝3πr2，则＝＝. (2)正三棱柱的侧面积为2×2×2＝8(dm2)，底面积为2××2×2×sin 60°＝2(dm2).在正四棱台中，侧面梯形的高为＝2(dm)，所以正四棱台的侧面积为4×＝32(dm2).所以该结构的表面积为8＋2＋32＝(34＋8)(dm2). 空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)组合体或不规则几何体通常将其分割成简单几何体，然后再求表面积． 考向2　空间几何体的体积 [例5] (1)(2024·天津卷)一个五面体ABC­DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) A． B．＋ C． D．－ (2)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1­D1MN的体积为 ． (3)(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台甲、乙的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 答案：(1)C　(2)1　(3)　解析：(1)因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝×1××1＋××＝. (2)如图，由正方体的棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得S△A1MN＝2×2－2××2×1－×1×1＝， 又易知D1A1为三棱锥D1­A1MN的高，且D1A1＝2， ∴VA1­D1MN＝VD1­A1MN＝·S△A1MN·D1A1＝××2＝1. (3)两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比，根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比为＝＝. 求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体 积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 训练2 (1)某酒杯的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，其轮廓如图所示．已知球的半径为R，酒杯的容积为πR3，则酒杯内壁的面积为(　　) A．12πR2 B．10πR2 C．8πR2 D．6πR2 C　解析：设圆柱部分的高是h，由题意得πR2h＋×πR3＝πR3，所以h＋×R＝R，可得h＝3R，则酒杯内壁的面积为2πRh＋×4πR2＝2πR·3R＋×4πR2＝8πR2. (2)(多选)已知在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，则关于该正四棱台，下列说法正确的是(　　) A．∠A1AB＝ B．高为 C．体积为 D．表面积为12 BC　解析：连接AC，过点A1分别作底面ABCD，AB的垂线，垂足分别为M，N，如图所示， 则AM＝AC＝，AN＝AB＝1，可得A1M＝＝，A1N＝＝.对于A，在Rt△AA1N中，可得sin ∠A1AN＝＝，且∠A1AN为锐角，则∠A1AB＝，故A错误；对于B，正四棱台的高即为A1M＝，故B正确；对于C，正四棱台的体积V＝×(4×4＋2×2＋)×＝，故C正确；对于D，四棱台的表面积S＝4×4＋2×2＋4×＝20＋12，故D错误． (3)如图，已知体积为V的三棱柱ABC­A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P­AA1C1C的体积为 ． 答案：　解析：如图，把三棱柱ABC­A1B1C1补成平行六面体A1D1B1C1­ADBC．设点P到平面AA1C1C的距离为h，则＝＝＝·＝. [课时训练(1)见P145] 学科网（北京）股份有限公司 $$