第四章 第9节 概率与统计的综合问题（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第9节　概率与统计的综合问题 有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容．近几年将概率、统计问题与数列、函数、导数结合，成为创新问题． [对应学生用书P110] 考点一　概率与统计的综合 [例1] (2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1) 解：(1)平均年龄为(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁). (2)设事件A＝“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)”，则P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89. (3)设事件B＝“任选一人年龄位于区间[40，50)”，事件C＝“任选一人患这种疾病”，由条件概率公式可得 P(C|B)＝＝＝＝0.001 437 5≈0.001 4. 概率与统计综合问题的关注点 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为高考的一大亮点和热点．以对实际问题的统计分析为载体，考查概率的相关问题．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题． 训练1 (2025·银川模拟)某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从本市大学生和高中生中抽取一个容量为40的样本进行调查，调查结果如表所示， 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 20 28 高中生 合计 24 附： α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. (1)完成上述列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为关注航天事业发展与学生群体有关？ (2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择： 方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级； 方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级． 已知小华同学答出三个问题的概率分别是，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？(说明理由) 解：(1)完整列联表如下： 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 20 8 28 高中生 4 8 12 合计 24 16 40 故χ2＝≈5.08>3.841， 故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关． (2)方案一：设“回答三个问题，小华晋级”为事件A，则P(A)＝××＋××＋××＋××＝＝； 方案二：设“三个问题中，随机选择两个问题，小华晋级”为事件B， 则P(B)＝××＋××＋××＝×＝， 因为<，故小华应该选择方案一． 考点二　概率、统计与数列的综合问题 [例2] (2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(Xi)＝qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y). 解：(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋BA， 所以P(A)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)＝P(B)P(A|B)＋P(B)P(A|B)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝pi＋， 所以pi＋1－＝(pi－). 又p1－＝－＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以pi－＝×()i－1， 所以pi＝＋×()i－1. (3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi. Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn， 则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn， 由(2)知，pi＝＋×()i－1， 所以E(Y)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝＋×[1＋＋()2＋…＋()n－1]＝＋×＝＋×. 概率统计与数列交汇问题的解题策略 概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系．解决此类问题的基本步骤为 精准 定性 明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则 准确 建模 通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题 解决 模型 递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差数列、等比数列的问题求解．求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式 训练2 (2025·佛山模拟)某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回地从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额Xn(1≤n≤6)的数学期望为E(Xn). (1)求E(X1)及X2的分布列； (2)写出E(Xn)与E(Xn－1)(n≥2)的递推关系式，并证明{E(Xn)＋50}为等比数列； (3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．(参考数据：1.26≈2.986) 解：(1)依题意，抽到一个红球的概率为＝0.6，抽到一个黑球的概率为0.4， 显然X1的值为25，50， 则P(X1＝25)＝0.4，P(X1＝50)＝0.6， 所以E(X1)＝25×0.4＋50×0.6＝40. X2的值为25，50，100，则P(X2＝25)＝0.4， P(X2＝50)＝0.4×0.6＝0.24，P(X2＝100)＝0.6×0.6＝0.36， 所以X2的分布列为 X2 25 50 100 P 0.4 0.24 0.36 (2)依题意，当n≥2时，甲第n次抽到红球所得的奖券数额为2E(Xn－1)，对应概率为0.6， 抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为0.4， 因此当2≤n≤6时， E(Xn)＝2E(Xn－1)×0.6＋25×0.4＝1.2E(Xn－1)＋10， E(Xn)＋50＝1.2E(Xn－1)＋60， 即E(Xn)＋50＝1.2(E(Xn－1)＋50). 又E(X1)＋50＝40＋50＝90， 所以数列{E(Xn)＋50}为等比数列，公比为1.2，首项为90. (3)由(2)得，E(Xn)＋50＝90×1.2n－1(1≤n≤6)， 即E(Xn)＝90×1.2n－1－50， 所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为(Xn)＝－50×6≈－300＝593.7. 考点三　概率与函数、导数 [例3] 高性能计算芯片是一切人工智能的基础，国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，.人工检测仅对智能检测达标(即三项指标均达标)的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，人工检测综合指标不达标的概率为p(0＜p＜1). (1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率； (2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为f(p)，当p＝p0时，f(p)取得最大值，求p0； (3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良，以(2)中确定的p0作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良． 解：(1)记事件A＝“每个AI芯片智能检测不达标”，则P(A)＝1－P()＝1－××＝. (2)由题意f(p)＝Cp(1－p)49，0＜p＜1，所以f′(p)＝50[(1－p)49＋p×49(1－p)48×(－1)]＝50(1－p)48(1－50p).令f′(p)＝0，则p＝，当0＜p＜时，f′(p)＞0，f(p)为增函数；当p＞时，f′(p)＜0，f(p)为减函数，所以f(p)在p0＝处取得最大值． (3)记事件B＝“人工检测达标”， 则P(B|)＝1－＝.又P()＝1－＝， 所以P(B)＝P()P(B|)＝×＝92.12%＜93%， 因此需要对生产工序进行改良． 通过设置变量，利用数学期望、方差或概率的计算公式构造函数，是概率与函数问题结合最常用的方式．解决此类问题，应注意两个问题： (1)准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的数学期望、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键； (2)注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制． 训练3 某盒子内装有60个小球(除颜色之外其他完全相同)，其中有若干个黑球，其他均为白球．为了估计黑球的数目，设计如下实验：从盒子中有放回地抽取4个球，记录该次所抽取的黑球数目X，作为一次实验结果．进行上述实验共5次，记录下第i次实验中实际抽到黑球的数目xi.已知从该盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为p(0<p<1). (1)求X的分布列； (2)实验结束后，已知第i次实验中抽到黑球的数目xi如表所示． i 1 2 3 4 5 xi 2 3 2 3 3 设函数f(p)＝ln P(X＝xi). ①求f(p)的极大值点p0； ②据①估计该盒子中黑球的数目，并说明理由． 解：(1)从盒子中有放回地抽取4个球，记录该次所抽取的黑球数目X， ∵从该盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为p(0<p<1)，∴X～B(4，p)， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P (1－p)4 4p(1－p)3 6p2(1－p)2 4p3(1－p) p4 (2)①由(1)可知，f(p)＝ln P(X＝xi)＝2ln [6p2(1－p)2]＋3ln [4p3(1－p)]＝8ln 2＋2ln 3＋13ln p＋7ln (1－p)， ∴f′(p)＝－＝. 令f′(p)＝0，解得p＝， ∴当p∈(0，)时，f′(p)>0，f(p)单调递增；当p∈(，1)时，f′(p)<0，f(p)单调递减， ∴f(p)存在唯一的极大值点p0＝. ②估计盒子中黑球的数目为60p0＝39.理由如下： 由①可知，当且仅当p＝时，f(p)取得最大值； 即ln P(X＝xi)取得最大值，出现上述实验结果的概率最大， ∴可以认为从盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为，从而估计该盒子中黑球的数目为39是合理的． [课时训练(34)见P236] 学科网（北京）股份有限公司 $$