第四章 第8节 二项分布、超几何分布与正态分布（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第8节　二项分布、超几何分布与正态分布 1．理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题． 2．借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． [对应学生用书P105] 一、二项分布 1．概念 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 2．均值与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 二、超几何分布 1．概念 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品的次品数．令p＝，则E(X)＝＝np． 三、正态分布 1．概念 对任意的x∈R，f(x)＝e－>0(μ∈R，σ>0为参数)，则称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态曲线的特点 (1)它的图象在x轴上方； (2)x轴和曲线之间的区域的面积为1； (3)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (4)曲线在x＝μ处达到峰值； (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 3．参数μ和σ对正态曲线形状的影响 (1)当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中； (2)当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散． 4．均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 5．3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3． 答案：　解析：由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝＝. 2．(忽视正态曲线的对称性)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2).若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝________． 答案：0.954 1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，方差D(X)＝(1－)(1－). 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________ 追根 溯源 (人教B版选择性必修第二册P99T6)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，求P(ξ≤0) 发现 感悟 两题均考查正态分布的对称性的应用，求解正态分布概率问题的关键是充分利用好正态密度曲线的对称性 二、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第三册P77T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%的概率不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　) A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45 答案：A 2．(北师版选择性必修第一册P224T2改编)若随机变量ξ～N(μ，σ2)，其分布密度函数为φ(x)＝e－(x∈R)，则σ的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 A　解析：因为随机变量ξ～N(μ，σ2)，其分布密度函数为φ(x)＝e－，所以μ＝2，σ2＝1，所以σ＝1. 3．(苏教版选择性必修第二册P146T8改编)如果随机变量X～B(6，)，那么D(X)＝________． 答案： 4．(人教A版必修第三册P87T2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________. 答案：　解析：随机变量X服从正态分布N(3，1)，∵P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，∴＝3，∴c＝. 三、易误易混澄清 1．(混淆二项分布与超几何分布)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________． [对应学生用书P106] 考点一　二项分布 [例1] (2025·广东大湾区联考)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障能由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器．方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器． (1)对于方案一，设X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求X的分布列与均值E(X)； (2)在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？ 解：(1)由题意可知，X～B(2，)， 则P(X＝0)＝()2＝，P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝()2＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝2×＝. (2)对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”． 其概率为P1＝1－[1－P(X＝2)]3＝1－(1－)3＝. 对于方案二：机器发生故障时不能及时维修的概率为P2＝1－()6－C·×()5－C·()2×()4＝1－＝， 所以P2<P1，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高． 判断某随机变量服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． 训练1 (2025·衡阳模拟)为进一步加强学生的文明养成教育，推进校园文化建设，倡导真善美，用先进人物事迹来感动师生，用身边的榜样去打动师生，用真情去发现美、分享美、弘扬美，某校以争做最美青年为主题，进行“最美青年”评选活动，最终评出了10位“最美青年”，其中有6名女生，4名男生．学校准备从这10位“最美青年”中每次随机选出一人做事迹报告． (1)若每位“最美青年”最多做一次事迹报告，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B，求P(B)，P(B|A)； (2)根据不同需求，现需要从这10位“最美青年”中每次选1人，选4次，可以重复，连续4天分别为高一、高二、高三年级学生和全体教师做4场事迹报告，记这4天中做事迹报告的男生人数为X，求X的分布列和数学期望． 解：(1)由题意得，第二次抽到男生的概率P(B)＝＝. 因为P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝. (2)由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B(4，). 可得P(X＝0)＝C×()4×()0＝，P(X＝1)＝C×()3×()1＝，P(X＝2)＝C×()2×()2＝，P(X＝3)＝C×()1×()3＝，P(X＝4)＝C×()0×()4＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝4×＝. 考点二　超几何分布 [例2] (2025·黄山模拟)某校高三年级1 000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[30，50)，[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]. (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数； (2)从这次数学成绩位于[50，70)，[70，90)的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间[70，90)的人数记为X，求X的分布列及数学期望． 解：(1)由频率分布直方图可得(0.002 5＋0.007 5＋2×0.015 0＋2a)×20＝1，解得a＝0.005 0. 前四个矩形的面积之和为(0.002 5＋0.007 5＋2×0.015 0)×20＝0.8， 前五个矩形的面积之和为0.8＋0.005 0×20＝0.9. 设这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为m，则0.8＋(m－110)×0.005 0＝0.85，解得m＝120， 因此，这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120. (2)数学成绩位于[50，70)，[70，90)的学生人数之比为0.007 5∶0.015＝1∶2， 所以所抽取的9人中，数学成绩位于[50，70)的学生人数为9×＝3， 数学成绩位于[70，90)的学生人数为9×＝6. 由题意可知，随机变量X的可能取值有0，1，2，3， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. 超几何分布的特征 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布． (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 训练2 (2025·安康开学考试)某农场收获的苹果按A，B，C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1. (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 解：(1)设事件M＝“至少选到2箱A级苹果”， 由题意知选到1箱A级苹果的概率为＝，选到1箱非A级苹果的概率为＝，所以P(M)＝C()2×()1＋C()3×()0＝＝， 故至少选到2箱A级苹果的概率为. (2)因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果， 所以A级苹果有6箱，B，C级苹果共有4箱，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 考点三　正态分布 [例3] (多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 BC　解析：由题意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.841 3，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，所以A错误，B正确．因为Y～N(2.1，0.12)，所以P(Y<2.2)≈0.841 3，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3，所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3>0.8(另解：P(Y>2)＝P(Y<2.2)≈0.841 3>0.8)，所以C正确，D错误． 综上，选BC． 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为直线x＝μ. (2)标准差为σ. (3)分布区间． 由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率． 注意：只有在标准正态分布下对称轴才为直线x＝0. 训练3 (1)(多选)(2025·常州调研)已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5)(　　) A．该校学生成绩的期望为110 B．该校学生成绩的标准差为9 C．该校学生成绩的标准差为81 D．该校学生成绩及格率超过95% ABD　解析：因为该校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，则μ＝110，方差σ2＝81，标准差σ＝9. 因为μ－2σ＝110－2×9＝92，P(ξ≥90)>P(ξ>92)＝P(ξ>μ－2σ)＝＋P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈＋×0.954 5＝0.977 25>0.95，所以该校学生成绩的期望为110，标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%.所以A，B，D正确，C错误． (2)(多选)(2025·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 AC　解析：X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，结合正态密度函数的图象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． [对应学生用书P109] 考题中常涉及二项分布与超几何分布，有些学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别． [例] 写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些，服从超几何分布的是哪些． (1)X1表示n次重复地抛掷1枚骰子，出现点数是3的倍数的次数； (2)X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和； (3)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X3； (4)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4(N－M>n>0). 解：(1)X1的分布列为 X1 0 1 P C()0()n C()1()n－1 X1 … n P … C()n X1服从二项分布，即X1～B(n，). (2)X2的分布列为 X2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P X2既不服从二项分布，也不服从超几何分布． (3)X3的分布列为 X3 0 1 P C()0(1－)n C()1(1－)n－1 X3 … n P … C()n X3服从二项分布，即X3～B(n，). (4)X4的分布列为 X4 0 1 … k … n P … … X4服从超几何分布． 超几何分布与二项分布的区别与应用 (1)有放回抽样：每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型． (2)不放回抽样：取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型． (3)区别：①最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．超几何分布的试验是从含有m(m≤N)件次品的N件产品中任取n(n≤N)件产品，可以理解为是不放回抽样的试验；二项分布的试验就是在相同的条件下做了n次独立重复试验，可以理解为有放回抽样的试验． ②超几何分布需要知道总体容量，而二项分布不需要． (4)应用：超几何分布的应用中，常见的模型常有较明显的两部分，如“正品”与“次品”，“男生”与“女生”，“优”与“劣”等；二项分布的应用中，常见的模型涉及试验次数，如“射击次数”“摸球次数”“几人试验”等． 训练 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：g)，质量分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如图所示). (1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505 g的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列． 解：(1)质量超过505 g的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 质量超过505 g的产品数量为40×0.3＝12(件). (2)质量超过505 g的产品数量为12件，则质量未超过505 g的产品数量为28件，X的所有可能取值为0，1，2， 且X服从超几何分布． P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， X的分布列为 X 0 1 2 P (3)根据样本估计总体的思想，任取一件产品，该产品的质量超过505 g的概率为＝. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505 g的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B(2，)，P(Y＝k)＝C×(1－)2－k×()k， 所以P(Y＝0)＝C×()2＝，P(Y＝1)＝C××＝，P(Y＝2)＝C×()2＝. Y的分布列为 Y 0 1 2 P [课时训练(33)见P233] 学科网（北京）股份有限公司 $$