第四章 第3节 二项式定理（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第3节　二项式定理 1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． [对应学生用书P89] 一、二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N* 通项公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的二项式系数为C(k＝0，1，2，…，n) (a＋b)n的展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1； (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n； (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直至0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直至n； (4)二项式系数从C，C，一直到C，C. 二、二项式系数的性质 1．两个常用的二项展开式： (1)(a－b)n＝Can－Can－1b＋…＋(－1)r·Can－rbr＋…＋(－1)nCbn； (2)(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn. 2．若f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋an－2xn－2＋…＋a1x＋a0，则 (1)常数项：令x＝0，得a0＝f(0). (2)各项系数和：令x＝1，得f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋an－1＋an. 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2022·新高考Ⅰ卷)(1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答) 追根 溯源 (人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2)(x＋y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数是________ 发现 感悟 处理二项展开式中特定项问题的关键是分析展开式的规律，应从多项式概念的要素出发：项、次数、项数，其中最关键的是各项的系数 二、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第三册P31T4改编)(2x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　) A．26C B．－24C C．25C D．－25C 答案：D 2．(人教A版选择性必修第三册P30例1改编)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1＋a2＋a3＋…＋a7＝________． 答案：－2 三、易误易混澄清 1．(忽视赋值法的应用)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案：B 2．(混淆二项式最大的项和二项式系数最大的项)(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________(用数字作答). 答案：－160　解析：(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C23×(－1)3＝－160. [对应学生用书P90] 考点一　通项公式的应用 考向1　求二项展开式的特定项 [例1] (1)(2024·北京卷)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．6 B．－6 C．12 D．－12 (2)(2025·丰台模拟)已知(ax－)6的展开式中，常数项为60，则a的值为(　　) A．2 B．2，－2 C．3 D．3，－3 (1)A　(2)B　解析：(1)(x－)4的二项展开式为Tr＋1＝Cx4－r(－)r＝C(－1)rx4－(r＝0，1，2，3，4).令4－＝3，解得r＝2，故所求即为C(－1)2＝6. (2)(ax－)6展开式的通项为Tk＋1＝C(ax)6－k·(－)k＝.令6－＝0，可得k＝4.因此，展开式中的常数项为T5＝C(－1)4a2＝60，则a2＝4，a＝±2. 考向2　两个二项式之积 [例2] (2025·河南名校联考)(1＋)(x＋2y)6的展开式中x2y4的系数为________． 答案：432　解析：将(1＋)(x＋2y)6整理得(1＋xy－1)·(x＋2y)6，展开式中含x2y4的项为C·(xy－1)·x·(2y)5＋Cx2·(2y)4＝432x2y4，系数为432. 考向3　三项展开式问题 [例3] (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________. 答案：30　解析：方法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30. 方法二　(x2＋x＋y)5表示5个因式(x2＋x＋y)之积．所以x5y2可从两个因式中取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余两个因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30. 1．求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可． 2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解． 3．对于三项式问题，一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解． 训练1 (1)(多选)已知(x2－)n的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是(　　) A．n＝10 B．展开式中的常数项为45 C．含x5的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项 ABC　解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx2n－2k·(－1)kx－＝，由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，则＝，故＝，得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确； 则，令20－＝0，解得k＝8，则展开式中的常数项为(－1)8C＝45，故B正确；令20－＝5，解得k＝6，则含x5的项的系数为(－1)6C＝210，故C正确；令20－∈Z，则k为偶数，此时k＝0，2，4，6，8，10，故有6项有理项，故D错误． (2)(2025·德宏模拟)(2x＋1)(x－)5的展开式中x2项的系数为(　　) A．10 B．20 C．－10 D．－20 B　解析：因为(2x＋1)(x－)5＝2x(x－)5＋(x－)5，且(x－)5的展开式的通项为Tr＋1＝C·x5－r·(－)r＝(－1)rC·x5－2r，r＝0，1，2，3，4，5.令5－2r＝1，解得r＝2，可得T3＝(－1)2C·x＝10x；令5－2r＝2，解得r＝∉Z，不符合题意，所以x2项的系数为2×10＝20. (3)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为________． 答案：－2　解析：(x－1)4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－k·(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)＝－2. 考点二　二项式系数与各项的系数问题 考向1　二项式系数和与系数和 [例4] (1)在(3x－)n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　) A．二项式系数和为32 B．各项系数和为128 C．常数项为－135 D．常数项为135 (2)(2024·南昌调研)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝______；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝______． 答案：(1)D　(2)300　5 120　解析：(1)令x＝1，得各项系数和为2n，又二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确； (3x－)6的展开式的通项为Tk＋1＝C·(3x)6－k·()k＝.令6－k＝0，得k＝4.因此展开式中的常数项为T5＝C·(－1)4·32＝135，故C不正确，D正确． (2)①由已知得(1＋x)10展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数． 故a2＋a6＋a8＝C＋C＋C＝300. ②对原式两边求导得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9. 令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5 120. 赋值法求系数和的应用技巧 “赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 训练2 (多选)(2025·邵阳模拟)设(3x－2)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a7x7，则下列结论正确的是(　　) A．a0＝－2 B．a3＝85 C．a1＋a3＋a5＋a7＝32 D．a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋27a7＝2 916 ACD　解析：(1＋x)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk(k＝0，1，2，…，6)，a0＝－2×C＝－2，故选项A正确；因为T4＝20x3，T3＝15x2，而(3x－2)(1＋x)6的展开式中x3项的系数为3×C＋(－2)×C＝45－40＝5，故选项B错误；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(3×1－2)(1＋1)6＝64，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝0，两式相减得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝64，即a1＋a3＋a5＋a7＝32，故选项C正确；令x＝2，得a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋27a7＝(3×2－2)(1＋2)6＝2 916，故选项D正确． 考向2　系数与二项式系数的最值 [例5] (2024·全国甲卷)(＋x)10的展开式中，各项系数的最大值为________． 答案：5　解析：(＋x)10的展开式的通项为Tr＋1＝C()10－rxr，0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r＋1项系数最大，则⇒即≤r≤.又r∈Z，故r＝8，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C()2＝5. 1．二项式系数最大项的确定方法 当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn. 2．求展开式系数最大项的方法 求如(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来即可． 训练3 (1)(多选)(2024·梅州模拟)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和为2 048 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 ACD　解析：由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2 048，故选项A正确；因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项B错误，选项C正确；因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确． (2)已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则(2x＋)2n的展开式系数最大的项为________． 答案：15 360x4 　解析：由题意可得22n－2n＝992，解得n＝5.设第k＋1项的系数最大．∵Tk＋1＝C(2x)10－k＝C210－kx10－2k， ∴得即解得≤k≤.∵k∈Z，∴k＝3，故系数最大的项是第4项，第4项为T4＝C27x4＝15 360x4. [课时训练(28)见P218] 学科网（北京）股份有限公司 $$