第四章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第1节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1．了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． [对应学生用书P83] 一、分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 二、分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 三、分类加法和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的每一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终． (1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类． (2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”． 一、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第三册P11T3改编)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　) A．16 B．13 C．12 D．10 答案：C 2．(人教B版选择性必修第二册P8练习AT1改编)某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有(　　) A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 答案：C 3.(苏教版选择性必修第二册P63习题7.1T4改编)如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为(　　) A．6，8 B．6，6 C．5，7 D．6，2 答案：A 二、易误易混澄清 1．(混淆两个计数原理)一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，则从两个口袋中各取1个小球，有______种不同的取法． 答案：20　解析：分两步完成，第一步从第1个口袋内任取1个小球有5种方法，第二步从第二个口袋内取1个小球有4种方法，根据分步乘法计数原理得到不同的取法是5×4＝20(种). 2．(分步、分类时产生重复或遗漏)从1，2，3，…，10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有________个． 答案：40　解析：根据构成等差数列的公差，分为公差为±1，±2，±3，±4四类，当公差为±1时，有8×2＝16(个)；当公差为±2时，满足要求的数列共有6×2＝12(个)；当公差为±3时，有4×2＝8(个)；当公差为±4时，只有2×2＝4(个)，由分类加法计数原理可知，共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40(个). [对应学生用书P84] 考点一　分类加法计数原理 1．集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　) A．9 B．14 C．15 D．21 B　解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法．因此满足条件的点共有7＋7＝14(个). 2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有(　　) A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 B　解析：赠送1本画册，3本集邮册，需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法；赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法．由分类加法计数原理可知，不同的赠送方法共有4＋6＝10(种). 3．从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为________． 答案：10　解析：各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222.这样的三位数的个数为3＋6＋1＝10. 4．(2025·马鞍山三模)据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具．算筹记数的表示方法为个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推，遇零则置空．如图所示： 如：10记为，26记为，71记为．现有4根算筹，则可表示的两位数的个数为________． 答案：10　解析：由题意知，共有4根算筹，分为4类讨论：当十位1根，个位3根时，可表示2个两位数；当十位2根，个位2根时，可表示4个两位数；当十位3根，个位1根时，可表示2个两位数；当十位4根，个位0根时，可表示2个两位数．根据分类加法计数原理可得，共可表示2＋4＋2＋2＝10个两位数． 使用分类加法计数原理的两个注意点 (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏． (2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复． 考点二　分步乘法计数原理 1．(2024·大理模拟)现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有(　　) A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 C　解析：4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6种情况，由分步乘法计数原理得，共有5×6＝30种不同的方法． 2．(2025·南京期中)甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 A　解析：甲、乙两人听同一个讲座，方法数有3种，丙、丁两人听不同的讲座，方法数有2种，所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为3×2＝6(种). 3．(2025·泰安模拟)某市人民医院急诊科有3名男医生和4名女医生，内科有4名男医生和4名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有(　　) A．192种 B．180种 C．29种 D．15种 A　解析：从急诊科选派1名男医生和1名女医生有3×4＝12种方案，从内科选派1名男医生和1名女医生有4×4＝16 种方案，根据分步乘法计数原理，共有12×16＝192种不同的选派方案． 使用分步乘法计数原理应注意的问题 (1)明确题目中所要完成的这件事是什么，确定完成这件事需要几个步骤． (2)将完成这件事划分成几个步骤来执行，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，这件事才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数． 考点三　两个计数原理的综合 [例] (1)(2025·重庆模拟)如图，无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出4种不同颜色的光，①至⑤号的无人机颜色必须相同，⑥、⑦号无人机颜色必须相同，⑧号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有(　　)种灯光组合． A．48 B．12 C．18 D．36 (2)某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则不同的种植方法有(　　) A．120种 B．360种 C．420种 D．480种 (1)D　(2)C　解析：(1)根据题意可知，①至⑤号的无人机颜色有4种选择；当⑥、⑦号无人机颜色与①至⑤号的无人机颜色相同时，⑧号无人机颜色有3种选择；当⑥、⑦号无人机颜色与①至⑤号的无人机颜色不同时，⑥、⑦号无人机颜色有3种选择，⑧号无人机颜色有2种选择；再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有4×(1×3＋3×2)＝36(种). (2)分两类情况：第一类，2与4区域种同一种果树．第一步种1区域，有5种方法，第二步种2与4区域，有4种方法，第三步种3区域，有3种方法，最后一步种5区域，有3种方法．由分步乘法计数原理得共有5×4×3×3＝180(种).第二类，2与4区域种不同果树．第一步种1区域，有5种方法，第二步种2区域，有4种方法，第三步种3区域，有3种方法，第四步种4区域，有2种方法，第五步种5区域，有2种方法．由分步乘法计数原理得共有5×4×3×2×2＝240(种). 综上，由分类加法计数原理得，共有180＋240＝420种不同的种植方法． 综合运用两个计数原理的思路 (1)复杂问题中，两个计数原理可以综合应用：可以先分类，在各类中再分步，或先分步，到某一步时按需要再分类处理． (2)涂色问题一般综合利用两个计数原理求解，但也有两种常用方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析． 训练 (1)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是(　　) A．14 B．23 C．48 D．120 C　解析：分两步：第1步，取多面体，有5＋3＝8种不同的取法；第2步，取旋转体，有4＋2＝6种不同的取法，所以不同的取法种数是8×6＝48. (2)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 D　解析：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列顺序颠倒，又得到4个新数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个). (3)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同的种植方法种数为(　　) A．96 B．114 C．168 D．240 C　解析：首先在a中种植，有4种不同的方法，其次在b中种植，有3种不同的方法，再次在c中种植，若c与b同色，则c有1种方法，d有3种不同的方法，若c与b不同色，则c有2种不同的方法，d有2种不同的方法，最后在e中种植，有2种不同的方法，所以不同的种植方法共有4×3×(1×3＋2×2)×2＝168(种). [课时训练(26)见P214] 学科网（北京）股份有限公司 $$