第二章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第8节　直线与圆锥曲线的位置关系 1．掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题的思想方法． 2．会判断直线与圆锥曲线的位置关系． [对应学生用书P59] 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C的交点个数 a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) 0 b≠0 有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行) 1 a≠0 Δ＞0 两个不相等的解 2 Δ＝0 两个相等的解 1 Δ＜0 无实数解 0 2.几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为只有直线与双曲线相切．而当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点． (2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行或重合时也与抛物线相交于一点． 二、圆锥曲线的弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A为(x1，y1)，B为(x2，y2)，则|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·|y1－y2|＝·. “点差法”的常见结论 设AB为圆锥曲线的一条弦，点P为弦AB的中点． (1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝－； (2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝； (3)抛物线y2＝2px(p＞0)中的中点弦问题：kAB＝(y0为中点P的纵坐标且y0≠0). 一、教材典题改编 1．(人教B版选择性必修第一册P173习题2­8AT2)已知直线x－2y＋2＝0与椭圆x2＋4y2＝4相交于A，B两点，则线段AB的长为 . 答案： 2．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝ . 答案： 3．(人教A版选择性必修第一册P145T4改编)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则实数k的取值范围是 ． 答案：(－∞，－)∪(，＋∞) 二、易误易混澄清 1．(忽视相切与交点个数的关系)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：当直线与双曲线相切时，只有一个公共点．但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点． 2．(忽略直线过定点)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 A　解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． [对应学生用书P61] 考点一　直线与圆锥曲线位置关系的判断 [例1] (1)(多选)(2024·邯郸模拟)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1，则下列结论正确的是(　　) A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2 B．若C与l有且仅有两个公共点，则|m|<2 C．若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个 D．若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个 (2)若直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则k的值为 ． 答案：(1)BCD　(2)0或或－1　解析：(1)联立消去y，得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则判别式Δ＝12(8－m2).对于A，令Δ＝12(8－m2)≥0，则有|m|≤2，故A错误；对于B，令Δ＝12(8－m2)>0，则有|m|<2，故B正确；对于C，令直线l与椭圆C相切，则Δ＝12(8－m2)＝0，即m＝±2，直线y＝x＋3与y＝x－2的距离d＝＝5，故C正确；对于D，如图，直线y＝x－分别与y＝x－2和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，故D正确． (2)当斜率k＝0时，直线y＝1平行于x轴，与抛物线y2＝4x仅有一个公共点；当斜率k≠0时，直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x联立，消去x可得y2－＋8＋＝0，因为直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，所以Δ＝－－32＝0，解得k＝或k＝－1.综上可得，k的值为0或或－1. 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 代数法 联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程的根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标 几何法 画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点的个数 训练1 已知直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(0<a<2，b>0)有且仅有1个交点，则双曲线C的离心率为(　　) A．5 B． C． D． D　解析：因为直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(0<a<2，b>0)有且仅有1个交点，联立 可得(4b2－a2)x2＋8b2x＋4b2－a2b2＝0. 当直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(0<a<2，b>0)的渐近线平行时，4b2－a2＝0⇒＝，则双曲线C的离心率e＝＝. 当直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(0<a<2，b>0)相切时， 此时 解得a2＝4b2＋4≥4，则a≥2，不符合题意． 所以双曲线C的离心率为. 考点二　与弦长有关的问题 [例2] (2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0，3)和P(3，)为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 解：(1)由题知解得 ∴c＝＝，∴C的离心率e＝＝. (2)|PA|＝＝， 设点B到直线PA的距离为h，则△ABP的面积为S＝|PA|·h＝9，解得h＝. 易知直线PA：x＋2y－6＝0，设B(x，y)， 则 解得或∴B(0，－3)或B(－3，－)， 故直线l：y＝x－3或y＝x. 求解直线被圆锥曲线截得的弦长的方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0). 训练2 (2024·南昌模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，顶点到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为2，求k的值． 解：(1)由题得C的离心率e＝＝2　①，设C的顶点为(a，0)，渐近线方程为bx－ay＝0，则＝　②. 又a2＋b2＝c2　③， 联立①②③，解得a＝，b＝，c＝2， 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)设A为(x1，y1)，B为(x2，y2)， 联立得(3－k2)x2－4kx－10＝0， 所以 解得－<k<，且k≠±， 所以x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以|AB|＝·＝·＝. 又点O到直线l的距离d＝， 所以△AOB的面积S＝|AB|·d＝×·＝＝2， 解得k＝±1或k＝±2，符合k≠±， 所以k＝±1或k＝±2. 考点三　中点弦问题 [例3] (1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A．(1，1) B．(－1，2) C．(1，3) D．(－1，－4) (2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为，过点F的直线l交椭圆于A，B两点．若AB的中点为(1，1)，则直线l的斜率为(　　) A．－ B．－ C．－ D．1 (1)D　(2)A　解析：(1)通解　设A为(x1，y1)，B为(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得x－x＝，即(x1－x2)·(x1＋x2)＝，化简得＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·. 由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意． 光速解　选项中的点均位于双曲线两支之间，故A，B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称．设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则|kAB|＝9||<3，即|y0|>3|x0|，结合选项可知选D． (2)设A为(x1，y1)，B为(x2，y2)， 则AB的中点坐标为(，).由题意可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.将A，B的坐标代入椭圆的方程得作差可得＋＝0，所以＝－·＝－.又离心率e＝＝，c2＝a2－b2，所以＝，所以－＝－，即直线AB的斜率为－. 弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系．若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率． 训练3 (1)已知双曲线方程为x2－＝1，则以A(2，1)为中点的弦所在直线l的方程是(　　) A．6x＋y－11＝0 B．6x－y－11＝0 C．x－6y－11＝0 D．x＋6y＋11＝0 B　解析：设直线l交双曲线x2－＝1于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由已知得两式作差得x－x＝，所以＝＝6，即直线l的斜率为6，故直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0，经检验满足题意． (2)(2025·贵阳开学考试)已知直线x－4y＋9＝0与椭圆＋＝1(0<b<4)相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是F1，F2，线段AB的中点为C(－1，2)，则△CF1F2的面积为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 B　解析：设A为(x1，y1)，B为(x2，y2)，由题可知kAB＝＝，x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，则所以＝－，即＝，解得b2＝8，所以c2＝a2－b2＝16－8＝8，则c＝2，所以S△CF1F2＝×2c×2＝4. [对应学生用书P62] 设而不求是解答解析几何问题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求． [例] (2025·石家庄质检)已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上的一个动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为(　　) A． B． C． D． B　解析：由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A为(x1，y1)，B为(x2，y2)，设P为(m，n)，过点P的抛物线的切线为y＝k(x－m)＋n，联立得x2－8kx＋8km－8n＝0.因为Δ＝64k2－32km＋32n＝0，即2k2－km＋n＝0，所以k1＋k2＝，k1k2＝，又由x2＝8y得y＝，可得y′＝x，所以x1＝4k1，y1＝＝2k，x2＝4k2，y2＝＝2k，所以kAB＝＝＝＝.因为点P(m，n)满足(x－2)2＋(y＋2)2＝1，所以1≤m≤3，因此≤≤，即直线AB斜率的最大值为. (1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地利用根与系数的关系用PA，PB的斜率把A，B的坐标表示出来，从而快速解决问题． (2)在圆锥曲线问题中运用“设而不求”的方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能运用“设而不求”方法；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多． 训练 过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 . 答案：　解析：设A为(x1，y1)，B为(x2，y2)，则 相减得＋＝0，整理得＝－·.∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－＝－，∴a2＝2b2. ∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.即椭圆C的离心率e＝. [课时训练(17)见P190] 学科网（北京）股份有限公司 $$