第二章 第7节 抛物线（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第7节　抛物线 1．了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，以及它的简单几何性质． 2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． [对应学生用书P57] 一、抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 二、抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－) 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 [其中 P为 (x0， y0)] |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ 1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F(，0)的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 3．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，准线x＝－与x轴相交于点P，过焦点F(，0)的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为原点，α为AB与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：|AB|＝|x1－x2|，|AB|＝|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝. 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，直线l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 追根 溯源 (人教A版选择性必修第一册P135例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长 发现 感悟 高考题在教材问题的基础上作进一步探索，可运用有关抛物线的二级结论解决问题，可见掌握圆锥曲线的一些二级结论是必要的，也体现了高考试题的选拔性功能 二、教材典题改编 1．(人教B版选择性必修第一册P162T2改编)抛物线x2＝y的准线方程为(　　) A．y＝－ B．x＝－ C．y＝ D．x＝ 答案：A 2．(人教A版选择性必修第一册P133T3改编)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 答案：B 3．(苏教版选择性必修第一册P128T10)若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为 . 答案： 三、易误易混澄清 1．(忽视p的几何意义致误)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　) A．y2＝±2x B．y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4x 答案：D 2．(忽视抛物线的焦点位置)已知抛物线的顶点是坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的方程为 ． 答案：y2＝8x或x2＝y [对应学生用书P58] 考点一　抛物线的定义及其应用 [例1](1)(2025·贵阳模拟)已知点A是抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，若点A到抛物线焦点的距离为5，且点A到x轴的距离为4，则p＝(　　) A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8 (2)(2025·大理开学考试)已知点P为抛物线C：y2＝8x上任意一点，F为抛物线C的焦点，点Q为圆M：(x－8)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　　) A．6 B．10 C．4 D．8 (1)C　(2)D　解析：(1)由题意得|yA|＝4，xA＋＝5，其中y＝2pxA，故2p(5－)＝16，解得p＝2或p＝8. (2)如图，过点P作PH垂直准线于点H，连接PM交⊙M于点Q. 由题意可得F为(2，0)，抛物线C的准线方程为x＝－2，|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|，圆M的圆心为(8，4)，半径r＝2.因为|PQ|＝|PM|－|QM|＝|PM|－2，所以|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PM|－2.当M，P，H三点共线时，|PH|＋|PM|取得最小值，最小值为8＋2＝10，所以|PF|＋|PQ|的最小值为10－2＝8. 由抛物线定义解题的捷径 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径． 训练1 (1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0，2)到该抛物线的焦点F的距离为，则m等于(　　) A．4 B．3 C． D． D　解析：由题意知，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－.根据抛物线的定义，可得点(x0，2)到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离，可得2＋＝，解得m＝. (2)(2025·杭州开学考试)已知A，B为抛物线x2＝4y上的动点，P(x0，y0)为AB的中点，若|AB|＝6，则y0的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：如图，F为抛物线的焦点，m为准线，作AC⊥m，PN⊥m，BD⊥m，连接AF，BF. 由抛物线定义知，2|PN|＝|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝6，所以|PN|≥3，当且仅当F在AB上时，等号成立．因为准线为y＝－1，则点P到x轴的最小距离是2，故y0的最小值为2. 考点二　抛物线的标准方程 [例2] (1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为 ． (2)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于点D．若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为 ． 答案：(1)y2＝x或x2＝－y　(2)y2＝4x　 解析：(1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).把点(3，－4)分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3或32＝－2p1·(－4)，则2p＝或2p1＝，∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (2)根据抛物线的定义，可得|AD|＝|AF|＝4.又∠DAF＝60°，所以|AD|－p＝|AF|cos 60°＝|AF|，所以4－p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x. 求抛物线的标准方程的方法 (1)先定位：确定焦点或准线的位置，再定形：根据条件求p. (2)对于焦点在x轴上的抛物线，为避开讨论，设成y2＝mx(m≠0)，则焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.同理焦点在y轴上的抛物线也可设成x2＝my(m≠0). 训练2 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线上，且直线AB过点D(－，0)，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|＝6，则抛物线C的标准方程为 ． 答案：y2＝8x　解析：如图，过点A，B分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为A1，B1. 由抛物线的定义可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|. ∵2|FB|＝|FA|，∴2|BB1|＝|AA1|，则易知B为AD的中点．连接OB，则OB为△DFA的中位线，∴2|OB|＝|FA|， ∴|OB|＝|FB|，∴点B在线段OF的垂直平分线上，∴点B的横坐标为，∴|FB|＝＋＝3，∴p＝4，∴抛物线C的标准方程为y2＝8x. 考点三　抛物线的几何性质问题 [例3] (1)(2025·南通模拟)已知点P在抛物线x2＝－5y上，且A为(0，－3)，则|PA|的最小值为(　　) A． B． C． D． (2)(2025·广州期中)直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝(　　) A． B．3 C． D． (1)D　(2)C　解析：(1)设点P的坐标为(x，y)，则x2＝－5y，且|PA|2＝x2＋(y＋3)2＝y2＋y＋9＝(y＋)2＋.又y≤0，所以当y＝－时，|PA|2有最小值，所以|PA|的最小值为. (2)抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1. 设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2.由|AF|＝3|BF|，得|y1|＝3|y2|，则x1＝9x2，且x1＋1＝3(x2＋1)，得x1＝3x2＋2，联立解得x1＝3，x2＝，所以|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝. 运用抛物线的几何性质解题的思路 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 训练3 (1)(2025·保定开学考试)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点B为(3，0)，C上一点A到l的距离等于|AB|，则△AFB的面积为(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 B　解析：如图，过点A向准线作垂线，交于点D．由题意得，F为(1，0)，点A到l的距离为|AD|，|AD|＝|AF|＝|AB|，即点A在线段FB的垂直平分线上，所以点A的横坐标为2.不妨设点A在x轴上方，代入得，A为(2，2)，所以△AFB的面积为×2×2＝2. (2)(2025·成都开学考试)已知抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与直线l交于点D．若＝λ(λ>1)且||＝4，则λ＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：设准线与x轴的交点为K，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，则BB1∥FK∥AA1. 根据抛物线定义知|BB1|＝|BF|，|AA1|＝|AF|，又＝λ(λ>1)，且||＝4，设|BF|＝m，则＝，所以＝.又p＝3，解得m＝2， 所以|AF|＝λ|FB|＝2λ，所以|BA|＝2＋2λ.因为BB1∥FK∥AA1，所以＝，∴＝，解得λ＝3. [课时训练(16)见P187] 学科网（北京）股份有限公司 $$