第二章 第6节 双曲线（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第6节　双曲线 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率、实虚轴). 3．会解双曲线中的焦点三角形，会求双曲线的标准方程、渐近线、离心率等． [对应学生用书P52] 一、双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. 1．当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； 2．当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； 3．当2a>|F1F2|时，P点不存在． 二、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为 追根 溯源 (北师版选择性必修第一册P68T4)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，求双曲线C的渐近线方程 发现 感悟 高考题与教材习题完全一致，进一步凸显了一轮复习回归教材的紧迫性．双曲线渐近线求解的关键是根据条件中的代数关系和几何关系建立关于系数a，b，c的齐次方程，并结合定义求解 二、教材典题改编 1．(多选)(人教A版选择性必修第一册P124T4改编)已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．y2－＝1 D．x2－＝1 答案：BC 2．(人教A版选择性必修第一册P127T1改编)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝(　　) A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对 B　解析：根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，解得|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17. 3．(北师版选择性必修第一册P68T3改编)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　　) A． B． C． D． A　解析：双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x，即±3x－4y＝0.由点到直线的距离公式，得＝. 4．(人教B版选择性必修第一册P155练习AT3改编)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． D　解析：由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，∴e＝＝＝＝. 三、易误易混澄清 1．(忽视双曲线定义的条件)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是 ． 答案：双曲线－＝1的下支　解析：由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3.又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支． 2．(忽视讨论焦点的位置)已知双曲线的焦距为6，它的离心率为3，则该双曲线的标准方程为 ． 答案：x2－＝1或y2－＝1　解析：依题意2c＝6，则c＝3，由＝3，得a＝1，所以b2＝c2－a2＝8.当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y2－＝1. [对应学生用书P53] 考点一　双曲线的定义及应用 [例1] (1)(2025·榆林模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1的左、右焦点，过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q.若△PQF2是正三角形，则|QF1|＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 (2)(2025·成都模拟)已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点．若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则cos ∠F1BF2＝(　　) A． B． C． D． (1)C　(2)B　解析：(1)根据双曲线定义有|QF1|－|QF2|＝4，由于点P在线段F1F2的垂直平分线上，所以|PF1|＝|PF2|，又|QF1|＝|PF1|＋|PQ|，|QF2|＝|PF2|＝|PQ|，所以|QF1|－|QF2|＝|PF1|＝4，故|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝2|PF1|＝8. (2)如图，由于|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，且|BF2|－|BF1|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a.设|BF1|＝m，则|AF1|＝2m，故|BF2|＝3m，所以3m－m＝2a，即m＝a，则|BF1|＝a，|AF1|＝2a，|AB|＝|BF2|＝3a，|AF2|＝4a.在△BAF2中，由余弦定理得cos ∠F1BF2＝＝. (1)“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 常用 知识点 在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用 技巧 经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系 (2)应用双曲线定义需注意的问题 在双曲线的定义中，一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是两条射线或不存在． 训练1 (1)(2025·天津期中)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点P(－1，)，F1，F2是C的左、右焦点，且|PF1|＝2.若双曲线上一点M满足|MF1|＝，则|MF2|＝(　　) A．或 B． C． D． B　解析：因为F1(－c，0)，|PF1|＝2，所以＝2，所以c＝2或c＝0(舍去)，又双曲线的渐近线过点P(－1，)， 所以－＝，所以＝，所以所以所以双曲线C：x2－＝1.若点M在左支上，|MF1|＝>c－a＝1，符合要求，所以|MF2|＝|MF1|＋2a＝＋2＝；若M在右支上，|MF1|≥a＋c，但<c＋a＝3，不符合要求，所以|MF2|＝. (2)(2025·菏泽模拟)设O为坐标原点，F1(－c，0)，F2(c，0)，存在点P满足：|PF1|＋|PF2|＝2a1(a1>c)，|PF1|－|PF2|＝2a2，且c＝2a2，则PF1与x轴正方向夹角的余弦值的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(，1) C．(1，2) D．(，2) B　解析：由解得 又a2＝，故 由余弦定理得，cos ∠PF1F2＝ ＝＝. 令e＝，由|PF1|＋|PF2|＝2a1>|F1F2|＝2c可得e∈(0，1)，则cos ∠PF1F2＝＝＝＝2－.因为f(e)＝2－在(0，1)上是增函数，故<f(e)<1.即cos ∠PF1F2∈(，1). 考点二　双曲线的标准方程 [例2] (1)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1 C．－＝1 D．－x2＝1 (2)(2024·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (1)C　(2)C　解析：(1)椭圆C的焦点坐标为(0，±2).设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由双曲线的定义可得2a＝|－|＝(＋)－(－)＝2，∴a＝.∵c＝2，∴b＝＝，因此双曲线的标准方程为－＝1. (2)由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得tan ∠PF2F1＝＝2，根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，又S△PF1F2＝8，所以a2＝2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为－＝1，故选C． 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0). 双曲线系方程 (1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－a2<λ<b2)； (2)与双曲线－＝1(a>0，b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). 1．等轴双曲线的一个焦点是F1(0，－6)，则其标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 C　解析：等轴双曲线的一个焦点是F1(0，－6)，故焦点在y轴上，c＝6且a＝b，根据a2＋b2＝c2，得a＝b＝3，故双曲线的标准方程为－＝1. 2．(2025·安阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，P为C上一点，PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，则双曲线C的方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．3x2－＝1 A　解析：由题可知双曲线的焦距为2c＝2，即c＝.因为PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，所以|F1Q|＝|F2Q|＝|F2P|＝|PQ|，所以∠PF2Q＝60°，∠F1F2Q＝30°，故PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝＝，|PF1|＝2|PF2|＝，所以|PF1|－|PF2|＝－＝＝2a，所以＝，所以a＝1，b＝，所以双曲线C的方程为x2－＝1. 考点三　双曲线的几何性质有关问题 考向1　渐近线问题 [例3] (2025·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是 ． 答案：4x2－y2＝1　解析：方法一　由题意可知，若双曲线的焦点在x轴上，则可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则－＝1且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1； 若双曲线的焦点在y轴上，则可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则－＝1，且＝2，此时无解． 综上可知，双曲线的方程为4x2－y2＝1. 方法二　由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，)，∴λ＝4×12－()2＝1，∴双曲线方程为4x2－y2＝1. 考向2　离心率问题 [例4] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 ． (2)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，若直线y＝±2x与E无公共点，则e的取值范围是 ． 答案：(1)　(2)(1，]　解析：(1)由题可知A，B，F2三点的横坐标相等．设A在第一象限，将x＝c代入－＝1得y＝±，即A为(c，)，B为(c，－)，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5.又|AF1|－|AF2|＝2a，可得|AF1|＝2a＋|AF2|＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝. (2)因为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，因为直线y＝±2x与E无公共点，则≥2，所以0<≤，所以双曲线的离心率的取值范围为1<e＝≤，所以双曲线的离心率的取值范围是(1，]. 求双曲线离心率或其范围的方法 (1)求出a，b，c的值，根据e2＝＝＝1＋直接求e； (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．建立关于a，b，c的齐次方程(或不等式)时，要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等． 考向3　与双曲线有关的最值问题 [例5] (1)已知双曲线E：－＝1(m>0)的离心率为2，右焦点为F，动点P在双曲线右支上，点A(0，1)，则|PF|－|PA|的最大值为(　　) A． B．－2 C．2 D．2－2 (2)如图，设双曲线C：x2－＝1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点A是C右支上的一点，则|AF1|＋的最小值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 (1)B　(2)C　解析：(1)因为双曲线的离心率为2，所以＝2，解得m＝1，则左焦点F1为(－2，0).由双曲线的定义得|PF|－|PA|＝|PF1|－2a－|PA|＝|PF1|－|PA|－2.因为||PF1|－|PA||≤|AF1|，当且仅当F1，A，P三点共线时|PF|－|PA|最大，所以|PF|－|PA|≤|AF1|－2＝－2＝－2. (2)由双曲线C：x2－＝1可得a2＝1，b2＝24，所以c2＝a2＋b2＝25，所以a＝1，c＝5.由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，所以|AF1|＝|AF2|＋2，所以|AF1|＋＝|AF2|＋＋2.由双曲线的性质可知|AF2|≥c－a＝4.令|AF2|＝t，则t≥4，所以|AF1|＋＋2＝t＋＋2.令f(t)＝t＋＋2(t≥4)，则f(t)在[4，＋∞)上单调递增，所以当t＝4时，f(t)取得最小值4＋＋2＝7，此时点A为双曲线的右顶点(1，0)，即|AF1|＋的最小值为7. 与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解． (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决． (3)若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可建立目标函数，利用函数或基本不等式求最值． 训练2 (1)(多选)(2025·长沙质检)已知双曲线的方程为－＝1，则(　　) A．渐近线方程为y＝±x B．焦距为8 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为8 BC　解析：由题意，易知双曲线的实半轴长a＝8，虚半轴长b＝4，半焦距c＝＝4，且焦点在y轴上，则渐近线方程为y＝±x＝±2x，A错误；焦距为2c＝8，B正确；离心率e＝＝，C正确；上焦点为(0，4)，焦点到渐近线的距离为4，D错误． (2)设双曲线C1：x2－y2＝1，C2：－＝1(b>0)的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则b＝(　　) A．1 B．2 C． D． A　解析：由双曲线C1：x2－y2＝1，可得其离心率为e1＝，又由双曲线C2：－＝1(b>0)，可得其离心率为e2＝＝.因为e2＝e1，可得＝×，解得b＝1. (3)(2025·嘉兴测试)已知点M(－5，0)，点P在双曲线－＝1(x>0)上运动，点Q在曲线C：(x－5)2＋y2＝1上运动，则的最小值是 ． 答案：20　解析：如图，在双曲线－＝1中，a＝3，b＝4，c＝＝5， 圆(x－5)2＋y2＝1的圆心为C(5，0)，半径r＝1，所以双曲线－＝1的左、右焦点分别为M，C．由双曲线的定义可得|PM|＝|PC|＋2a＝|PC|＋6，|PQ|≤|PC|＋1，所以≥＝(|PC|＋1)＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当|PC|＝4时，等号成立，故的最小值是20. [对应学生用书P56] 双曲线的二级结论 1．焦点三角形的面积公式：已知点P为双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于顶点的一点，F1，F2为左、右焦点，且∠F1PF2＝θ，则双曲线中＝. 2．双曲线的焦半径公式：已知点P(xP，yP)在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，e为双曲线的离心率，则|PF1|＝|exP＋a|，|PF2|＝|exP－a|. 3．焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与双曲线相交于A，B两点，则＋＝. 4．过双曲线上一点的切线方程：已知点P(x0，y0)为焦点在x轴上的双曲线上的任一点，则过点P与双曲线相切的切线方程为－＝1. 5．周角定理：已知过原点的直线l交双曲线于A，B两点，P是双曲线上异于A，B两点的动点，则kPA·kPB＝. [例] 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F.若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D． B　解析：一般法解题　设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′.因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F(c，0)，所以AF⊥BF，圆心为O(0，0)，半径为c. 根据双曲线的对称性可得四边形AFBF′是矩形，设|AF|＝m，|BF|＝n， 则由(n－m)2＝m2＋n2－2mn可得4c2－8a2＝4a2，所以c2＝3a2，所以＝e2＝3，所以e＝. 二级结论解题　设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′.因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F(c，0)，所以S△AF′F＝2a2，且∠F′AF＝，根据双曲线焦点三角形面积公式S△AF′F＝，得2a2＝b2，结合c2＝a2＋b2，得2a2＝c2－a2⇒c2＝3a2⇒e2＝3⇒e＝. 训练 (1)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为(　　) A． B． C． D． C　解析：设P为(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为－＝1，故切线l的斜率k＝.因为k·kOP＝，所以·＝，则＝，即双曲线C的离心率e＝＝. (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B　解析：由焦点三角形面积公式，得S△F1PF2＝＝＝，即|PF1|·|PF2|·sin 60°＝|PF1||PF2|＝，所以|PF1|·|PF2|＝4. (3)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，若点P是双曲线上任意一点，且满足|PO|2＝|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x D　解析：设P为(x0，y0)，则x≥a2.由焦半径公式可知|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|，其中e为双曲线的离心率．易知e2x－a2>0，则由|PO|2＝|PF1|·|PF2|，得x＋y＝x＋b2(－1)＝e2x－a2，可得(1＋－e2)x＝b2－a2＝0，则a2＝b2，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x. [课时训练(15)见P184] 学科网（北京）股份有限公司 $$