第二章 第2节 两条直线的位置关系（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第2节　两条直线的位置关系 1．能根据斜率公式判定两条直线平行或垂直，能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 2．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离． [对应学生用书P38] 一、两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2 且b1≠b2 或 重合 k1＝k2 且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0 谨防2个易错点 (1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况． (2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零的情况． 二、距离公式 1．两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝． 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 3．两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0.l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝． 1．六种常用对称关系： (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y). (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y). (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x). (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y). (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y). (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k). 2．直线系方程： (1)过定点(x0，y0)的直线系：y－y0＝k(x－x0). (2)与Ax＋By＋C＝0平行的直线系：Ax＋By＋λ＝0. (3)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系：Bx－Ay＋λ＝0. (4)交点直线系：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 一、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第一册P67T8改编)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 答案：D 2．(人教A版选择性必修第一册P102T2改编)若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于(　　) A．4 B．－4 C．1 D．－1 A　解析：因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以＝≠，解得m＝4. 3．(苏教版选择性必修第一册P27T2)以点A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 B　解析：易知kAB＝＝－，kAC＝＝，kAB＝－，故△ABC是直角三角形． 4．(人教A版选择性必修第一册P77T3)已知点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则实数C的值为 ． 答案：5或15 5．(苏教版选择性必修第一册P32T3改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为 ． 答案：－9　解析：由得所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9. 二、易误易混澄清 1．(使用平行线间的距离公式忽略系数相等)平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0之间的距离是(　　) A． B．2 C． D． B　解析：依题意得，所求的距离等于＝2. 2．(已知两直线平行求参数值未验证重合的情况)已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为 ． 答案：3　解析：令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3.当a＝－1时，两直线重合，故舍去，故a＝3. [对应学生用书P39] 考点一　两条直线的位置关系 [例1] 已知两直线l1：(m＋3)x＋5y＝5－3m，l2：2x＋(m＋6)y＝8，当m为何值时，l1与l2： (1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直． 解：(1)当直线l2斜率不存在，即m＝－6时，直线l1的方程为－3x＋5y＝23，l2的方程为x＝4，显然两直线相交； 当直线l2斜率存在，即m≠－6时，由－≠－，解得m≠－1，m≠－8. 综上可知，当m≠－1且m≠－8时，直线l1与l2相交． (2)由(1)知当m＝－6时，直线l1与l2相交． 当m≠－6时，由＝≠，得m＝－1(舍去)或m＝－8，所以当m＝－8时，直线l1与l2平行． (3)由＝＝，得m＝－1，所以当m＝－1时，直线l1与l2重合． (4)由 2(m＋3)＋5(m＋6)＝0得m＝－，所以当m＝－时，直线l1与l2垂直． 两直线位置关系的解题思路 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论，同时验证结论的正确性． 训练1 (1)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：由l1⊥l2得，2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，解得m＝3或m＝－2，即m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件． (2)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则实数m的值为(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－ A　解析：由题意可知2－m(1＋m)＝0，解得m＝－2或m＝1.经检验，当m＝－2时，两直线重合，不符合题意，舍去；当m＝1时，符合题意．故实数m的值为1. (3)若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　) A．4 B．2 C． D． A　解析：解方程组得直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点为(，).依题意，＝k，解得k＝4，所以实数k＝4. 考点二　两直线的交点与距离问题 [例2] 经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　) A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0 D　解析：方法一　由解得所以直线l1与l2的交点为(－1，1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所求直线方程为3x＋2y＋1＝0. 方法二　设所求直线方程为2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0，即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0.又该直线与3x＋2y＋7＝0平行，故(λ＋2)·2－3·(2λ－1)＝0，解得λ＝，故所求直线方程为(＋2)x＋(－1)y＋3－＝0，即3x＋2y＋1＝0. 1．求过两直线交点的直线方程的方法 先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． 2．利用距离公式的注意点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|； (2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化成相同的数值． 训练2 (1)(2025·咸阳模拟)已知直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，则点P(1，2)到直线l2的距离d＝(　　) A． B． C． D． D　解析：由l1⊥l2，可得2×1－1×a＝0，解得a＝2，故d＝＝. (2)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　) A．3 B．4 C．2 D．6 B　解析：由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1，0)的距离的平方，得其最小值为点(1，0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝()2＝4. 直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直线l2. [例] (1)过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　) A．3x－19y＝0 B．19x－3y＝0 C．19x＋3y＝0 D．3x＋19y＝0 (2)若两条平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是 ． 答案：(1)D　(2)2或－6　解析：(1)设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，得4＋5λ＝0，解得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0. (2)由题意得＝≠，∴a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.由两平行线间的距离公式得＝，即|＋1|＝2，解得c＝2或c＝－6. 考点三　对称问题 考向1　中心对称问题 [例3] 过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 ． 答案：x＋4y－4＝0　解析：设直线l1与直线l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在直线l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以由截距式得直线l的方程为x＋4y－4＝0. 若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解． 考向2　轴对称问题 [例4] 已知A(0，2)，B(3，－1)，点P为x轴上一动点，则|PA|－|PB|的最大值是(　　) A． B．3 C．2 D． A　解析：设点A关于x轴的对称点为C(0，－2)，kBC＝＝，直线BC的方程为y＝x－2.令y＝0，得x＝6，所以直线BC与x轴交点为Q(6，0)， |PA|－|PB|＝|PC|－|PB|≤|CB|＝＝，当且仅当P是直线BC与x轴交点Q时，等号成立． 轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则可得(其中B≠0，x1≠x2). (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行． 训练3 (1)若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) B　解析：由题知直线l1过定点(4，0)，则由条件可知，直线l2所过的定点关于(2，1)对称的点为(4，0)，故可知直线l2所过的定点为(0，2). (2)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　) A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4) C　解析：设点A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得故BC所在直线的方程为y－1＝·(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则点C的坐标为(2，4). (3)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为 ． 答案：6x－y－6＝0　解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在的直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0. [课时训练(11)见P174] 学科网（北京）股份有限公司 $$