第二章 第1节 直线的倾斜角、斜率与直线方程（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第1节　直线的倾斜角、斜率与直线方程 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率计算公式，会求直线的倾斜角． 2．根据已知直线位置要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式). [对应学生用书P35] 一、直线的倾斜角 1．定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2．范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． 二、直线的斜率 1．定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90°). 2．过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 三、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 2．截距不是距离．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． 3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k). 一、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第一册P55T4改编)已知点A(2，0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° B　解析：由题意得，直线AB的斜率k＝＝，设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝，∵0°≤α<180°，∴α＝60°. 2．(人教A版选择性必修第一册P55T5改编)过A(2，4)，B(1，m)两点的直线的一个方向向量为(－1，1)，则m＝(　　) A．－1 B．1 C．5 D．3 C　解析：方法一　由题意可知＝－1，∴m＝5. 方法二　∵＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5. 3．(人教A版选择性必修第一册P62T3改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 D　解析：直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 4．(人教A版选择性必修第一册P64T1改编)过两点(－2，4)和(4，－1)的直线在y轴上的截距为(　　) A． B．－ C． D．－ C　解析：由题可知，直线方程为y＋1＝·(x－4)，即y＝－(x－4)－1，令x＝0，则y＝，故直线在y轴上的截距为. 二、易误易混澄清 1．(忽视斜率公式中x1≠x2)已知经过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)的直线l的倾斜角为135°，则m的值为 ． 答案： 2．(忽略截距为0的情形)过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 [对应学生用书P36] 考点一　直线的倾斜角与斜率 [例1] (1)(2024·重庆南开中学模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝(sin ，cos )，则直线l的倾斜角为(　　) A． B． C． D． (2)已知两点A(2，－3)，B(－3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．－4≤k≤－ B．k≤－4或k≥－ C．－4≤k≤ D．－≤k≤4 (1)A　(2)B　解析：(1)由题意可得，直线l的斜率k＝＝，又倾斜角的范围是[0，π)，所以k＝＝tan ，即直线l的倾斜角为. (2)结合图形，由题意得，所求直线的斜率k满足k≥kPB或k≤kPA， 即k≥－或k≤－4，即直线l的斜率k的取值范围是k≤－4或k≥－. 1．斜率的两种求法：定义法、斜率公式法． 2．倾斜角和斜率范围求法：(1)图形观察(数形结合)；(2)充分利用函数k＝tan α(α≠90°)的单调性． 训练1 (1)(多选)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(　　) A．k1<k3<k2 B．k3<k2<k1 C．α1<α3<α2 D．α3<α2<α1 AD　解析：由题图知k2>k3>0，k1<0，故>α2>α3>0，而α1为钝角，所以α3<α2<α1. (2)(2025·绵阳模拟)已知直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的范围是(　　) A．(0，]∪[，π) B．[0，]∪[，π) C．[，] D．[，] B　解析：x sin α＋y－1＝0，则k＝－sin α.因为α∈R，所以sin α∈[－1，1]，所以k∈[－，].设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，故k＝tan θ∈[－，].当k∈[0，]时，直线l的倾斜角θ∈[0，]；当k∈[－，0)时，直线l的倾斜角θ∈[，π). 综上所述，直线l的倾斜角θ∈[0，]∪[，π). 考点二　求直线的方程 [例2] 求满足下列条件的直线方程： (1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－； (2)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的两倍； (3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量为v＝(－3，2). 解：(1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－， ∴直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0. (2)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx.∵直线过点(2，1)，∴1＝2k，解得k＝， ∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为＋＝1， 由题意可得解得 ∴直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. 综上所述，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. (3)联立解得 ∴直线过点(1，1). ∵直线的一个方向向量为v＝(－3，2)， ∴直线的斜率k＝－. ∴直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0. 求直线方程的注意点 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零). 训练2 (1)(2024·龙岩质检)过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1：x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是(　　) A．x－y＋＋1＝0 　B．x＋y＋－1＝0 C．x－3y＋＋3＝0 　D．x＋3y＋－3＝0 B　解析：由k1＝tan α＝，得α＝60°，所以k＝tan 120°＝－，所以直线l的方程是y－1＝－(x＋1)，即x＋y＋－1＝0. (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线的方程为 ． 答案：4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0　解析：由题设知直线的纵、横截距不为0，设直线方程为＋＝1.又直线过点(－3，4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. 考点三　直线方程的综合应用 [例3] 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． (1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得 ∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1). (2)解：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， 要使直线不经过第四象限，则解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞). (3)解：由题意可知k≠0，再由直线l的方程，得A为(－，0)，B为(0，1＋2k). 依题意得解得k>0. ∵S＝·|OA|·|OB|＝·||·|1＋2k|＝·＝×(4k＋＋4)≥×(2＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立． ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 直线方程综合应用的三个问题 (1)直线过定点问题：将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点． (2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． (3)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． 训练3 (1)直线(a－1)x－(a＋1)y＋2＝0恒过定点(　　) A．(1，1) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(－1，－1) A　解析：将(a－1)x－(a＋1)y＋2＝0变形为(x－y)·a－x－y＋2＝0，令解得x＝1，y＝1，所以直线恒过定点(1，1). (2)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝ ． 答案：　解析：由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2， 所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝(a－)2＋.又0＜a＜2，所以当a＝时，四边形的面积最小． [课时训练(10)见P171] 学科网（北京）股份有限公司 $$