精品解析：2025年6月广西壮族自治区来宾市兴宾区中考四模预测数学试题

2025年6月广西壮族自治区来宾市兴宾区中考四模预测数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3.不能使用计算器． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家，至迟成书于东汉早期（约公元1世纪）的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，其中记录了一道关于家畜买卖的题目，若将卖出家畜获得1000元记为元，则买入家畜付出800元记为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际应用，需根据题意确定正负号的意义． 【详解】解：根据题意，卖出家畜获得的1000元记为元，说明“收入”用正数表示，对应的“支出”应用负数表示， ∴买入家畜需付出800元，属于支出，因此应记为元． 故选：B． 2. 中国传统纹样指的是由历代沿传下来的具有独特民族艺术风格的图案，下列纹样的示意图，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 2025年3月30日，2025柳州马拉松暨警察马拉松鸣枪开跑，来自国内外万名马拉松爱好者齐聚龙城，在山、水、城之间感受“工业柳州”的硬核力量与“生态柳州”的柔美情怀，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的运用，掌握其表示形式，正确确定的值是关键，将万用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为整数，确定n的值方法：n的值与小数点移动位数相同，当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，当原数的绝对值小于1时，n为负整数． 【详解】解：万， 故选：D． 4. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可． 【详解】解：由，解得，即或． 又∵分母，即． 故选：A 5. 技术的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，小西要查阅资料，她准备从“豆包”“”“腾讯元宝”“文小言”四个软件中随机选择一个使用，则她选中的软件恰好是“腾讯元宝”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，根据概率的基本公式，计算选中目标事件的概率． 【详解】解：小西从四个软件（豆包、、腾讯元宝、文小言）中随机选择一个，所有可能的结果共有4种，且每个结果出现的可能性相等．其中“选中腾讯元宝”这一事件只有1种可能结果．选中的软件恰好是“腾讯元宝”的概率是. 故选：C 6. 如图，直线相交于点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，根据平角的定义得出，由对对角相等得出，进而可得出． 【详解】解：∵直线相交于点， ∴， ∵，， ∴， 故选：C 7. 小西在学习了物理中的自由落体运动后，设计了一个实验，测试一种皮球的反弹高度与其下落高度之间的关系，通过实验得知当皮球的下落高度为时，反弹高度为；当皮球的下落高度为时，反弹高度为．下面的哪个式子能表示这种关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据实验数据，下落高度与反弹高度成线性正比例关系，通过代入验证确定正确选项． 【详解】解：代入验证：当 时，反弹高度． A选项：（不符）； B选项：（不符）； C选项：（不符）； D选项：（符合）． 当时，反弹高度． D选项：（符合）． 因此，函数关系为 ， 故选：D 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查整式的加法、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握其运算规则是解题的关键．逐一分析各选项是否符合运算规则即可． 【分析】解：A、与不是同类项，无法合并，结果应为，故A错误； B、根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可知，故B错误； C、根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知，故C错误； D、，故D正确； 故选：D． 9. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解题的关键．分别计算各点的纵坐标值，再比较大小即可． 【详解】解：代入，得， 代入，得， 代入，得， 那么， 故选：C ． 10. 壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，利用垂径定理得出，利用勾股定理求出，进而了得出．根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， ∴ ∵，， ， ∴， ∴ 故选：． 11. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长水，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长水，长木还剩余1尺，列出方程组即可． 【详解】解：设木长为x尺，绳子长为y尺，根据题意得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组． 12. 如图，在边长为8的菱形中，为锐角，是边上一点，过点作与边交于点F，与边交于点，且，连接，若，菱形的面积为48，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的面积公式可求，等腰直角三角形的判定和性质可得出，由可证，可得，通过证明四边形是矩形，可得，，，由勾股定理可求的长，即可求解 【详解】解：如图，延长交的延长线于M，过点E作与H，于N， ∵菱形的面积为48，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质添加恰当辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，系数化为1，得． 故答案为：． 14. 分解因式________． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取m后，利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法因式分解和公式法因式分解是解题的关键． 15. 如图①是广西传统“干栏式”民居，是壮族最具标志性的民居形式，是壮族先民适应自然生存智慧的集中体现，其屋顶可看作等腰三角形（如图②），其中，若是的中点，，，则的长约为_____________m．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用及等腰三角形性质，先求出，再解求出结论即可． 【详解】解：，若是的中点，， ， 在中，， ， ， 故答案为：2． 16. 投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为_____________m． 【答案】0.3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案即可． 【详解】解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设y与x之间的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为， 当时，， 即的长为， 故答案为：0.3． 三、解答题（本大题7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，解分式方程等知识，解题的关键是： （1）先计算乘方和负整数指数幂，然后计算乘除，最后计算加减即可； （2）先把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 原方程的解是． 18. 如图，在四边形中，，． （1）尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图—作角平分线、等腰三角形性质，菱形的判定与性质， （1）作的平分线即可； （2）先证明四边形是菱形，再根据菱形性质求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长． 19. 清明节又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．某校以“梨花风起正清明”为主题在七、八年级中开展了与清明节相关的知识竞赛，为了解参赛学生的得分情况，从七、八年级参赛学生中各随机抽取40名学生的成绩（单位：分，满分：100分，成绩得分均是整数），并将抽取的两个年级学生的成绩（用x表示，分为五组：）进行整理，绘制成如下不完整的统计图表． 两个年级抽取学生的成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91 90 98 八年级 91 a 100 注：八年级抽取学生的成绩在组的数据是91，92，93，93，93，93，94，94． 八年级抽取学生的成绩频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a的值； （2）若八年级有480名学生参加了此次竞赛，估计八年级参加此次竞赛的学生中成绩不低于90分的人数； （3）小明认为抽取的七、八年级学生竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级学生竞赛成绩一样好，小颖认为小明的观点比较片面，请结合上述信息帮小颖说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1） （2）264人 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义，计算第20个数据，第21个数据的平均数即可； （2）利用样本估计总体的思想，得人； （3）利用统计特征量作出正确决策解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得中位数是第20个数据，第21个数据的平均数， 前面两组数据一共有个， 在组的数据是91，92，93，93，93，93，94，94， 故第20个数据，第21个数据是92，93， 故中位数为． 【小问2详解】 解：根据题意，得满分100的人数为，得人数为8， 故八年级参加此次竞赛的学生中成绩不低于90分的人数：（人）； 【小问3详解】 解：因为平均数易受极端数据影响，且抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数比抽取的七年级学生竞赛成绩的中位数大，因此不能只从平均数的角度说明两个年级学生竞赛成绩一样好．（答案不唯一，合理即可） 【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，样本估计总体，统计特征量决策，熟练掌握统计图的信息处理，中位数的计算，样本估计总体思想的应用是解题的关键． 20. 如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点作于点，连接． （1）求证：； （2）设的长为的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）结合（2）所得的函数，判断当的长为多少时，的面积最大． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据两角对应相等判断三角形相似即可； （2）根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得出，求出，， 然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， 又， ， ， ． 【小问2详解】 解：在中，， ． 由（1）知， ， ， ， ， ． 是边上的动点，且不与点A，B重合， ， 关于的函数解析式为． 【小问3详解】 解：，且， 当时，有最大值， 即当的长为时，的面积最大． 21. 如图，内接于是的直径，过点作于点，且平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接．根据切线判定定理，证明即可； （2）利用三角形相似，勾股定理，解方程计算解答即可． 【小问1详解】 证明：证明：如答图，连接． ∵平分， ， ， ， . ， 又是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：是的直径， . ， . ， ， . ， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得（负值已舍去）， ， 的半径为． 【点睛】本题考查了圆的性质，切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练掌握切线的判定，勾股定理是解题的关键． 22. 综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，某数学兴趣小组的同学探究在水速相同的条件下，往容器中注水时，注水时间与水面高度之间的函数关系，同学们制作了一个特殊的容器（如图①），这个特殊的容器由上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上面的圆柱体底面圆的半径是下面圆柱体底面圆的半径的一半，已知这个特殊容器的高为20cm． 【实验过程】 注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器内匀速注水，当容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度（单位：cm），前5次数据如下表所示： 注水时间 0 5 10 15 20 … 水面高度 4 5 6 7 8 … 【问题解决】 （1）请你求出水面高度关于注水时间的函数解析式，写出自变量的取值范围，并在给定的平面直角坐标系（如图②）中，画出关于的函数图象； （2）求当注水时间满足时，水面高度的取值范围． 【答案】（1），函数图象见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握圆柱体的体积计算公式是解题的关键． （1）由表格得出下面容器中水面上升速度并计算当下面容器注满水时所用时间及对应函数关系式，根据两圆柱体底面圆的半径的数量关系求出两圆柱体底面面积的数量关系，从而求得上面容器水面上升的速度并计算当上面容器注满水时所用时间及对应函数关系式，最终写成分段函数的形式即可； （2）分别计算当时对应h的值，从而得到水面高度h的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意知，两个圆柱的高都为， 由表知，时间每增加，高度增加， 则当下面的圆柱注满水时，所用时间为， 当时，； 由于上面的圆柱底面圆的半径是下面的圆柱底面圆的半径的一半， 上面的圆柱底面积是下面的圆柱底面积的， 每注水，上面的圆柱的水面高度增加， 当该特殊容器注满水时，注水时间， 当时，， 综上所述，水面高度关于注水时间的函数解析式为 画出函数图象如答图： 【小问2详解】 解：将代入中，得， 将代入中，得， 当注水时间满足时，水面高度取值范围是． 23. 数学实践课上，老师带领同学们探究与折叠相关的计算，如图①，四边形ABCD是矩形，是的中点，将沿折叠，得到，点的对应点为，延长交边于点，若，求线段的长．经过小组讨论，有以下两种作辅助线的方案： 方案一：如图②，连接； 方案二：如图③，将绕点旋转至． （1）请你按照方案一计算线段的长； （2）请你按照方案二计算线段的长； （3）在方案二的条件下，连接并延长，交于点，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据可证明，得出，求出，在中，由勾股定理，得，即可求解； （2）由旋转的性质，得A，E，H三点共线，．由折叠的性质，得，则可求，中，由勾股定理，得，即可求解； （3）由（2）可知，，则可证，得出，证明四边形是平行四边形，得出，在中，由勾股定理，求出，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ． 是的中点， ． 由折叠性质，得， 在和中， ， ， ． 在中， 由勾股定理，得， ， 解得； 【小问2详解】 解：由旋转的性质，得A，E，H三点共线，． 由折叠的性质，得， ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， 解得； 【小问3详解】 接：如图． 由（2）可知，， ． 又， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，由勾股定理，得， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，旋转，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年6月广西壮族自治区来宾市兴宾区中考四模预测数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3.不能使用计算器． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家，至迟成书于东汉早期（约公元1世纪）的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，其中记录了一道关于家畜买卖的题目，若将卖出家畜获得1000元记为元，则买入家畜付出800元记为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 中国传统纹样指的是由历代沿传下来的具有独特民族艺术风格的图案，下列纹样的示意图，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年3月30日，2025柳州马拉松暨警察马拉松鸣枪开跑，来自国内外万名马拉松爱好者齐聚龙城，在山、水、城之间感受“工业柳州”的硬核力量与“生态柳州”的柔美情怀，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若分式值为0，则的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 16 5. 技术的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，小西要查阅资料，她准备从“豆包”“”“腾讯元宝”“文小言”四个软件中随机选择一个使用，则她选中的软件恰好是“腾讯元宝”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线相交于点，且，则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 小西在学习了物理中的自由落体运动后，设计了一个实验，测试一种皮球的反弹高度与其下落高度之间的关系，通过实验得知当皮球的下落高度为时，反弹高度为；当皮球的下落高度为时，反弹高度为．下面的哪个式子能表示这种关系（ ） A B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 11. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长水，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在边长为8的菱形中，为锐角，是边上一点，过点作与边交于点F，与边交于点，且，连接，若，菱形的面积为48，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 不等式的解集是__________． 14. 分解因式________． 15. 如图①是广西传统“干栏式”民居，是壮族最具标志性的民居形式，是壮族先民适应自然生存智慧的集中体现，其屋顶可看作等腰三角形（如图②），其中，若是的中点，，，则的长约为_____________m．（结果保留整数，参考数据：） 16. 投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为_____________m． 三、解答题（本大题7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在四边形中，，． （1）尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求四边形的周长． 19. 清明节又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．某校以“梨花风起正清明”为主题在七、八年级中开展了与清明节相关的知识竞赛，为了解参赛学生的得分情况，从七、八年级参赛学生中各随机抽取40名学生的成绩（单位：分，满分：100分，成绩得分均是整数），并将抽取的两个年级学生的成绩（用x表示，分为五组：）进行整理，绘制成如下不完整的统计图表． 两个年级抽取学生的成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91 90 98 八年级 91 a 100 注：八年级抽取学生的成绩在组的数据是91，92，93，93，93，93，94，94． 八年级抽取学生的成绩频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a的值； （2）若八年级有480名学生参加了此次竞赛，估计八年级参加此次竞赛的学生中成绩不低于90分的人数； （3）小明认为抽取的七、八年级学生竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级学生竞赛成绩一样好，小颖认为小明的观点比较片面，请结合上述信息帮小颖说明理由（写出一条即可）． 20. 如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点作于点，连接． （1）求证：； （2）设的长为的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）结合（2）所得函数，判断当的长为多少时，的面积最大． 21. 如图，内接于是的直径，过点作于点，且平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 22. 综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，某数学兴趣小组同学探究在水速相同的条件下，往容器中注水时，注水时间与水面高度之间的函数关系，同学们制作了一个特殊的容器（如图①），这个特殊的容器由上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上面的圆柱体底面圆的半径是下面圆柱体底面圆的半径的一半，已知这个特殊容器的高为20cm． 【实验过程】 注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器内匀速注水，当容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度（单位：cm），前5次数据如下表所示： 注水时间 0 5 10 15 20 … 水面高度 4 5 6 7 8 … 【问题解决】 （1）请你求出水面高度关于注水时间的函数解析式，写出自变量的取值范围，并在给定的平面直角坐标系（如图②）中，画出关于的函数图象； （2）求当注水时间满足时，水面高度的取值范围． 23. 数学实践课上，老师带领同学们探究与折叠相关的计算，如图①，四边形ABCD是矩形，是的中点，将沿折叠，得到，点的对应点为，延长交边于点，若，求线段的长．经过小组讨论，有以下两种作辅助线的方案： 方案一：如图②，连接； 方案二：如图③，将绕点旋转至． （1）请你按照方案一计算线段的长； （2）请你按照方案二计算线段的长； （3）在方案二的条件下，连接并延长，交于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$