【嘉加数学】第11讲 角的计算 小升初衔接讲义2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第11讲 角的计算 【课前热身】 1．（2024秋•宁明县期末）如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形的是　　 A． B． C． D． 2．（2025春•新华区期末）如图，点为观测站，一艘巡航船位于观测站的南偏西方向上的点处，一艘渔船在点右侧的点处，若，则该渔船在观测站的　　 A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向上 D．南偏东方向上 3．（2025春•莱阳市期中）将化为度、分、秒的形式为　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•长安区期末）小红和小芳相约星期六下午分出发到省图书馆看书，此时钟面上的时针与分针的夹角是　　 A． B． C． D． 【学习目标】 1、会简单的角度计算； 2、会处理简单的动角问题。 【知识梳理】 1、多边形的定义：三角形、四边形、五边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾依次相连组成的 。 2、多边形的基本元素 （1）顶点：如图，在多边形ABCDEF中，点A,B,C,D,E,F是多边形的顶点； （2）边：线段AB,BC,CD,DE,EF,FA是多边形的边； （3）内角：∠FAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDE, ∠DEF, ∠AFE是多边形的内角（可简称为多边形的角），多边形的内角和 。 （4）对角线：如图，AD,AE都是连接 两个顶点的线段，像这样的线段叫做多边形的对角线。 3、正多边形：各边 ，各角也 的多边形叫做正多边形。例如：正方形是正四边形，它的各边都相等，各角都是90°；等边三角形即正三角形，它的各边都相等，各角都是60°。 【典例精析】 【例1】认识多边形 1.（2024秋•埇桥区期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是　　 A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 2.（2024秋•双流区期末）在研究多边形的几何性质时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从九边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为 　　． 3.（2024秋•温江区期末）从边形的一个顶点出发，可以作6条对角线，则的值是　　 A．12 B．10 C．9 D．8 【变式训练】 1．（2025春•莲湖区期末）从九边形的一个顶点出发，最多可以画 　　 条对角线． 2．（2025春•天府新区期末）若过多边形某个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的边数是　　 ． 3．（2024秋•五华县期末）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为　　 A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【例2】简单的角度计算： 1.（2024秋•新都区期末）如图，已知和都是直角，，是的平分线，则　　度． 2.（2024秋•青羊区期末）如图，是直线上的一点，，，平分，则图中的大小是 　　． 3.（2024秋•博兴县期末）如图，在的内部有3条射线、、，若，，，则　　（用含的代数式表示）． 4.（2025•滑县二模）一木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力方向与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数为　　 A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024秋•天府新区期末）如图，是的平分线，，，则的度数为 　　． 2．（2024秋•成都期末）如图，是的平分线，是的平分线．若，，则 　　． 3．（2024秋•温江区校级期末）如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 　　． 4．（2024秋•温江区校级期末）如图，点为直线上一点，，若射线平分，过点作射线使．过作射线使，则的度数为 　　． 5．（2025•东海县二模）如图，阳光与水平面成角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角为　　 ． 【例3】三角尺与直线的所成的角： 1.（2024秋•鲁山县期末）已知点为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 2.（2022秋•栾城区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起． （1）若，则的度数为 　　； （2）若，则的度数为 　　； （3）猜想与的大小关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（2024秋•永寿县校级期末）如图，点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，平分． （1）若，求的度数； （2）根据（1）的结论，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 2．（2023秋•宁波期末）如图，将一副三角尺角和角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，在旋转过程中三角板的边始终在的内部，则的度数为　　 A． B． C． D．无法确定 【例4】折叠所形成的角： 1.（2024秋•成都期末）将长方形纸片按如图所示方式折叠，使得，其中，为折痕，则的度数为 　　． 2.（2024秋•旌阳区期末）如图，长方形中，点，分别在边，上，连接，．将沿 折叠，点落在点处；将沿折叠，点恰好落在的延长线上点处．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 3.（2024秋•阳谷县期末）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 　　． 4.（2024秋•夷陵区期末）如图1，在长方形中，点在边上，连接，，且，分别沿直线，折叠并压平，如图2，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025春•荣昌区期末）如图，正方形中，点是边上一点，连接，将三角形沿所在直线折叠到三角形，延长交边于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2025•天津模拟）如图，在长方形纸片中，点，分别在，上，将沿着折叠，点刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点刚好落在上的点处，已知，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2025•阜阳三模）如图，将矩形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，折叠后点，的位置分别是点，．若，则的大小是　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•商城县期末）如图，长方形纸片，点在边上，点、在边上，连接、．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．，则　　． 【例5】动角： 1.（2024秋•黔江区期末）一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使，将三角板绕点在直线上方转动，若转动到是的三等分线时，的度数为 　　． 2.（2024秋•金牛区期末）已知，顶点在直线上，平分．图2 （1）如图1，若，则 　　； （2）若将绕点沿顺时针方向旋转至图2的位置，请写出与之间的数量关系，并说明理由； （3）若将绕点沿顺时针方向旋转至图3的位置，求的度数． 【变式训练】 1．（2023秋•广州期末）一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边、与直线重合，，． （1）求图1中的度数． （2）如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度（即，在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分、、其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度的值； ②在转动过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 2．（2024秋•思明区校级期末）【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”．例如，如图1，，，则，称射线是射线的友好线；同时，由于，称射线是射线的友好线． 【知识运用】 （1）如图2，，射线是射线的友好线，则　　； （2）如图3，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻（秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； ②当射线、相遇后，射线、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时的值． 【过关精练】 1．（2024秋•威宁县期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可引12条对角线，则它是　　 A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形 2．（2025春•北京期中）如图所示，直线、、交于点，平分，且，，求的度数． 3．（2024秋•金牛区期末）如图，将两个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果，那么 　　度． 4．（2024春•金州区月考）有一长方形纸带，、分别是边，上一点，度，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． （1）如图1，当度时，求的度数； （2）如图2，若，求的值． 5．（2024秋•红花岗区期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，即，直角三角尺可绕顶点转动，在转动的过程中，直角三角尺的所有部分始终保持在直线上方或下方． （1）如图1，若直角三角尺的一边放在射线上，则　　； （2）如图2，将直角三角尺绕点转动后，使其一边在的内部，若恰好平分，求的度数； （3）如图3，在直角三角尺绕点转动的过程中，与之间存在一个固定的数量关系，请直接写出这个数量关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 角的计算 【课前热身】 1．（2024秋•宁明县期末）如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、以为顶点的角不止一个，不能用表示，故选项错误； 、以为顶点的角不止一个，不能用表示，故选项错误； 、以为顶点的角不止一个，不能用表示，故选项错误； 、能用，，三种方法表示同一个角，故选项正确． 故选：． 2．（2025春•新华区期末）如图，点为观测站，一艘巡航船位于观测站的南偏西方向上的点处，一艘渔船在点右侧的点处，若，则该渔船在观测站的　　 A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向上 D．南偏东方向上 【解答】解：如图， ，， ， 该渔船在观测站的南偏东方向上． 故选：． 3．（2025春•莱阳市期中）将化为度、分、秒的形式为　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 将化为度、分、秒的形式为， 故选：． 4．（2024秋•长安区期末）小红和小芳相约星期六下午分出发到省图书馆看书，此时钟面上的时针与分针的夹角是　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，由钟面角的定义可知， ，， ， 故选：． 【学习目标】 1、会简单的角度计算； 2、会处理简单的动角问题。 【知识梳理】 1、多边形的定义：三角形、四边形、五边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾依次相连组成的封闭平面图形。 2、多边形的基本元素 （1）顶点：如图，在多边形ABCDEF中，点A,B,C,D,E,F是多边形的顶点； （2）边：线段AB,BC,CD,DE,EF,FA是多边形的边； （3）内角：∠FAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDE, ∠DEF, ∠AFE是多边形的内角（可简称为多边形的角），多边形的内角和（n-2）×180°。 （4）对角线：如图，AD,AE都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫做多边形的对角线。 3、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。例如：正方形是正四边形，它的各边都相等，各角都是90°；等边三角形即正三角形，它的各边都相等，各角都是60°。 【典例精析】 【例1】认识多边形 1.（2024秋•埇桥区期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是　　 A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选：． 2.（2024秋•双流区期末）在研究多边形的几何性质时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从九边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为 　7　． 【解答】解：． 故答案为：7． 3.（2024秋•温江区期末）从边形的一个顶点出发，可以作6条对角线，则的值是　　 A．12 B．10 C．9 D．8 【解答】解：从边形的一个顶点出发，可以作6条对角线， ， 故选：． 【变式训练】 1．（2025春•莲湖区期末）从九边形的一个顶点出发，最多可以画 　6　 条对角线． 【解答】解：（条， 即从九边形的一个顶点出发，最多可以画6条对角线， 故答案为：6． 2．（2025春•天府新区期末）若过多边形某个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的边数是　5　 ． 【解答】解：过多边形某个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形， 这个多边形的边数是， 故答案为：5． 3．（2024秋•五华县期末）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为　　 A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【解答】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 综上所述，只有选项正确，符合题意， 故选：． 【例2】简单的角度计算： 1.（2024秋•新都区期末）如图，已知和都是直角，，是的平分线，则　123　度． 【解答】解：是直角，， ， 是的平分线， ， 是直角， ． 故答案为：123． 2.（2024秋•青羊区期末）如图，是直线上的一点，，，平分，则图中的大小是 　　． 【解答】解：，， ， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 3.（2024秋•博兴县期末）如图，在的内部有3条射线、、，若，，，则　　（用含的代数式表示）． 【解答】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 4.（2025•滑县二模）一木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力方向与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，摩擦力方向与重力方向的夹角， 由题意可得：， 又， ， ， ． 故选：． 【变式训练】 1．（2024秋•天府新区期末）如图，是的平分线，，，则的度数为 　　． 【解答】解：，， ， 是的平分线， ． 故答案为：． 2．（2024秋•成都期末）如图，是的平分线，是的平分线．若，，则 　40　． 【解答】解：是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 故答案为：40． 3．（2024秋•温江区校级期末）如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 　　． 【解答】解：， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 4．（2024秋•温江区校级期末）如图，点为直线上一点，，若射线平分，过点作射线使．过作射线使，则的度数为 　或　． 【解答】解：分两种情况： ①如图所示，射线在上方， ，射线平分， ， ， ， ， ； ②如图所示，射线在下方， ，射线平分， ， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 5．（2025•东海县二模）如图，阳光与水平面成角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角为　　 ． 【解答】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ， ， ， 故答案为：． 【例3】三角尺与直线的所成的角： 1.（2024秋•鲁山县期末）已知点为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【解答】解：（1）设，则，， 根据题意得：， 解得：． 答：的度数为； （2）设，则，，， 根据题意得：， 解得：． 答：的度数为． 2.（2022秋•栾城区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起． （1）若，则的度数为 　145　； （2）若，则的度数为 　　； （3）猜想与的大小关系，并说明理由． 【解答】解：（1），， ， ， ， 故答案为：145； （2），， ， ， ， 故答案为：； （3）与互补， 理由是：，， ， ， ， 即与互补． 【变式训练】 1．（2024秋•永寿县校级期末）如图，点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，平分． （1）若，求的度数； （2）根据（1）的结论，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）△是直角三角形， ， ，， ， 平分， ， ， 即的度数为； （2）△是直角三角形， ， 设，， ， 平分， ， ， 的度数， 与之间的数量关系为． 2．（2023秋•宁波期末）如图，将一副三角尺角和角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，在旋转过程中三角板的边始终在的内部，则的度数为　　 A． B． C． D．无法确定 【解答】解： ， ， 即， 故选：． 【例4】折叠所形成的角： 1.（2024秋•成都期末）将长方形纸片按如图所示方式折叠，使得，其中，为折痕，则的度数为 　110　． 【解答】解：由折叠性质得：，， ，， ，， ， ， ． 故答案为：110． 2.（2024秋•旌阳区期末）如图，长方形中，点，分别在边，上，连接，．将沿 折叠，点落在点处；将沿折叠，点恰好落在的延长线上点处．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由折叠得到：，， 又， ， ， ． 故选：． 3.（2024秋•阳谷县期末）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 　　． 【解答】解：由于折叠，，， 四边形是长方形， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 4.（2024秋•夷陵区期末）如图1，在长方形中，点在边上，连接，，且，分别沿直线，折叠并压平，如图2，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【变式训练】 1．（2025春•荣昌区期末）如图，正方形中，点是边上一点，连接，将三角形沿所在直线折叠到三角形，延长交边于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由条件可知， ， 由折叠知，， ， ． 故选：． 2．（2025•天津模拟）如图，在长方形纸片中，点，分别在，上，将沿着折叠，点刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点刚好落在上的点处，已知，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由条件可得， ， ， ， 由折叠性质可得：， ， ， 由条件可知， ， 故选：． 3．（2025•阜阳三模）如图，将矩形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，折叠后点，的位置分别是点，．若，则的大小是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由折叠可知，，． 由条件可知， ， ， ． 故选：． 4．（2024秋•商城县期末）如图，长方形纸片，点在边上，点、在边上，连接、．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．，则　或　． 【解答】解：当点在点的右侧， 平分，平分， ，， ， ，， ， ； 当点在点的左侧， 平分，平分， ，， ， ，， ， ， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【例5】动角： 1.（2024秋•黔江区期末）一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使，将三角板绕点在直线上方转动，若转动到是的三等分线时，的度数为 　或　． 【解答】解：分两种情况： 当在的右侧时，如图： ，， ， 是的三等分线， ， ， ； 当在的左侧时，如图： ，， ， 是的三等分线， ， ， ； 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 2.（2024秋•金牛区期末）已知，顶点在直线上，平分．图2 （1）如图1，若，则 　　； （2）若将绕点沿顺时针方向旋转至图2的位置，请写出与之间的数量关系，并说明理由； （3）若将绕点沿顺时针方向旋转至图3的位置，求的度数． 【解答】解：（1），顶点在直线上， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （2）与之间的数量关系是：，理由如下： 平分， 设， ， ， ， ， ； （3）平分， 设， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．（2023秋•广州期末）一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边、与直线重合，，． （1）求图1中的度数． （2）如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度（即，在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分、、其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度的值； ②在转动过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1），， ； （2）①当平分时， ，， ， ， ； 当平分时， ， ， ； 当平分时， ， ， ， 综上所述，旋转角度的值为，，； ②当在的左侧时，则，， ， ， ； 当在的右侧时，则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在． 2．（2024秋•思明区校级期末）【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”．例如，如图1，，，则，称射线是射线的友好线；同时，由于，称射线是射线的友好线． 【知识运用】 （1）如图2，，射线是射线的友好线，则　40　； （2）如图3，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻（秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； ②当射线、相遇后，射线、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时的值． 【解答】解：（1）射线是射线的友好线， ， 故答案为：40； （2）射线与射线重合时，（秒， ①存在某个时刻（秒，使得的度数是，有两种情况： 在、相遇前，， ； 在、相遇后，， ， 综上所述，当为28秒或44秒时，的度数是； ②若是的友好线，则， ， ， 若是的友好线，则， ， ； 综上所述，当为秒或45秒时，射线、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线． 【过关精练】 1．（2024秋•威宁县期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可引12条对角线，则它是　　 A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形 【解答】解：设这个多边形是边形， 根据题意得， 解得， 故选：． 2．（2025春•北京期中）如图所示，直线、、交于点，平分，且，，求的度数． 【解答】解：， ， 又平分， ， 又， ， ． 3．（2024秋•金牛区期末）如图，将两个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果，那么 　25　度． 【解答】解：，， ， ，， ， ， 故答案为：25． 4．（2024春•金州区月考）有一长方形纸带，、分别是边，上一点，度，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． （1）如图1，当度时，求的度数； （2）如图2，若，求的值． 【解答】解：（1）由折叠可得， 长方形的对边是平行的， ， ， ， ； 当度时，的度数是； （2）由折叠可得，， 长方形的对边是平行的， ， ，， ， ， ． 的值是30． 5．（2024秋•红花岗区期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，即，直角三角尺可绕顶点转动，在转动的过程中，直角三角尺的所有部分始终保持在直线上方或下方． （1）如图1，若直角三角尺的一边放在射线上，则　　； （2）如图2，将直角三角尺绕点转动后，使其一边在的内部，若恰好平分，求的度数； （3）如图3，在直角三角尺绕点转动的过程中，与之间存在一个固定的数量关系，请直接写出这个数量关系． 【解答】解：（1），， ， 故答案为：； （2）， ， 恰好平分， ， ， ； （3）， ， 当在 的内部时，如图所示： ， ， ， 即， 当在外部时， ，， ， 综合上述，则． 第1页（共1页） 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