湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试题

保密★启用前 2024-2025-2望城一中高一数学期末调研考试卷 望城一中高一数学组 2025.7.3 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D．4 3．某学校高一、高二、高三年级的人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高三年级抽取的人数为人，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知，则 （    ） A． B． C． D． 6．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 7．有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（   ） A． B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 8．如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分。 9．下列结论错误的是（    ） A．若向量，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 B．若非零向量，满足，则与的夹角为60° C．若向量，满足，且，则在方向上的投影向量的模为5 D．若向量与的夹角为，，则的最小值为 10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 11．若实数，且满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，若函数在单调递增，则实数的取值范围是 . 13．如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ． 14．甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷次，乙掷次，设甲投掷出现偶数点的次数为，乙投掷出现奇数点的次数为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 16．（15分） 2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约8小时．安全返回天和核心舱．为了弘扬航天精神，某校组织高一学生进行了航天知识能力测试．现随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (3)该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率． 17．（15分） 已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 18．（17分）在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. (1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； (2)①证明：； ②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 19． （17分） 若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)运用第（2）问的结论，求的值，其中． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025-2望城一中高一数学期末调研考试卷 参考答案及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D B A C A ABD AC 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】由 又，所以可得集合，则，故C正确. 2．C 【详解】依题意，复数， 所以. 3． D 【详解】由分层随机抽样的方法可知，所以． 4． D 【详解】A：若，，当时，与不平行，故A错误； B：若，，当时，不能得到，故B错误； C：若，，当时，与不平行，故C错误； D：若，，可得，故D正确. 5．B 【详解】由题意得， 则，， 所以 . 6．A 【详解】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题， 则，因，所以，所以可得， 所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确. 7．C 【详解】样本空间， ，， 对于A，，故A错误； 对于BD，，故BD错误； 对于C，，故C正确. 8．A 【详解】 如图，连接，取的中点为，连接，因M、N分别是BC与AD的中点，故， 则即异面直线AM和CN 所成角或其补角，又因正四面体，则， 则，易知，则， 在中，由余弦定理，. 故选：A. 9．ABD 【详解】A选项，， 且，解得且，A错误； B选项，将和两边分别平方得， ，，即 则， 所以与的夹角为30°，B错误； C选项，，又，所以， 所以在方向上的投影向量的模为，C正确； 对于D，， 当时，有最小值，所以的最小值为，D错误． 10．AC 【详解】因为函数在上单调递减， 在中，因为，且，所以，故A正确； 若，则由正弦定理可得， 解得.因为正弦函数的值域为， 所以不存在这样的角，即无解，故B错误； 因为， 所以由正弦定理可得， 又因为， 所以可得，即， 即或. 由可得，即为等腰三角形； 由，，可得，所以为直角三角形. 综上可知，为等腰三角形或直角三角形，故C正确； 若，且， 可知，即都是锐角， 所以是锐角三角形，故D错误. 故选：AC 11．BCD 【详解】对于A，由，，可得， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，由， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，由可得，代入可得， 因，解得，故当时，，即，故C正确； 对于D，，设， 由A项可知，因在上单调递减， 故当时，取得最小值为， 即当时，，故D正确. 12． 【详解】由题意知，化简得，因为且，所以， 且在上，单调递增， 所以当函数在有定义时，即， 当时，函数在定义域上单调递增，在上也单调递增，满足题意， 所以的取值范围是. 故答案为： 13． 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为： 14．/ 【详解】可以先考虑甲、乙各抛掷次的情形， ①如果甲投掷出现偶数点的次数等于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为， 则第次甲必须再抛掷出偶数点，才能使得甲投掷出现偶数点的次数大于乙投掷出现奇数点的次数； ②如果甲投掷出现偶数点的次数小于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为， 则第次无论结果如何，甲投掷出现偶数点的次数仍然不大于乙投掷出现奇数点的次数； ③如果甲投掷出现偶数点的次数大于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为， 则第次无论结果如何，甲投掷出现偶数点的次数仍然大于乙投掷出现奇数点的次数； 由对称性可知 故，而由于， 故. 15．（1）由已知， 根据正弦定理可知， （3分） 则， （5分） 又，则； （6分） （2）若选条件①： ，， ， 此时，不满足三角形性质， 即此时不存在； （13分） 若选条件②： 由（1）得，且，， 则，， 所以. （13分） 若选条件③： 由， 则， 由正弦定理可知，即， 又，解得，， 又在中，， 所以. （13分） 16．（1）由题意可得，可得 （4分） （2）由题意可得， 本次航天知识能力测试成绩的平均数为. （8分） （3）由题意，，的频率比为， （9分） 设抽取的5人中有2人为、有3人为， （10分） 任抽2人有，共10种情况， （12分） 其中分数在，各一人有，共6种情况， （14分） 所以这2名同学分数在，各一人的概率为. （15分） 17．（1）当时，， 易得的最小正周期； （2分） （2）（i）当时，，， 若函数在区间上有定义，则， （5分） 解得，故的最大值为； （7分） （ii）函数的对称中心满足，， 解得，， （9分） 其图象至少有两个对称中心在区间上， 则在区间上至少有两解， （11分） 故至少存在两个值使， （12分） 故至少有，两个取值， （13分） 所以，综上，的取值范围为. （15分） 18． 【详解】（1）证明：因为底面为矩形，所以， 又平面,平面,所以. 平面，平面平面， 又因为，所以. （5分） （2） ①证明：取的中点，连接, 因为，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面为矩形，且，，的中点， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； （11分） ②在面内过点作的垂线，垂足为，连接， 因为底面为矩形，所以,由题意知平面， 由①知， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为所求二面角的平面角． 因为平面，平面，所以， 因为侧面为等边三角形，，所以， 因为，，所以，所以， 同理得， 所以, 在等腰中， ， 在中，由余弦定理． 二面角的余弦值为. （17分） 19．（1）由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 当时，，， ， ，. （4分） （2）若为中心对称图形，则在定义域内有恒成立. ， 根据中心对称定义有， 整理得：， 为了使等式对所有 成立，系数必须分别等于零： ，解得： 是中心对称图形，且对称中心是. （10分） （3）由（2）知，；， 经检验，时，一致；时，一致， 所以. （17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$