精品解析：2025年河南省周口市淮阳区三校联考九年级中考三模数学试题

2025年河南省淮阳县中招联考模拟试卷（三）数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 如图所示，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个直四棱柱的俯视图如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两个锐角的和是锐角 B. 同旁内角互补 C. 邻补角是互补的角 D. 相等的角是对顶角 6. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为 A. B. C. D. 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，分别比较：，，的大小，下面四位同学的做法中正确的是（ ） A. 甲：令，则 B. 乙：无论取何值，都有 C. 丙：当时，；当时， D. 丁：当时，；当时， 8. 第24届冬奥会期间，小牛收集到4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀再摸出一张，则这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图所示，在正方形中，，将正方形对折，使得边与边重合，折痕交于点，交于点，以顶点为圆心，长为半径画弧，交折痕于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的整数部分是________． 12. 在平面直角坐标系中，记一个点的纵坐标与横坐标的比值为该点的“特征值”．如图所示，正六边形位于第一象限，其上下两边与轴平行，则该正六边形六个顶点中“特征值”最小的是点______． 13. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 14. 若实数，满足，则的最大值为______． 15. 无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：） 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校为增强学生身体素质，开展了丰富多彩的体育训练活动，并对学生进行专项测试．抽取部分八年级学生引体向上测试的成绩，将抽取的数据进行整理，用表示每个人的成绩，分成，，，四组，绘制统计表如表： 组别 人数 （） （） （） （） B组的成绩为：6，5，5，7，8，8，7，9，6，7． 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的八年级学生引体向上成绩的中位数为 ； （2）八年级400人中，请你估计引体向上每分钟不低于10个的人数； （3）从众数、中位数、平均数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 18. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． （1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 19. 如图，已知点是x轴上的动点，点B的坐标为，以为边在右侧作正方形． （1）当时，反比例函数的图象经过点D，求反比例函数的表达式； （2）当正方形的边与反比例函数的图象有4个交点时，直接写出a的取值范围． 20. 综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． （2）当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 21. 情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 23. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省淮阳县中招联考模拟试卷（三）数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 如图所示，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴的认识与无理数的估算，正确分析数轴的单位长度以及点A的位置是解决本题的关键． 首先观察数轴可知数轴的单位长度为“1”，再根据点A的位置位于与之间的位置确定范围并比较无理数的大小即可． 【详解】解：观察数轴可知，数轴的单位长度为“1”， 且点A的位置位于与之间， 因为， 所以可得， 再由不等式的变号规则可知，， 所以数轴上点表示的数可能是． 故选：A ． 2. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂相乘、相除，幂的乘方以及合并同类项．需逐一计算各选项，判断结果是否为即可． 【详解】A、根据同底数幂相乘法则，指数相加：，故A不符合题意； B、根据同底数幂相除法则，指数相减：，故B不符合题意； C、合并同类项，系数相加：，故C不符合题意； D、根据幂的乘方法则，指数相乘：，故D符合题意； 故选：D． 3. 一个直四棱柱的俯视图如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．注意看到的棱用实线表示；看不到的棱用虚线表示． 【详解】解：主视图如下： ， 故选：D． 4. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数进行表示即可． 【详解】解：0.015毫米纳米； 故选B． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两个锐角的和是锐角 B. 同旁内角互补 C. 邻补角是互补的角 D. 相等的角是对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】利用锐角的定义、邻补角的定义、平行线的性质及对顶角的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两个锐角的和可能是钝角、直角或锐角，故错误，是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故选项错误，是假命题，不符合题意； C、邻补角是互补的角，正确，是真命题，符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解锐角的定义、邻补角的定义、平行线的性质及对顶角的定义，难度不大． 6. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．从而列方程即可． 【详解】解：设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，根据题意得： ． 故选B． 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，分别比较：，，的大小，下面四位同学的做法中正确的是（ ） A. 甲：令，则 B. 乙：无论取何值，都有 C. 丙：当时，；当时， D. 丁：当时，；当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，分和两种情况讨论各点值的大小关系即可．熟练掌握反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小；当时，在每个象限内y随x的增大而增大． 【详解】解：当时，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故A、B、D错误，C正确； 故选：C． 8. 第24届冬奥会期间，小牛收集到4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀再摸出一张，则这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用树状图画出所有组合，再由概率公式计算即可； 【详解】解：单板滑雪用A表示，花样滑冰用B表示，双板滑雪用C表示，冰球用D表示， 树状图如下： 由树状图可得，一共有16种可能性，其中这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的可能有2种， 故这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的概率是， 故选： B． 【点睛】本题考查了树状图法求概率，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键． 9. 如图所示，在正方形中，，将正方形对折，使得边与边重合，折痕交于点，交于点，以顶点为圆心，长为半径画弧，交折痕于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式的求解，由是解决本题的关键． 首先根据扇形的面积公式，将圆心角和半径为2代入公式可求解扇形面积，再根据直角三角形的面积公式可求解的面积，进而可求解阴影面积． 【详解】解：在正方形中，， 由对折可知，点E，F分别为和的中点， 即， 又因为以顶点为圆心，长为半径画弧， 所以可知圆的半径， 在中，由勾股定理可得， 且， 则可得，即， 所以， ， 所以． 故选：B ． 10. 已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质． 推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④． 【详解】解：①当时，，当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴在时，，即， ∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当时，，当时，， ∵对称轴为y轴，， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴在时，，即， ∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③∵， ∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小． 设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时， 整理得：， ∵，， ∴总存在， ∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 设，则， 当函数存在“4级关联范围”时，， 解得：， ∴是函数的“4级关联范围”， ∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的整数部分是________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴的整数部分是3． 故答案为3． 12. 在平面直角坐标系中，记一个点的纵坐标与横坐标的比值为该点的“特征值”．如图所示，正六边形位于第一象限，其上下两边与轴平行，则该正六边形六个顶点中“特征值”最小的是点______． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，根据“特征值”的定义可知，由正比例函数可得，即“特征值”为，各个顶点分别与原点连接，越靠近轴越小，据此判断即可． 【详解】解：各个顶点分别与原点连接， 由正比例函数可得， ∴“特征值”为， ∵当时，， ∴越靠近轴越小， ∴由函数图象可得直线的最小，即“特征值”最小， 故答案为：B． 13. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．由题意得方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故答案为： 14. 若实数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，二次函数的最值，设，则，进而得出，即可得出原式，利用二次函数的性质即可求出答案 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴的最大值为， 故答案为：． 15. 无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：） 【答案】128 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由题意可知， ， ∴， ∴ 在中，， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算和实数的混合运算，掌握绝对值的意义，零次幂的意义，负整数指数幂的意义及分式的化简是解题的关键． （1）利用绝对值的意义，零次幂的意义，负整数指数幂的意义进行计算即可得出结果； （2）先计算分式的乘法，再计算减法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某校为增强学生身体素质，开展了丰富多彩的体育训练活动，并对学生进行专项测试．抽取部分八年级学生引体向上测试的成绩，将抽取的数据进行整理，用表示每个人的成绩，分成，，，四组，绘制统计表如表： 组别 人数 （） （） （） （） B组的成绩为：6，5，5，7，8，8，7，9，6，7． 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的八年级学生引体向上成绩的中位数为 ； （2）八年级400人中，请你估计引体向上每分钟不低于10个的人数； （3）从众数、中位数、平均数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 【答案】（1） （2）人 （3） 解：平均数表示抽取的40名学生的平均成绩； 众数表示抽取的40名学生中得分在某个分数的人数最多； 中位数表示取的40名学生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩． 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的关键． （1）根据中位数的定义解答即可； （2）用400乘样本中成绩不低于10个的人数所占比例即可； （3）根据平均数、中位数和众数解答即可． 【小问1详解】 解：抽取的八年级学生人数为：（人） 把B组的成绩按大小顺序排列为：5，5，6，6，7，7，7，8，8，9， 所以，第20，21个数据是8，8， 故中位数为， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：（人） 答：估计引体向上每分钟不低于10个的有 180人； 【小问3详解】 略 18. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． （1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 【答案】（1）atanα+b米 （2）3.8米 【解析】 【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度； （2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得； 【小问1详解】 解：如图 由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四边形CDBE为矩形， 则BE=CD=b，BD=CE=a， 在Rt∆ACE中，tanα= ， 得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b 答：灯杆AB的高度为atanα+b米 【小问2详解】 由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴∆ABF~∆EDF， 此时 即①， ∵AB∥GC ∴∆ABH~∆GCH， 此时， ② 联立①②得 ， 解得： 答：灯杆AB的高度为3.8米 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 19. 如图，已知点是x轴上的动点，点B的坐标为，以为边在右侧作正方形． （1）当时，反比例函数的图象经过点D，求反比例函数的表达式； （2）当正方形的边与反比例函数的图象有4个交点时，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求反比例函数表达式，关键要求出D点坐标，就要先证出，得出求出长，则可求出D点坐标，根据反比例函数图象上的点坐标即可求出表达式． （2）分、两种情况，探讨正方形的边与反比例函数图象交点的情况，进而求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点D作轴于E， ， ， ， 点B的坐标为， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 把代入，得解得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 ①当时，如图2， ，， 由点A、B的坐标得，直线的表达式为， 当线段与双曲线有一个交点时， 联立表达式与反比例函数表达式得：， 整理得：， ，解得：， 故当时，正方形与反比例函数的图象有4个交点； ②当时，如图3， （i）当边与双曲线有一个交点时， 过点D作轴于点E， ，， ， ， 由点A、D的坐标可得，直线的表达式为：， 联立与反比例函数表达式并整理得： ，解得：（不合题意值已舍去）； （ii）当边与双曲线有一个交点时， 同理可得：， 所以当正方形的边与反比例函数的图象有4个交点时，a的取值范围为：； 综上所述，a的取值范围是或． 【点睛】本题考查的是反比例函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、根的判别式的应用、三角形全等等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 20. 综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． （2）当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 【答案】（1）在同一条直线上，函数解析式为： （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，解方程即可． 【小问1详解】 ， 解：设函数解析式为：， ∵当，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：， 经检验其余点均在直线上， ∴函数解析式为，这些点在同一条直线上； 【小问2详解】 解：把代入得： ， 解得：， ∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． 21. 情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；的长为或． 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． （1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； （2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可． 【详解】解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵为等腰直角三角形，； ∴， ∴， ∵， ， ∴； 如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，，符合要求， 或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线， 此时，， ∴， 综上：的长为或． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 23. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45； [探究证明]（1）如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）如图， 由翻折得，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [深入研究] 【解析】 【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解； [探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此； [深入研究] 连接，先证明，则，由，设，则，而， 则，可得，，，那么，故． 【详解】[操作判断] 解：如图， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：45； [探究证明] 解：（1）略 （2）略 [深入研究] 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $