精品解析：广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

广东省江门市新会一中高二（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可． 【详解】， ，, 因此. 故选：B. 2. 下列图中，线性相关性系数最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点的分布特征可直接判断 【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1. 故选：A 3. 记为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出数列的首项和公差，进而求出通项公式和前n项和公式． 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，，ABC错误，D正确. 故选：D 4. 下列说法正确的是（    ） A. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有24种 B. 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8 C. 一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有20种 D. 从1，2，3，4，5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为60 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理逐一判断即可. 【详解】对于，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，每人都有3种选择，则不同的选购方式有种，故错误； 对于，从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为种，故错误； 对于，一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，共有种取法，故错误； 对于，从1，2，3，4，5五个数字中任选3个，可组成无重复数字的三位数分三步， 首先确定百位有种，再确定十位有种选择，最后个位有种选择，故共有个，故正确． 故选： 5. 某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（ ） A. 0.24 B. 0.36 C. 0.5 D. 0.52 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得. 【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得 ， 因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.5. 故选：C. 6. 下列命题错误的是（    ） A. 有一组数据为、、、、、、、，则它们的第百分位数为 B. 线性回归直线一定经过样本点的中心 C. 设，且，则 D. 随机变量，若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】选项A，根据百分位数的定义求解即可；选项B，根据线性回归直线的定义判断即可；选项C，根据正态分布的性质求解即可；选项D，由二项分布的均值和方差，求解即可． 【详解】对于A，数据按从小到大顺序排列为、、、、、、、， 则它们的第百分位数为，选项A正确； 对于B，根据线性回归直线的定义知，线性回归方程一定过样本点中心点，选项B正确； 对于C，，且，所以， 则，选项C错误； 对于D，由，且，解得，选项D正确． 故选：C. 7. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用商的导数来求导，再利用导数的几何意义来求切线斜率，从而可求切线方程，即可求切线与两坐标轴所围成的面积. 【详解】求导得：，则， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为， 则与轴相交于点，与轴相交于点， 所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为， 故选：C. 8. 下列四组数据中，方差最小的为（    ） A. 31，22，39 B. 30，46，25 C. 40，18，30 D. 37，42，33 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，依次利用方差公式计算选项中数据的方差，比较可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A： 平均数为，则其方差， 对于B： 平均数为，则其方差， 对于C： 平均数为，则其方差， 对于D： 平均数为，则其方差 通过比较可知选项D的方差最小. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C. 样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果．越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 【答案】BD 【解析】 【分析】根据独立性检验的性质判断A；根据残差图的性质判断B；根据相关系数的性质判断C；根据决定系数的性质判断D. 【详解】对于A，利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，A错误； 对于B，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好，B正确； 对于C，样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱，C错误； 对于D，用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D正确． 故选：BD 10. 已知离数型随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出q的值即可判断A、B选项，再求出期望和方差即可判断C、D选项． 【详解】根据分布列的性质可知，解得或， 因为，所以，故A错误，B正确； 根据期公式可得，故C正确； 根据方差公式可得： ，故D正确． 故选：. 11. 设正整数，其中，记为上述表示中为1的个数．例如：，所以．已知集合，下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的，有 C. 若，则使成立的的取值个数为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由及新定义判断A，举反例判断B，结合，根据的定义即可求解判断C，根据的定义得，结合组合数的性质利用倒序相加法即可求解判断D. 【详解】对于A，，有2个1，所以，正确； 对于B，当时，，所以，此时，不符合题意，错误； 对于C，注意到， 所以集合中的任一元素均可由唯一表示， 能使的的取值个数为，正确； 对于D，，记， 又，两式相加得，所以，则，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在 的展开式中，的系数为_______. 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为. 考点：二项式定理及二项展开式的通项. 13. 若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用质因数可得的所有正约数，从而可求概率. 【详解】因为，所以的正约数为共15个数， 其中完全平方数有共6个数， 所以从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为. 故答案为：. 14. 已知函数，若在处的切线斜率为，则____________；若恒成立，则的取值范围为____________________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对函数求导，进而求导数值；法一：问题化为恒成立，利用导数求右侧的最小值，即可得；法二：由，应用导数及放缩法求参数范围. 【详解】，，则， 法一：恒成立，得，即， 令，则， 令，，得，则在上单调递增， 由指数函数与反比例函数，使得， 所以时，，时，， 即时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有极小值，即最小值， 由，，则，即； 法二：， 令且，则，故在上单调递增，则， 由，则，在上，即在上单调递减，在上，即在上单调递增， 所以，即， 综上，，而，当且仅当，即时取“=”， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表. 机床 品级 合计 一级品 二级品 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异. 附:χ2=. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是 （2）依据小概率值α=0.010的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 【解析】 【分析】（1）根据频率的计算即可求解， （2）根据卡方的计算，与临界值即可求解. 【小问1详解】 甲机床生产的产品中一级品的频率为； 乙机床生产的产品中一级品的频率为. 【小问2详解】 ， 依据小概率值的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 16. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合和与项的递推关系进行转化即可求解； （2）利用裂项求和即可求解． 【小问1详解】 因为数列的前n项和为，且， 当时，， 当时，，适合上式， 故. 【小问2详解】 ， 17. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. （1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 P ，期望为 （2）的分布列为： 0 1 2 3 P ，期望为，方差为【解析】 【分析】由题可知服从超几何分布，c的取值为0，1，2，则易求的分布列和数学期望； 由题意可知服从二项分布，且，计算即可求得随机变量的分布列和数学期望． 【小问1详解】 由题意知，的值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P ； 【小问2详解】 由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且， ， 的分布列为： 0 1 2 3 P . 18. 已知函数，. （1）当，时，求在区间上的最值； （2）当时，若有三个零点，，， ①求的取值范围； ②判断与的大小关系，并给出证明. 【答案】（1）最小值为，最大值为 （2）①； ②，证明如下： 由①知，时，有三个零点其中， 考虑， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 即，所以，又函数在上为增函数， 所以 【解析】 【分析】（1）先求出的解析式和导数，然后判断单调性，求得最值； （2）①通过构造函数，分析其导数，得出当时，有三个零点；②利用时零点关系，结合函数单调性进行推导即可． 【小问1详解】 当时，， 所以. 求导得. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 【小问2详解】 ①当时，， 当时，即， 那么，且， 若有三个零点则等价于在上有且只有一个零点， 令，则，函数的零点与有相同的零点， 又在上零点情况等价于在上零点情况，， 当时，， 所以在上单调递减，所以，函数在上无零点，不符合题意， 当时，令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又，， 所以在有唯一零点，即在有唯一零点， 综上所述，有三个零点时，，即的取值范围是； ②略 19. 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，． (i)证明：为等比数列； (ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）的分布列如下： （2）（i）证明： 即 整理可得： 是以为首项，为公比的等比数列； （ii），解释如下： 由（i）知： ，，……， 作和可得： 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. 【解析】 【分析】（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出. 【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，， ；； 则的分布列如下： （2）， ，， （i）略 （ii），这种实验方案合理，理由略. 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省江门市新会一中高二（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 2. 下列图中，线性相关性系数最大的是（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（    ） A. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有24种 B. 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8 C. 一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有20种 D. 从1，2，3，4，5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为60 5. 某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（ ） A. 0.24 B. 0.36 C. 0.5 D. 0.52 6. 下列命题错误的是（    ） A. 有一组数据为、、、、、、、，则它们的第百分位数为 B. 线性回归直线一定经过样本点的中心 C. 设，且，则 D. 随机变量，若，，则 7. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 下列四组数据中，方差最小的为（    ） A. 31，22，39 B. 30，46，25 C. 40，18，30 D. 37，42，33 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C. 样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果．越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10. 已知离数型随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 11. 设正整数，其中，记为上述表示中为1的个数．例如：，所以．已知集合，下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的，有 C. 若，则使成立的的取值个数为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在 的展开式中，的系数为_______. 13. 若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为________． 14. 已知函数，若在处的切线斜率为，则____________；若恒成立，则的取值范围为____________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表. 机床 品级 合计 一级品 二级品 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异. 附:χ2=. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 17. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. （1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 18. 已知函数，. （1）当，时，求在区间上的最值； （2）当时，若有三个零点，，， ①求的取值范围； ②判断与的大小关系，并给出证明. 19. 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，． (i)证明：为等比数列； (ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $