13.1 勾股定理及其逆定理 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第2课时　勾股定理的简单应用 精讲练　新知探究 探究点一　勾股定理的简单应用 例1　如图所示,小肖同学从滑雪台A处开始向下滑至B处.已知滑雪台的高度AC为14 m,滑雪台整体的水平距离BC比滑雪台的长度AB短2 m,则滑雪台的长度AB为多少米? 初中同步学习导与练·数学·HSD·八上 解:设AB的长为x m, 则BC的长为(x-2)m. ∵AC=14 m,∠ACB=90°, ∴AC2+BC2=AB2, ∴142+(x-2)2=x2,解得x=50. 答:滑雪台的长度AB为50 m. 2 例2　如图所示,已知一架竹梯AB斜靠在墙上,竹梯AB=13 m,梯子底端离墙脚的距离BO=5 m. (1)求这架梯子顶端A离地面的高度. 3 (2)如果梯子的顶端A下滑4 m到点C,那么梯子的底端B在水平方向上滑动的距离BD是4 m吗?为什么? 4 方法点拨 运用勾股定理解决实际问题时,要挖掘实际问题中隐含的条件,找到直角三角形,根据题意,画出图形,将实际问题转化为数学问题;若没有直角三角形,应结合题意构造直角三角形,在直角三角形中运用勾股定理解决问题. 5 巩固训练 1.如图所示,有少数同学为了避开拐角走“捷径”,在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”,其实他们仅仅少走了( ) A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 2.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行( ) A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m D B 6 3.如图所示,一位女士从O点向北行走1 km,然后向东走2 km,再向北走 3 km,最后又向东走5 km到达A点,此时她与出发点O的距离是　 　km. 7 4.如图所示,公园里一棵高16米的古树被台风吹断,断树的两段与地平线恰好组成一个直角三角形,经测量,断树的顶端到底端的距离是8米.古树在距离地面多少米的地方折断? 解:示意图如图所示. 根据题意,得在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=16米. 设AC=x米,则AB=(16-x)米. 在△ABC中,∵∠ACB=90°, ∴AC2+BC2=AB2,∴x2+82=(16-x)2,∴x=6. 答:古树在距离地面6米的地方折断. 8 5.如图所示,甲、乙两船从港口A同时出发,甲船以16海里/时的速度沿北偏东60°方向航行,乙船沿南偏东30°方向航行,3小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛.若C,B两岛相距60海里,则乙船的航速是多少? 9 10 探究点二　勾股定理与图形的面积 例3　如图所示,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AD=7,DC=24,BC= 15. (1)求AB的长; 解:(1)如图所示,连结AC. ∵∠ABC=∠ADC=90°,AD=7,DC=24,BC=15, ∴AD2+CD2=AC2=AB2+BC2, 即72+242=AB2+152, ∴AB=20. 11 (2)求四边形ABCD的面积. 12 巩固训练 6.如图所示,图中的四边形均为正方形,三角形为直角三角形,最大的正方形的边长为7 cm,则图中A,B两个正方形的面积之和为　 　.  49 cm2 13 7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB的长为直径作半圆,当AC= 4,BC=6时,半圆的面积为　 　.(结果保留π)  14 谢谢观赏！ 15 解:(1)在Rt△AOB中,OA===12(m), ∴梯子顶端A离地面12 m. 解:(2)梯子的底端B在水平方向上滑动的距离不是4 m.理由如下: 在Rt△COD中,∵OC=OA-AC=12-4=8(m), ∴OD===(m). ∴BD=OD-OB=(-5)m≠4 m. ∴梯子的底端B在水平方向上滑动的距离不是4 m. 解:根据题意,得∠BAC=180°-60°-30°=90°,AC=16×3=48(海里), BC=60海里. 在Rt△ABC中,∵AC2+AB2=BC2, ∴AB===36(海里). ∵航行时间为3小时, ∴36÷3=12(海里/时). 答:乙船的航速是12海里/时. 解:(2)S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC =AB·BC+AD·DC =×20×15+×7×24=234. π $$3.反证法 过教材　要点概览 1.反证法的定义 先假设　 　;然后通过　 　,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等　 　 ;从而说明　 　,进而得出原结论正确.这种证明方法叫做“反证法”.  结论的反面是正确的 演绎推理 相矛盾 假设不成立 初中同步学习导与练·数学·HSD·八上 2.用反证法证明命题的一般步骤 (1)假设结论的　 　是正确的;  (2)通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等 　 　;  (3)由矛盾说明假设　 　,进而得出原结论　 　.  反面 相矛盾 不成立 正确 2 精讲练　新知探究 探究点一　反证法 例1　如果在△ABC中,AB=AC,那么∠B<90°.下面是运用反证法证明这个命题的四个步骤: ①∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾. ②因此假设不成立,所以∠B<90°. ③假设在△ABC中,∠B≥90°. ④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是　 　.(填序号)  ③④①② 3 巩固训练 1.用反证法证明“若|a|<2,则a2<4”时,应假设( ) A.|a|≥2 B.|a|>2 C.a2≥4 D.a2>4 2.(1)等腰三角形的底角必为锐角,用反证法证明,第一步是假设 　 　.  (2)利用反证法证明命题“四边形中至少有一个内角是钝角或直角”时,应假设　 　.  (3)用反证法证明命题“直角三角形中至少有一个锐角不小于 45°”时,首先应假设　 　. C 等腰三角形的两底角都是直角或钝角 四边形中所有内角都是锐角 直角三角形的两个锐角都小于45° 4 探究点二　反证法的应用 例2　用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补. 已知:如图所示,l1∥l2,l1,l2都被l3所截. 求证:∠1+∠2=180° 证明:假设∠1+∠2　 　180°.  ∵l1∥l2,∴∠1　 　∠3.  ∵∠1+∠2　 　180°,  ∴∠3+∠2≠180°,这与　 　矛盾,  ∴假设∠1+∠2　 　180°不成立,  即∠1+∠2=180°. ≠ = ≠ 平角为180° ≠ 5 巩固训练 3.已知:△ABC. 用反证法证明:在∠A,∠B,∠C三个内角中,至少有两个锐角. 证明:假设△ABC中至多有一个锐角,即至少有两个角是直角或钝角. 设0°<∠A<90°,90°≤∠B<180°,90°≤∠C<180°, ∴∠A+∠B+∠C>0°+90°+90°=180°.∴∠A+∠B+∠C>180°, 这与“三角形的内角和是180°”相矛盾, ∴假设△ABC中至多有一个锐角不成立,∴在∠A,∠B,∠C三个内角 中,至少有两个锐角. 6 谢谢观赏！ 7 $$ 基础巩固练 3.反证法 知识点1　反证法 1.用反证法证明命题“已知△ABC,AB=AC,求证:∠B<90°”,第一步应先假设( ) A.∠B≥90° B.∠B>90° C.∠B<90° D.AB≠AC 2.用反证法证明命题“三角形中最多有一个内角是直角”,应 假设　 　. A 三角形中至少有两个内角是直角 初中同步学习导与练·数学·HSD·八上 知识点2　反证法的应用 3.已知命题“在△ABC中,若AC2+BC2≠AB2,则∠C≠90°”.要证明这个命题是真命题,可用反证法,其步骤为:假设　 　,根据　 　　,一定有　 　,但这与已知　 　矛盾,因此假设是错误的,于是可知原命题是真命题.  4.用反证法证明:一条线段只有一个中点.先假设线段AB有两个中点M,N, 不妨设M在N的左边,则AM<AN.这与AM=AN=　 　矛盾,故一条线段只有一 个中点.  ∠C=90° 勾股定理 AC2+BC2=AB2 AC2+BC2≠AB2 2 5.用反证法证明:等腰三角形的底角是锐角. 证明:假设等腰三角形的底角不是锐角, 则其底角大于或等于90°. ∵等腰三角形的两个底角相等, ∴两个底角的和大于或等于180°. 则该三角形的三个内角的和一定大于180°, 这与三角形的内角和定理矛盾,故假设不成立,∴等腰三角形的底角是 锐角. 3 能力提升练 6.用反证法证明命题“若a,b是整数,且ab能被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除”时,应假设　 　.  a,b都不能被5整除 4 7.请用反证法证明:如果两个整数的积是偶数,那么这两个整数中至少有一个是偶数. 证明:假设这两个整数都是奇数,其中一个奇数为2n+1,另一个奇数为2p+1(n,p为整数). 则(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1. ∵n,p为整数,∴无论n,p取何值,2(2np+n+p)+1都是奇数, 这与已知中两个整数的积是偶数矛盾, ∴假设不成立, ∴这两个整数中至少有一个是偶数. 5 素养培优练 8.阅读正文并解答下列问题: 如图所示,已知在△ABC中,AB>AC,求证:∠ACB>∠ABC. 证明:假设∠ACB≤∠ABC, ①若∠ACB<∠ABC,则在BC上取点D,连结AD,使∠ADB=∠B. 则AD=AB; 在AC上取点E,使AE=AD,则AC>AD, ∴AC>AB.这与已知AC<AB相矛盾,∴假设不成立. ②若∠ACB=∠ABC…… 综上,∠ACB>∠ABC. 6 (1)上述证明过程采用的方法是　　　　;  (2)请你补充②中所缺失的部分. 解:(1)反证法 (2)若∠ACB=∠ABC, 则AB=AC,这与已知AC<AB相矛盾, ∴假设不成立. 7 谢谢观赏！ 8 AB $$ 基础巩固练 2.直角三角形的判定 知识点1　勾股定理的逆定理 1.下列长度的三根木棒能组成直角三角形的是( ) A.2,3,4 B.0.5,1.2,1.3 C.8,16,17 D.12,18,22 B 初中同步学习导与练·数学·HSD·八上 2.根据下列条件判断△ABC不是直角三角形的是( ) A.AB∶BC∶AC=6∶8∶10 B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 C.∠A=∠B-∠C D.AB2=BC2-AC2 B 2 3.下列命题中,正确的是( ) A.在直角三角形中,两条边的平方和等于第三边的平方 B.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若a2+b2=c2,则∠A=90° C.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若c2-a2=b2,则∠B=90° D.在三角形中,若两个角互余,则这个三角形是直角三角形. D 3 4.如图所示,在边长都为1的正方形网格图中,△ABC的顶点都在格点上,下列结论不正确的是( ) D 4 5.(1)已知a,b,c为△ABC的三边长,且|a2+b2-c2|+a2=2ab-b2,则△ABC是 　 　.  (2)若△ABC的三边长分别是a,b,c,且满足 (b-c)(a2+b2)=bc2-c3,则△ABC是　 　.  等腰直角三角形 等腰三角形或直角三角形 5 6.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形,若是,请说出哪条边所对的角是直角. (1)a=7,b=24,c=25; 解:(1)∵a2+b2=72+242=625, c2=252=625, ∴a2+b2=c2. ∴由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形,线段c所对角是直角. 6 7 7.已知△ABC的周长为12 cm,AC=3 cm,AB-BC=1 cm,判断△ABC的形状,并说明理由. 解:△ABC是直角三角形.理由如下: ∵△ABC的周长为12 cm,AC=3 cm, ∴AB+BC=9 cm. 又∵AB-BC=1 cm, ∴AB=5 cm,BC=4 cm. ∵AC2+BC2=32+42=25,AB2=25, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形. 8 知识点2　勾股数 8.下列各组数中,是勾股数的是( ) B 9.(2025西安月考)若9,41,m是一组勾股数,则m的值为　 　.  10.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数,例如:3,4, 5是一组勾股数.现有如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….可以发现4=3+1,12=2×(5+1),24=3×(7+1),则第6个勾股数组为 　 　.  40 (13,84,85) 9 能力提升练 11.如图所示,在等腰三角形ABC中,底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4, BD=3,则AD的长为　 　.  10 12.如图所示,△ABC的三边长的比为 AC∶BC∶AB=5∶12∶13,且周长为30,点D在CB上,将△ABC沿AD折叠,使点C落在AB上的点E处,则DC的长 为　　. 11 13.给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.如图所示,已知△ABD和△BCE是等边三角形,连结DC,AC,DE.若四边形ABCD是勾股四边形,且BC2+CD2=AC2,求∠DCB的度数. 12 解:∵△ABD和△BCE是等边三角形, ∴BA=BD,BE=BC=CE, ∠ABD=∠EBC=∠ECB=60°. ∴∠ABC=∠DBE. ∴△ABC≌△DBE(SAS). ∴AC=ED. ∵BC2+CD2=AC2,∴CE2+DC2=DE2. ∴△DCE是直角三角形,且∠DCE=90°. ∵∠ECB=60°,∴∠DCB=∠DCE-∠ECB=90°-60°=30°. 13 素养培优练 14.已知,点P为等边三角形ABC所在平面内一点. (1)如图①所示,点P在△ABC外,∠BPC=120°,∠ABP=90°, 求证:BP=CP; ① (1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°. ∵∠ABP=90°,∴∠PBC=30°. 又∵∠BPC=120°, ∴∠PCB=180°-120°-30°=30°, ∴∠PBC=∠BCP,∴BP=CP. 14 (2)如图②所示,在正方形ABCD内部有一点P,若∠APD=135°,试判断线段PA,PB,PD之间的数量关系,并说明理由.(提示:将△ADP绕点A顺时针旋转90°) ② 15 (2)解:2PA2+PD2=PB2.理由如下: 如图所示,把△ADP绕点A按顺时针旋转90°得到△ABP′,连结PP′. 则P′B=PD,P′A=PA,∠PAP′=90°, ∴△APP′是等腰直角三角形, ∴PP′2=PA2+P′A2=2PA2,∠PP′A=45°. ∵∠APD=135°,∴∠AP′B=∠APD=135°, ∴∠PP′B=90°. 在Rt△PP′B中,由勾股定理,得 PP′2+P′B2=PB2, ∴2PA2+PD2=PB2. 16 谢谢观赏！ 17 A.BC=5 B.△ABC的面积为5 C.∠A=90° D.点A到BC的距离为 (2)a=,b=1,c=. 解:(2)∵a>b>c,b2+c2=12+()2=1+=,a2=()2=, ∴b2+c2≠a2. ∴由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形. A.0.3,0.4,0.5 B.6,8,10 C.,, D.10,15,18 $$2.直角三角形的判定 过教材　要点概览 1.直角三角形的判定方法 (1)两个角　 　的三角形是直角三角形.  (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有关系　 　,那么这个三角形是直角三角形,且边c所对的角为直角.  2.勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个　 　,称为勾股数.  互余 a2+b2=c2 正整数 初中同步学习导与练·数学·HSD·八上 精讲练　新知探究 探究点一　勾股定理的逆定理 例1　已知a,b,c分别是△ABC的三边长,根据下列条件,判断△ABC是不是直角三角形. (1)a=20,b=21,c=29; (2)a=0.7,b=1.3,c=1.2; 解:(1)202+212=292,故△ABC是直角三角形. (2)0.72+1.22≠1.32,故△ABC不是直角三角形. 2 (3)a=m2-n2,b=m2+n2,c=2mn(m>n,m,n为正整数). 解:(3)∵m>n,∴(m-n)2>0,即m2-2mn+n2>0,可得m2+n2>2mn. 又m2+n2>m2-n2, ∴m2+n2是最长边. ∵(m2-n2)2+(2mn)2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2,即a2+c2=b2, ∴△ABC是直角三角形. 3 例2　对于任意大于或等于4的偶数,存在下列勾股数: 组别 a b c 第1组 4=2×2 3=22-1 5=22+1 第2组 6=2×3 8=32-1 10=32+1 第3组 8=2×4 15=42-1 17=42+1 (1)根据以上规律,请你直接写出第7组勾股数; 解:(1)第7组勾股数是16,63,65. 4 (2)请你猜想出第n(n为正整数)组勾股数,并证明这是一组勾股数. 解:(2)猜想:第n(n为正整数)组勾股数为2(n+1),(n+1)2-1,(n+1)2+1. 证明如下:[2(n+1)]2+[(n+1)2-1]2 =4(n+1)2+(n+1)4-2(n+1)2+1 =(n+1)4+2(n+1)2+1 =[(n+1)2+1]2, 故这是一组勾股数. 5 重点归纳 勾股数必须满足的两个条件 (1)三个数都是正整数; (2)较小两数的平方和等于最大数的平方. 6 巩固训练 1.下列各组数中,不是勾股数的是( ) A.3,4,5 B.5,12,13 C.4,6,8 D.7,24,25 2.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的为( ) A.∠A∶∠B∶∠C=5∶12∶13 B.∠A=∠B-∠C C.b2=a2-c2 D.a∶b∶c=3∶5∶4 C A 7 8 探究点二　勾股定理及其逆定理的综合应用 例3　如图所示,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,点D是Rt△ABC外一点,连结DC,DB,且CD=4,BD=3. (1)求BC的长; 9 (2)求证:△BCD是直角三角形. (2)证明:∵在△BCD中,CD=4,BD=3,BC=5, ∴CD2+BD2=42+32=52=BC2, ∴△BCD是直角三角形. 10 例4　如图所示,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9. 求证:△ABC是直角三角形. 11 12 巩固训练 4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BC=10,点D是边AB上一点,BD=6,CD=8,求AD的长. 13 谢谢观赏！ 14 解:△ABC为直角三角形.理由如下: 由题意,知a-4=0,2b-12=0,10-c=0, ∴a=8,b=6,c=10. ∵82+62=102,∴a2+b2=c2, ∴△ABC为直角三角形. 3.已知△ABC的三边长a,b,c满足+(2b-12)2+=0,试判断△ABC的形状,并说明理由. (1)解:∵在△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13, ∴BC===5. 证明:∵CD⊥AB, ∴∠BDC=∠ADC=90°, ∴在Rt△BCD中,BD2+CD2=BC2, 在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2. ∵BC=15,DB=9, ∴CD===12. ∵AC=20, ∴AD===16, ∴AB=AD+BD=25, ∴BC2+AC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形. 解:在△BCD中,∵BD=6,CD=8,BC=10, ∴BD2+CD2=62+82=100,BC2=100,∴BD2+CD2=BC2, ∴△BCD是直角三角形,∠BDC=90°,∴∠ADC=90°. ∴在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2. 设AD=x,则AC=AB=6+x, ∴x2+82=(6+x)2,∴x=,∴AD的长为. $$ 过教材　要点概览 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于　 　.即在直角三角形ABC中,若两直角边分别为a,b,斜边为c,则一定有　 　.  斜边的平方 a2+b2=c2 13.1 勾股定理及其逆定理 1.直角三角形三边的关系 第1课时 勾股定理 第13章 勾股定理 初中同步学习导与练·数学·HSD·八上 精讲练　新知探究 探究点一　勾股定理及证明 例1　观察　(1)如图①所示,将Rt△ABC放置在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形. ①正方形ABED的面积S1为　　　;  ②正方形ACMN的面积S2为　　　;  ③正方形BCGF的面积S3为　　　.  解:(1)①13　②4　③9 ① 2 (2)可以发现S1,S2,S3之间的关系是 　　　　　　. (3)如果用a,b,c分别表示正方形ACMN、正方形BCGF、正方形ABED的边 长,可以得出Rt△ABC的三边长存在的关系式是　　　　　　　. 解:(2)S1=S2+S3 (3)a2+b2=c2 3 (4)如图②所示,分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆,若BC=a,AC=b, AB=c,判断在(2)中发现的S1,S2,S3之间的关系是否还成立,并说明理由. ② 4 巩固训练 1.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是( ) D A B C D 5 2.勾股定理的证法多样,其中“面积法”是常用的方法.小明发现:4个全等的直角三角形的直角边长分别为a,b,斜边长为c,现把这四个直角三角形适当拼合,可以得到如图所示的图形,利用这个图形可以验证勾股定 理.你能说明其中的道理吗?请试一试. 6 探究点二　利用勾股定理求直角三角形的边长 例2　在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边. (1)已知a=6,c=10,求b的长; 7 (2)已知a=40,b=9,求c的长; (3)已知c=25,b=15,求a的长. 8 例3　如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,CD是边AB上的高,求BD的长. 9 方法点拨 在直角三角形中,当已知一边的长度及另外两边的关系时,常设未知数,利用勾股定理建立方程解决问题. 10 巩固训练 3.(1)在直角三角形中,两条直角边的长分别为2和3,则斜边长为　 　. (2)若直角三角形的两边长为6和8,则第三边长为　 　 . 4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E. (1)求AB的长; 11 (2)求CE的长. 12 谢谢观赏！ 13 解:(4)成立.理由如下: 根据圆的面积公式,得 S1=π×(AB)2=c2. 同理得S2=b2,S3=a2. ∴S2+S3=(b2+a2)=c2=S1,∴S1=S2+S3. 解:能.图形的总面积可以表示为c2+2×ab=c2+ab,也可以表示为 (b+a+b)b+(a+a+b)a=ab+b2+a2+ab=a2+b2+ab, ∴a2+b2+ab=c2+ab,即a2+b2=c2. 解:在Rt△ABC中,根据勾股定理,得a2+b2=c2. (1)b===8. 解:(2)c===41. (3)a===20. 解:∵∠ACB=90°,∴在Rt△ABC中, AB==5.设BD=x,则AD=5-x. ∵CD是边AB上的高,∴在Rt△BCD中,CD2+BD2=BC2, ∴CD2=BC2-BD2,即CD2=32-x2. 同理,在Rt△ACD中,有CD2=42-(5-x)2, ∴32-x2=42-(5-x)2,解得x=.即BD的长为. 10或 解:(1)在Rt△ABC中, ∵∠C=90°,AC=12,BC=9, ∴AB===15. 解:(2)∵DE垂直平分AB ,∴AE=BE. 设CE=x,则AE=BE=12-x. 在Rt△BCE中, ∵BC2+CE2=BE2,∴92+x2=(12-x)2, 解得x=.∴CE=. $$ 基础巩固练 13.1 勾股定理及其逆定理 1.直角三角形三边的关系 第1课时 勾股定理 知识点1　勾股定理及证明 1.数学文化　我国古代数学家赵爽绘制了“弦图”.如图所示,△ABH, △BCG,△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,如果EF=1,AH=3,那么四边形ABCD的面积等于　 　.  第13章 勾股定理 25 初中同步学习导与练·数学·HSD·八上 2.将两个全等的直角三角形按照如图所示的位置摆放,使点A,E,D在同一条直线上,∠A=∠D=90°,AE=CD=a,AB=ED=b,BE=CE=c. (1)∠BEC=　　　°,根据三角形面积公式,可得△BEC的面积=　　　　;根据割补法,利用△BEC的面积=梯形的面积减去阴影部分 的面积求△BEC的面积.  (2)求证:a2+b2=c2. (2)证明:由(1)可知△BEC的面积=c2=(a2+b2),∴a2+b2=c2. 2 知识点2　利用勾股定理求直角三角形的边长 3.如图所示,阴影部分是一个长方形,则阴影部分的面积是( ) A.6 cm2 B.8 cm2 C.10 cm2 D.12 cm2 C B 3 5.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,将△ABC绕点A顺时针旋转得到对应的△ADE,若点E恰好在AB边上,则BE的长为　 　.  4 4 6.在Rt△ABC中,AB=2,BC=3,求AC的长. 5 7.如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=20,BC=12. (1)求AB的长度. 6 (2)设点P在AB上,若∠PAC=∠PCA,求AP的长. 7 能力提升练 8.如图所示,把一张长方形纸片沿对角线折叠.若BC=9,CD=3,则阴影部分的面积为　 　.  7.5 8 9.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC 的延长线于点E.若AC=8,AB=10,则EC的长为　 　. 9 10.如图所示,在△ABC中,AB=AC=4,E在边BC上,且AE=3,∠BAE=90°,则CE的长为　 　.  1.4 10 素养培优练 11.将两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放,其中∠ACB=∠AED= ∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2. 11 12 谢谢观赏！ 13 (1)解:90　c2 △BEC的面积=(a+b)(a+b)-2×ab=(a2+2ab+b2)-ab=(a2+b2). 4.如图所示,在长方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为( ) A. B.-1 C. D.-1 解:在Rt△ABC中,当∠A=90°时, AB2+AC2=BC2.∵AB=2,BC=3, ∴AC===. 当∠B=90°时,AB2+BC2=AC2.∵AB=2,BC=3, ∴AC===. 综上,AC的长为或. 解:(1)∵∠ABC=90°,AC=20,BC=12, ∴由勾股定理,得AB==16. 解:(2)∵∠PAC=∠PCA,∴AP=PC. 设AP=PC=x,则PB=16-x. 在Rt△PBC中,PC2=BC2+PB2, ∴(16-x)2+122=x2,解得x=, ∴AP=. 证明:如图所示,连结BD,过点B作BF⊥DE,交DE的延长线于点F, 则BF=b-a,EF=b. ∵∠DAB=∠ACB=90°,∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠ABC=90°. ∵∠DAE=∠BAC,∴∠BAE=∠ABC.∴AE∥BC. ∴△ABE的边AE上的高是b. ∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab, S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a), ∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a).∴a2+b2=c2. $$ 基础巩固练 第2课时　勾股定理的简单应用 知识点1　勾股定理的简单应用 1.在平静的湖面上,有一朵红莲,高出水面1米,一阵风吹来,红莲移到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,这里的水深为( ) A.1.5米 B.2米 C.2.5米 D.1米 A 初中同步学习导与练·数学·HSD·八上 2.放学后,小红从学校出发向西走150米,接着向北走了360米回到家中,小红的家与学校之间的距离是　 　米. 3.如图所示,为修通铁路需凿通隧道AC,量出∠A=38°,∠B=52°,AB= 10 km,BC=6 km.若每天凿隧道0.5 km,则多少天能把隧道AC凿通? 390 解:∵∠A=38°,∠B=52°,∴∠C=90°, ∴AC2=AB2-BC2=64,∴AC=8 km. ∵8÷0.5=16(天),∴16天能把隧道AC凿通. 2 4.如图所示,某人欲乘船横渡(垂直于河岸)一条河,由于水流的影响,实际上岸地点A偏离欲到达地点B50米,结果他在水中实际的路程比河的宽度多10米,求该河的宽度BC. 解:由题知AB=50米, 设该河的宽度BC为x米, 则AC为(x+10)米. 在Rt△ABC中,根据勾股定理,得 AC2=AB2+BC2, 即(x+10)2=502+x2,解得x=120. 答:该河的宽度BC为120米. 3 知识点2　勾股定理与图形问题 5.(2024成都期末)如图所示,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以A为圆心,AB为半径画弧,交最上方的网格线于点D,则CD的长为( ) B 4 6.如图所示,等边三角形ABC的周长为12,则它的高AD为( ) C 5 7.如图所示,在四边形ABCD中,∠ABC=∠CDA=90°,分别以四边形ABCD的四条边为边长向外作四个正方形,面积分别为S1,S2,S3,S4,若S1=8,S2=11, S3=15,则S4的值是　 　.  18 6 8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以三角形的三边为边长向外作正方形,面积分别记为S1,S2,S3,已知S1+S2-S3=32,那么图中阴影部分的面积是　 　.  8 7 9.如图所示,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形组成的网格的格点 上,BD⊥AC 于点D,求线段BD的长及△ABC的周长. 8 能力提升练 10.有一块三角形的土地,相邻的两条边长分别为17 m和10 m,第三条边上的高为8 m,则这块三角形土地的面积为　 　m2. 84或36 9 11.如图所示,某学校(点A)与公路(直线l)的距离AB为 300 m,与公交车站(点D)的距离AD为500 m.现要在公路上建一个小商店(点C),使CA=CD,求商店与车站之间的距离CD. 10 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AC2=AB2+BC2, 即x2=3002+(400-x)2,解得x=312.5. 答:商店与车站之间的距离CD为312.5 m. 11 素养培优练 12.某镇决定在相距25 km的A,B两站之间的点E处修建一个土特产加工基地.如图所示,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15 km,CB=10 km,现在要使C,D两村到点E的距离相等,那么基地E应建在离A站多远的地方? 12 解:设AE=x km. ∵AB=25 km,∴BE=(25-x)km. ∵DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B, ∴在Rt△DAE中,DA2+AE2=DE2, 在Rt△EBC中,BE2+BC2=CE2. ∵CE=DE, ∴DA2+AE2=BE2+BC2, ∴152+x2=(25-x)2+102,解得x=10. 答:基地E应建在离A站10 km的地方. 13 谢谢观赏！ 14 A. B. C.2.2 D.3- A. B.5 C.2 D. 解:由勾股定理可得AC==5. ∵BD⊥AC,∴S△ABC=AC·BD=×4×4, 即×5×BD=8,∴BD=. ∵AB==,AC=5,BC=4, ∴△ABC的周长为AB+AC+BC=9+. 解:∵AB⊥直线l于点B,AB=300 m,AD=500 m, ∴在Rt△ABD中, BD==400 m. 设CD=CA=x m, 则CB=(400-x)m. $$