精品解析：黑龙江省大庆市大庆实验中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

大庆实验中学2024级高一下学期期末考试 数学学科试题 说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内． 2．满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（ ） A. 极差为5 B. 中位数是7 C. 平均数是5 D. 众数是8 2. 已知复数，则的实部与虚部的差为（ ） A. B. 1 C. D. 3 已知向量，若向量与平行，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B. 直方图中的值为0.020 C. 估计全校学生成绩中位数为87 D. 估计全校学生成绩的分位数约为90 6. 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球；若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权；比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为 ，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.则甲乙两人在比赛中平局的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角所对的边为，其面积为，若且的外接圆半径为，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知边长为2的菱形，，对角线交于点，现将沿对角线翻折，得到三棱锥．记线段的中点分别为，有四个结论： ① ②三棱锥体积的最大值为 ③平面截三棱锥的截面图形可能是正方形 ④当折成二面角为时，三棱锥的外接球半径为 则四个结论中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在△ABC中，，，则下列说法正确的是（ ） A. △ABC外接圆的面积为 B. 若，则 C. 若O为△ABC的重心，且，则△ABC为等边三角形 D. 若O为△ABC外心，则 10. 现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互对立 D. 丙与丁互斥 11. 如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为定值 C. 若点在线段上，则为定值 D. 若，则的最大值为 12. 如图，四边形是一个正方形，，半圆面平面，动点在半圆弧上运动（点不与点、重合），动点在线段上运动，下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 存点使得 C. 当三棱锥体积最大时，二面角的正切值为 D. 当三棱锥体积最大时，的最小值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是__________. 14. 若一组样本数据，，，的平均数为2，方差为4，则数据，，，，，，，的方差为__________． 15. 已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________. 16. 如图，三个半径都是6的球，球，球放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球，球，球两两外切，并且球，球，球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是，又有一个半径为的球与球，球，球均外切，并且球的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知为单位向量，向量． （1）若，求； （2）若，求与的夹角的余弦值． 18. 某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； （2）估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． （3）已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 19. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，．平面，、分别为棱的中点， （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 20. 甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：每轮由其中一人进行投篮，若投中，则投篮者得1分，对方得0分，且下一轮继续投篮；若未投中，则投篮者得0分，对方得1分，且下一轮由对方投篮；当一方领先对方2分时，领先者获胜，比赛结束．已知甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，且每轮投篮相互独立．第一轮甲先进行投篮． （1）求第二轮投篮后乙获胜的概率； （2）求第四轮投篮后甲获胜的概率； （3）求第六轮投篮后甲获胜的概率． 21. 如图1，是边长为4的正方形，点在的延长线，且，连接，将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． （1）当为的中点时．求证：平面平面； （2）若，求二面角的正弦值的取值范围． 22. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2024级高一下学期期末考试 数学学科试题 说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内． 2．满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 一组样本数据3，6，5，7，2，4，8，则（ ） A. 极差为5 B. 中位数是7 C. 平均数是5 D. 众数是8 【答案】C 【解析】 分析】应用极差，中位数，平均数，众数定义计算求解各个选项. 【详解】样本数据从小到大排列为， 则极差为，A选项错误； 中位数是，B选项错误； 平均数是，C选项正确； 众数不是8，D选项错误； 故选：C. 2. 已知复数，则的实部与虚部的差为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得出复数的实部及虚部即可求解. 【详解】化简复数，得到．所以复数z的实部为，虚部为． 则的实部与虚部的差为． 故选：A. 3. 已知向量，若向量与平行，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示及平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】， 因为向量与平行， 所以， 解得：， 故选：C 4. 已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由面面、线面位置关系即可逐一判断各个选项. 【详解】选项A：若，则平面与平面可能垂直，例如平面直角坐标系的三个面，故选项A错误； 选项B：若，则或，若，则可能出现，故选项B错误； 选项C：垂直于同一平面的两直线平行，故选项C正确； 选项D：若，则，故选项D错误； 故选：D. 5. 某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B. 直方图中的值为0.020 C. 估计全校学生成绩的中位数为87 D. 估计全校学生成绩的分位数约为90 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图计算区间的频率，即可判断A，根据频率和为1，计算的值，判断B，根据中位数和百分位数公式，判断CD. 【详解】A.由图可知，成绩在区间内的频率为，人，故A错误； B.由图可知，，得，故B错误； C.前3组频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在第4组， 所以，得，故C正确； D. 样本数据的分位数在第5组，，得，故D错误. 故选：C 6. 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球；若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权；比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为 ，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.则甲乙两人在比赛中平局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用概率的加法公式和乘法公式列式求解. 【详解】设“第回合甲胜”，则，设事件“甲乙两人平局”， 依题意，甲乙两人在比赛中平局只有与两种情况，即， 因此 . 故选：D 7. 已知的内角所对的边为，其面积为，若且的外接圆半径为，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合三角形的面积公式可得，再由余弦定理可得，再由正弦定理可得，所以周长为，再由结合三角函数恒等变换公式和角的范围可求得答案 【详解】由题意可知，在中，因为， 因为，所以，所以， 则由余弦定理可得，，又，所以， 则， 在中，由正弦定理可得，， 则，所以周长 ， 因为，所以，所以， 则周长， 故选：A 8. 已知边长为2的菱形，，对角线交于点，现将沿对角线翻折，得到三棱锥．记线段的中点分别为，有四个结论： ① ②三棱锥体积的最大值为 ③平面截三棱锥的截面图形可能是正方形 ④当折成的二面角为时，三棱锥的外接球半径为 则四个结论中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①求证平面即可判断；②找到最大体积时平面，即可由锥体体积公式计算求解；③取中点，截面图形即为矩形，由题设求出即可判断；④找到球心位置，根据勾股定理列方程组即可求解. 【详解】①因为四边形为菱形，所以，故，， 又且都在平面内，所以平面， 因为平面，所以，正确； ②由①得平面，平面，所以平面平面， 当到平面的距离最大时，即平面时三棱锥的高最大， 由题意得，为等边三角形，为中点，所以， 所以三棱锥体积的最大值为，正确； ③取中点，连接，因为线段的中点分别为， 所以，且， 所以截面图形为平行四边形. 由①可知，所以，故四边形为矩形， 由题意得， 所以， 所以，即四边形不可能为正方形，错误； ④当二面角为时，由①可得， 所以到平面的距离为， 在平面内的投影在直线上，投影长为， 因为，所以为外接圆圆心， 所以三棱锥外接球的球心在过D且与平面垂直的直线上， 如图，设三棱锥外接球的半径为R，， 则，解得，故三棱锥外接球的半径为，错误. 故选：B 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在△ABC中，，，则下列说法正确的是（ ） A. △ABC外接圆的面积为 B. 若，则 C. 若O为△ABC的重心，且，则△ABC为等边三角形 D. 若O为△ABC的外心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理和圆的面积公式可判断选项A；利用正弦定理和向量的数量积定义可判断选项B；根据单位向量差与边向量垂直得出BO平分，再结合O为△ABC的重心可得出，可判断选项C；根据三角形外心的定义及向量数量积的几何意义可判断选项D. 【详解】对于选项A，由正弦定理知，得， 则△ABC外接圆的面积为，故选项A正确； 对于选项B，∵，， ∴，由正弦定理，可得， ∴，故选项B错误； 对于选项C，∵， ∴BO平分， 又∵O为△ABC的重心， ∴， 又∵， ∴△ABC为等边三角形，故选项C正确； 对于选项D，∵点O为△ABC的外心， ∴在上的投影为 由数量积的几何意义可得：，故选项D正确. 故选:ACD． 10. 现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互对立 D. 丙与丁互斥 【答案】BD 【解析】 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 11. 如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为定值 C. 若点在线段上，则为定值 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量坐标表示，结合向量数量积、向量共线、向量模长的计算公式逐项计算判断即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则，，，，， 所以，，因为， 所以，即． 对于A，若，则，所以，， 所以，故A错误； 对于B，当时，，所以，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又点在线段上，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，若，又，所以，即， 设， 所以，其中为锐角且， 所以当时，取得最大值，且最大值为，故D正确． 故选：BCD． 12. 如图，四边形是一个正方形，，半圆面平面，动点在半圆弧上运动（点不与点、重合），动点在线段上运动，下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 存在点使得 C. 当三棱锥体积最大时，二面角的正切值为 D. 当三棱锥体积最大时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由线面垂直的性质定理证明平面，再由面面垂直的判定定理可得A；由线面垂直的判定定理证明平面，得到，这与矛盾可判断B；取线段的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，由线面垂直的性质找到二面角的平面角为可得C正确；将面与面展开成平面图，连接，由几何关系结合余弦定理可得D正确. 【详解】因为四边形为矩形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 对于A，因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，当点运动到某一位置时，，由圆的几何性质可知， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以，这与矛盾，故B错误； 对于C，如图1，取线段的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接， 当三棱锥体积最大时即点为半圆弧的中点，， 因为为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面 ，因为平面，所以， 所以，二面角的平面角为， 因为，所以， 所以，，即二面角的正切值为，故C正确； 对于D，将面与面展开成平面图，连接，如图2所示，此时最小，由题意可知，，，所以， ， 再由余弦定理可知， 即的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出四棱锥的底面是边长为的正方形，四个侧面都是边长为的等边三角形，进一步结合棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示： 由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 设为中点，为正方形中心，则，， 显然，所以正四棱锥的侧棱，同理， 又，所以正四棱锥的四个侧面都是边长为的等边三角形， 设四棱锥的表面积是， 则. 故答案为：. 14. 若一组样本数据，，，的平均数为2，方差为4，则数据，，，，，，，的方差为__________． 【答案】14 【解析】 【分析】先根据已知数据平均数和方差的定义解出两个关系，再由这两个关系来新数据的方差. 【详解】因为数据数据，，，的平均数为2，方差为4. 所以，即——① ， ， ， 即——②. 设数据，，，，，，，的平均数为. 设数据，，，，，，，的方差为. . 故答案为：14. 15. 已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，则，所以即为异面直线与所成角，根据题干求出各边的长，利用余弦定理求解即可. 【详解】设中点为，连接，， 因为为线段中点，所以，则或其补角即为异面直线与所成角， 因为，，， 所以，，， 所以在中由余弦定理可得， 所以异面直线与所成角的正弦值为， 故答案为： 16. 如图，三个半径都是6的球，球，球放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球，球，球两两外切，并且球，球，球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是，又有一个半径为的球与球，球，球均外切，并且球的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为，则构成正三棱柱，在正三棱柱中利用勾股定理构建方程可求，再根据相切可得即可求解. 【详解】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为， 则构成如图正三棱柱，底面边长为12，高 过作，交于， 则，，， 又，所以，解得， 又球，球，球与半球面相切，，所以， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知为单位向量，向量． （1）若，求； （2）若，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再根据数量积求即可； （2）可得，计算与的数量积及模长，再利用向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 ，，解得， . 【小问2详解】 ， ，， ， ， ， 所以与的夹角的余弦值为. 18. 某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； （2）估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． （3）已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】（1）；人 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在175cm及以下的学生人数； （2）根据下四分位数概念结合频率分布直方图计算即可； （3）根据平均数公式计算可得，根据题中给的参考公式代入数据计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得， 身高在175cm及以下的学生人数（人）. 【小问2详解】 的人数占比为，的人数占比为， 所以该校100名学生身高的下四分位数即分位数落在， 设该校100名学生身高的分位数为， 则，解得， 故该校100名生学身高的下四分位数约为168. 【小问3详解】 由频率分布直方图知， 这100名学生的身高在的有， 身高在的有人， 所以， ， 所以两组样本成绩合并后的平均数为，方差为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，．平面，、分别为棱的中点， （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）若是的中点，连接，根据已知易得，再由线面、面面平行的判定证明平面平面，最后由面面平行的性质证明结论； （2）利用线面、面面垂直的判定证明平面平面，即得在平面上的投影在直线上，进而确定线面角的平面角，即可求其正弦值； （3）应用等体积法求点面距离即可. 【小问1详解】 若是的中点，连接，又、分别为棱的中点， 根据中位线的性质知，， 由平面，平面，则平面，同理平面， 由都在平面内，故平面平面， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 由题设，易知为等腰直角三角形，且，则， 由题设，易知四边形为直角梯形，且，，则， 综上，，则， 由平面，平面，则，同理可证， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面，而平面，且平面平面， 所以在平面上的投影在直线上，故与平面所成角为或其补角， 在中，则，故， 所以与平面所在角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）平面，平面，则，故， 由， 若点到平面的距离为，则，可得. 20. 甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：每轮由其中一人进行投篮，若投中，则投篮者得1分，对方得0分，且下一轮继续投篮；若未投中，则投篮者得0分，对方得1分，且下一轮由对方投篮；当一方领先对方2分时，领先者获胜，比赛结束．已知甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，且每轮投篮相互独立．第一轮甲先进行投篮． （1）求第二轮投篮后乙获胜的概率； （2）求第四轮投篮后甲获胜的概率； （3）求第六轮投篮后甲获胜的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设甲投中为事件，乙投中为事件，第二轮投篮后乙获胜，则第一轮甲未中，第二轮乙投中，结合独立事件的概率计算公式，即可求解； （2）要使得第四轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为，得到或，结合独立事件的概率计算公式，即可求解； （3）要使得第六轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为，得到或或或，结合独立事件的概率计算公式，即可求解； 【小问1详解】 解：设甲投中为事件，乙投中为事件， 要使得第二轮投篮后乙获胜，则第一轮甲未中，第二轮乙投中， 所以第二轮投篮后乙获胜的概率. 小问2详解】 解：要使得第四轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为，则或， 所以第四轮投篮后甲获胜的概率为. 【小问3详解】 解：要使得第六轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为， 则满足或或或， 所以第六轮投篮后甲获胜的概率： 21. 如图1，是边长为4的正方形，点在的延长线，且，连接，将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． （1）当为的中点时．求证：平面平面； （2）若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设及线面垂直的判定和性质得，进而得平面，再由线面、面面垂直的判定证明结论； （2）由题设，令，根据几何关系法、余弦定理、勾股定理及平方关系求到的距离、到平面的距离，进而求二面角正弦值的范围. 【小问1详解】 由是边长为4的正方形，且， 由都在平面内，则平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 由平面，则，又，为的中点，则， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由，且，则， 所以，，， 所以， 故，故到的距离， 又到平面的距离，则二面角的正弦值， 又，则所求二面角的正弦值范围为； 22. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）， （2）①；②当，的面积取最小值 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，由余弦定理及已知条件得到，再由正弦定理将边化角，即可求出； （2）①利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； ②设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又，所以，则，又，所以； 因为，由余弦定理可得, 即，由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 即，即，即， 又，所以，所以，则； 【小问2详解】 ①由（1）可知， 因为，由正弦定理，所以，， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴，∴的周长为. ②设， 在中，， 由正弦定理，得， 又在中，由正弦定理可得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时，的面积取最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $