精品解析：四川省字节精准教育联盟2027届高三上学期入学摸底调查数学试题

2027届高中毕业班摸底调查 数 学 学生注意： 1.问卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张. 2.试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，限时120分钟. 3.答题前，学生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚. 4.学生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 5.调查结束后，只交答题卡. 一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是正确的. 1. 抛物线（）的焦点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后将代入求解即可. 【详解】已知，则， 因此可得：. 故选：B 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以， 又，所以， 设数列的公差为，则， 所以. 4. 依次投掷硬币3次，至少有一次出现正面的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件可求概率. 【详解】依次投掷硬币3次，观察是否出现正面，样本空间共有个样本点， 记“一次正面都没有出现”为事件，则中有1个样本点， 故，故至少有一次出现正面的概率为， 故选：D. 5. 设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率的取值范围求倾斜角的范围. 【详解】设直线的斜率为，则， 故，而，故， 故选：C. 6. 过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知表示以原点为圆心，为半径的半圆，设，进而根据面积公式得，时，的面积取得最大值，此时原点到直线的距离为，设直线的方程为，再根据距离公式求解即可得答案 【详解】曲线即为，表示以原点为圆心，为半径的半圆， 设 所以的面积， 所以，当时，的面积取得最大值，此时原点到直线的距离为， 设直线的方程为， 因为原点到直线的距离为，解得， 所以，整理得，解得（正舍）. 所以的面积取最大值时，直线的斜率等于 故选：B 7. 甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（ ） A. 360种 B. 480种 C. 540种 D. 720种 【答案】C 【解析】 【分析】先将6个人分成3组，每组至少一人，求出总的分法数，再将这3组人，分配到3个活动项目中去，即可得答案. 【详解】将6个人分成3组，每组至少一人： 当三组人数为4，1，1时，有种分法； 当三组人数为3，2，1时，有种分法； 当三组人数为2，2，2时，有种分法； 所以一共有， 将这三组人数分别分配到3个活动项目中去， 所以共有种分配方式. 8. 已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线准线过双曲线左焦点得出与的关系，再利用向量关系得到线段长度关系，结合双曲线的性质求出方程即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意得抛物线的准线方程为， 双曲线的左焦点（其中）， 抛物线的准线经过双曲线的左焦点，故，即， 已知，移项可得，即， 即，则， 又双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离 在中，， 由勾股定理可得， 过作轴于点，则， 由相似三角形的性质可得， 即，所以， 则点的横坐标为，纵坐标的绝对值为， 因为点在抛物线上，且， 所以，即， 整理得，因此，则， 在本题中，，则，， 则双曲线方程为，故D正确. 二、选择题.本大题共3小题，每小题6分，满分18分.在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，有多项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分. 9. 2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：）.如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差 1 0 3 3 下列关于这7天预测误差的描述中，正确的有（ ） A. 这组数据的众数是3 B. 这组数据的60%分位数是0.5 C. 这组数据的方差大于5 D. 若第8天该模型预测误差为，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小 【答案】ACD 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，由众数的定义即可判断A，由百分位数的定义即可判断B，由平均数与方差的定义即可判断C，由预测误差以及平均数的性质即可判断D. 【详解】将数据从小到大排序得：，，，0，1，3，3. 对于A，3出现两次，其余一次，众数为3，故A正确； 对于B，，不是整数，故取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误； 对于C，平均数，方差，故C正确； 对于D，原平均数为0，新数据小于0，加入后平均数变为，确实变小，故D正确. 10. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（　　） A. 直线AB的斜率为 B. C. △AMF的周长为12 D. B，O，M三点共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据抛物线定义得，结合为等边三角形推出直线倾斜角，得斜率判断；对B，先求出点的坐标，得到直线的方程，联立抛物线方程求出点的横坐标，结合抛物线定义得等于点到准线的距离，计算得判断；对C，由抛物线定义得等边的边长等于，计算得，计算周长判断；对D，求出点、的坐标，分别计算直线和的斜率，得斜率相等且共过原点，据此判断. 【详解】对于A：已知为等边三角形，结合轴，，可得 ， 因此直线的倾斜角为或，斜率。选项A仅给出斜率为，不全面，A错误； 对于B：设，由为等边三角形，得，， 因此，结合 ，代入等式， 解得（舍去），直线过，方程为， 联立整理得，由韦达定理得， 已知，故，因此，B正确； 对于C：由推导得 的边长为，因此周长为 ，C正确； 对于D：分两种情况验证共线： 若，则，，所以，，，三点共线； 若，则，，同理可得，三点共线. 因此D正确. 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】探讨函数的性质并作出图象，数形结合求解判断ABC；换元并求出的根，进而确定函数零点个数. 【详解】函数图象对称轴为，在上递减，在上递增， 函数在上递减，在上递增，在上递减，在上递增， ，在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 方程有四个不同的根，即直线与函数的图象有4个交点， 对于A，，A正确； 对于B，由，得或或或，因此，B正确； 对于C，由，得，整理得， 又，则，因此，C错误； 对于D，令，由，得，解得或或或， 当时，无解；当时，有2个解； 当或时，各有3个解，因此函数有8个零点，D正确. 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 设，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】令，得，则． 13. 已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】只需要满足在上恒小于等于在上的最大值，导根据导函数得出，再分离参数得出，令，求导判断单调性即可. 【详解】由已知可知，只需满足对任意的，总存在， 只需要满足在上恒小于等于在上的最大值. ，令，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在单调递减，， ，化简得，即 对任意的恒成立， 令，即，令，解得或， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故的最大值为， . 14. 已知，且，，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设,对及进行分类讨论，结合的范围，并应用导数研究的单调性，由不等式恒成立确定参数范围即可. 【详解】设，则， 当时，，故， 所以在上单调递增，则， 因为，所以，所以， 即， 因为，所以， 当时，， 若，则成立， 若，令， 则，所以在上单调递增， 又， 因为，所以，所以， 即， 因为，所以， 存在，使，可得， 若，则，所以在上单调递减， 若，则，所以在上单调递增， 所以，解得， 此时，所以，从而， 所以的取值范围为. 四、解答题：共5小题，满分77分.解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述. 15. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 【答案】（1） （2）①设事件为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，， 由全概率公式，得 整理得， 故， ， 是以为首项，为公比的等比数列,通项公式为； ②当n为大于1的奇数时，； 当n为大于1的偶数时，； 综上所述，当时，． 【解析】 【分析】（1）先拆分互斥情况，并求出相关概率，利用条件概率公式求出相关概率，再利用全概率公式求解； （2）①利用全概率公式建立递推关系式，通过变形构造等比关系，求出首项及通项公式； ②根据通项公式分奇偶性讨论，从而证明结论． 【小问1详解】 设事件为“第1天选择米饭套餐”，事件为“第2天选择米饭套餐”， 事件为“第1天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得． 【小问2详解】 ①略 ②略 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点. （1）证明：； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1）由已知，得； 又因为底面，底面，故； 因为，，，平面， 所以平面，平面，故. （2） （3）或不存在 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的定义可得； （2）建立空间直角坐标系，通过解三角形得，再分别求两个平面的法向量，并用向量法求两个平面的夹角可得； （3）先设，再由向量法求得线面角，若时，，，此时的值不存在；若时，由同角三角函数关系得，再分和两种情况讨论，并结合函数，的单调性可得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，底面，所以， 又因为，所以，因此两两垂直. 因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图： 则. 在中，，，所以为等边三角形，所以. 又因为，，所以. 在中，，，， 所以，. 因此，因为是中点，故. 设平面的法向量为，，， 则，，令，得， 所以平面的法向量. 设平面的法向量为，，， 则，，令，则， 所以平面的法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设在上，设，且， 得，， 设平面的法向量为，，， 则，， 令，则，所以. 因为，平面的法向量为， 所以， 因为，所以，所以，因此， 若，则，得，，解得. 当时，，此时，所以的值不存在； 当时，，此时，所以， 所以， 得， ①时，， 因为函数在单调递减，且，， 所以，因此得； ②时，， 因为函数在单调递增，且，， 所以，因此得. 综上所述，当时，的值不存在；当时，. 因此的取值范围是或不存在. 17. 为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． （1）若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布列出分布列，计算数学期望即可； （2）先求每轮答题中取得胜利的概率，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数. 【小问1详解】 由题意可知的可能取值有， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以. 【小问2详解】 甲、乙两人在一轮竞赛中总共答对的题数为随机变量 Y ， 由题意可知，每人答 2 题，两人共答 4 题，每道题答对的概率均为,且各题答对与否相互独立， 因此 Y 服从二项分布，则他们在每轮答题中取得胜利的概率为： 设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，， 由，即，解得， 而，则，所以理论上至少要进行轮答题． 18. 已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，． （1）若椭圆的离心率为． ①求椭圆的方程； ②若时，求的面积； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据椭圆焦点在轴得到、，结合离心率，列方程求解，代入得到椭圆方程； ②设直线的方程并联立椭圆方程，由韦达定理计算弦长，根据且得到直线的斜率，同理得，由解出，再代入直角三角形面积公式计算面积； （2）联立直线与椭圆方程，通过韦达定理分别表示出弦长和，结合整理得到关于的表达式，利用椭圆焦点在轴的条件列不等式求解，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 ①已知椭圆焦点在轴上，故，，所以， 又离心率​，所以​，解得， 因此椭圆的方程为. ②因为是的左顶点，所以，设直线， 则由得， 已知是方程的一个根（对应点），由韦达定理得， 因此，因为，且，故， 同理得，由，得，整理得， 即，因，故， 此时，为等腰直角三角形，面积为. 【小问2详解】 已知椭圆焦点在轴上，故，左顶点， 设直线的方程为，，由得直线斜率为， 将代入椭圆方程，整理得， 该方程一个根为，由韦达定理得， 由弦长公式得， 将上式中替换为​，得， 由，即，化简得 ，整理得， 由椭圆条件，代入得，移项整理， 即，等价于，所以或，解得， 故的取值范围是. 19. 设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数． （1）求； （2）求的单调区间； （3）设，函数，求证：． 【答案】（1） （2）单调递增区间是，，单调递减区间是 （3）证明：由， 得，， 令函数，则， 由（1）知，当时，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 因此，当时，，得，即， 令函数，则， 由（1）知，在上单调递增， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 因此，当时，，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算规则求导； （2）利用导数判断函数单调性； （3）分别把、构成两个单变量函数，通过导数分析单调性、极值，结合零点条件确定函数符号，最终得出乘积小于0． 【小问1详解】 由，可得， 进而可得． 【小问2详解】 ，解得或， 当x变化时，，的变化情况如下表： x + － + ↗ ↘ ↗ 所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高中毕业班摸底调查 数 学 学生注意： 1.问卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张. 2.试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，限时120分钟. 3.答题前，学生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚. 4.学生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 5.调查结束后，只交答题卡. 一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是正确的. 1. 抛物线（）的焦点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A. B. C. D. 4. 依次投掷硬币3次，至少有一次出现正面的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A. B. C. D. 6. 过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（    ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（ ） A. 360种 B. 480种 C. 540种 D. 720种 8. 已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题.本大题共3小题，每小题6分，满分18分.在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，有多项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分. 9. 2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：）.如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差 1 0 3 3 下列关于这7天预测误差的描述中，正确的有（ ） A. 这组数据的众数是3 B. 这组数据的60%分位数是0.5 C. 这组数据的方差大于5 D. 若第8天该模型预测误差为，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小 10. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（　　） A. 直线AB的斜率为 B. C. △AMF的周长为12 D. B，O，M三点共线 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 设，则_____． 13. 已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 14. 已知，且，，则的取值范围是_____________. 四、解答题：共5小题，满分77分.解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述. 15. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点. （1）证明：； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 17. 为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． （1）若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 18. 已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，． （1）若椭圆的离心率为． ①求椭圆的方程； ②若时，求的面积； （2）当时，求的取值范围． 19. 设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数． （1）求； （2）求的单调区间； （3）设，函数，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $