精品解析：内蒙古自治区包头市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2024～2025学年度第二学期高二年级期末教学质量检测试卷 数学 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知样本数据为2，4，6，a，8，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 4. 不等式解集是（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（ ）． A. B. C. D. 7. 已知等比数列前n项和为，若且，，成等差数列，则（ ）． A. B. C. D. 8 已知且，则（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 为递增数列 C. D. 的前4项和为 10. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ）． A. 当时， B. 是的极大值点 C. 当且仅当或 D. ，都有 11. 已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（ ）． A. 双曲线的实轴长为4 B. 双曲线的离心率为 C. 四边形的面积为15 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两个不相等的向量，，若，则______． 13. 若函数在处有极小值，则等于______． 14. 在底面半径为及轴截面为正三角形的圆锥中放置内切球，在球的上面放一个与球和圆锥侧面均相切的球，再在和之间放入一个球，则球半径的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数为奇函数． （1）求； （2）设函数，求的值域和图象的对称中心． 16. 已知椭圆长轴长为且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 17. 如图，在四边形中，，，，，，E是的中点．现将沿翻折，使得点A移动至平面外的点P． （1）若点F是靠近P的四等分点，求证：平面； （2）若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值． 18. 已知函数且为的导数． （1）求函数在处的切线方程（请用a表示）； （2）讨论的极值点个数； （3）当时，设的极值点为m，一个零点为，证明：． 19. 为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲，乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响且没有平局． （1）若两人共进行5局比赛且，设两人所赢局数之差的绝对值为X．求X的分布列和数学期望； （2）若两人共进行局比赛且，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件B表示“甲最终获胜”，请写出，，，值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期高二年级期末教学质量检测试卷 数学 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知样本数据为2，4，6，a，8，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（ ）． A 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出删除前后的平均数，然后相等，计算可得. 【详解】删除前平均数为：； 删除后平均数为：； 所以. 故选：C 2. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解. 【详解】由，则. 故选：A. 3. 已知集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集定义计算求解. 【详解】集合，集合， 则． 故选：D. 4. 不等式的解集是（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 分析】化简式子可得，然后直接计算. 【详解】由题可知：或， 不等式的解集为或. 故选：B 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用余弦定理求出角的余弦值，在根据余弦值求出角的大小即可. 【详解】利用余弦定理可得，， ， ，则. 故答案：. 6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义，可得进而求得点的坐标，得点坐标，利用斜率公式得解. 【详解】由题，，则，代入抛物线方程得， ，又， . 故选：C. 7. 已知等比数列的前n项和为，若且，，成等差数列，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本量法可求公比，从而可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，故， 由，所以，又， ，解得或（舍）， . 故选：B. 8. 已知且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角正弦公式计算结合弦化切计算求出，再结合两角和正切公式计算求解. 【详解】因为且，， 则，所以， ，所以， 则． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 为递增数列 C. D. 的前4项和为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质运算得解；对B，求出通项，进而求出数列的通项公式，判断；对C，由等差数列前项和公式求解判断；对D，求出的通项，利用裂项相消法求和. 【详解】对于A，由，则，所以，即，又，所以，故A错误； 对于B，设等差数列的公差为，由A知，则， ，， 所以，故数列为递增数列，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为， 所以的前4项和为，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ）． A. 当时， B. 是的极大值点 C 当且仅当或 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，则，利用函数的奇偶性即可判断A；直接解不等式可判断C；根据导数符号可判断的单调性即可判断B；根据单调性即可求出的值域，即可判断D. 【详解】是定义在R上的奇函数，设，则， 则，所以，故A不正确； 当时，由，得，得， 当时，由，得，得； 所以的解集为，故C正确； 当时，， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以时，取的最小值为，且时，， 所以，即， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，B选项正确； 由B选项分析可知当时，取最大值为，且时，， 当时，由，所以，所以， 当时，的值域为， 因为函数是定义在R上的奇函数， 由对称性可得，，都有，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（ ）． A. 双曲线实轴长为4 B. 双曲线的离心率为 C. 四边形的面积为15 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意作图，利用双曲线性质和给定条件，解出，利用三角形边角关系解出；从而依次对各选项内容进行计算和判断，选项A，B，根据双曲线性质，实轴长为，离心率；选项C:根据面积等于的面积减去的面积计算；选项D：根据三角形边角关系得出，且共线且方向相同，得出. 【详解】 已知H是过作C的一条渐近线的垂线l的垂足，其渐近线方程为：，， 根据点到直线距离公式，，. 过点向做垂线，垂足为Q，因为，所以， 又O为中点且，则. 由，可得，， 在中，，解得， 又 所以：实轴长，故A对；离心率，故B错； 的面积， ， 所以，故C对. 中，，，中点， 为中点，即， 又，， ，又共线且方向相同，，故D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两个不相等的向量，，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量的加减法运算规则得出，根据列方程，解出，代入验证满足题意. 【详解】， ， ,解得或(舍)， 把代入验证，，，满足，符合题意. 所以，. 故答案为：. 13. 若函数在处有极小值，则等于______． 【答案】108 【解析】 【分析】由，求得并检验，求得的解析式，运算得解. 【详解】， 因为在处有极小值，所以， 即，解得或， 若，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值，不合题意， 若，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极小值，合题意， 所以，则. 故答案为：108. 14. 在底面半径为及轴截面为正三角形的圆锥中放置内切球，在球的上面放一个与球和圆锥侧面均相切的球，再在和之间放入一个球，则球半径的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知当球与和相切，且与母线相切时，球半径的最大，求出和的半径，根据截面图构建方程即可求解. 【详解】根据题意，当球与和相切，且与母线相切时，球半径的最大， 轴截面图如下，是边长为的等比三角形， 所以内切球的半径，设球的半径为，球的半径为， ， ， 则，， ，， 则， ， 即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数为奇函数． （1）求； （2）设函数，求的值域和图象的对称中心． 【答案】（1） （2）值域是， 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的性质即可得解； （2）由（1），利用三角恒等变换化简，利用正弦函数有界性和对称性求解. 【小问1详解】 由为奇函数，则，由，得. 【小问2详解】 由（1）得， 则 . ∵，∴， 即，则的值域是. 令，∴， 则图象的对称中心是. 16. 已知椭圆的长轴长为且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出面积的表达式，利用基本不等式求出最大值，进而得出答案. 【小问1详解】 由已知，即． 又由可得，所以， 则椭圆C的方程为． 【小问2详解】 由题直线l与椭圆C有两个交点A和B，设，． 联立，得，即， ∴且，． 由直线l不过原点可得且． 利用弦长公式 ， 且点O到直线l的距离． ∴ ， 当且仅当，即，此时直线． 17. 如图，在四边形中，，，，，，E是的中点．现将沿翻折，使得点A移动至平面外的点P． （1）若点F是靠近P的四等分点，求证：平面； （2）若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形得出线线平行，进而应用线面平行判定定理证明即可； （2）先应用面面垂直性质定理得出平面，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，进而应用二面角公式计算求解余弦值，最后结合同角三角函数关系求值. 【小问1详解】 在线段上取靠近点P的四等分点G，连接与． ∵且E为的中点，∴． 由和得及， 则和． 又∵，所以和， 从而和，所以四边形为平行四边形，则． 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由得． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，， 所以，． 设平面的法向量为，则， 即，令，则，，可取． 又平面，可取平面的一个法向量为， 则． 设平面与平面所成二面角为，则． 所以平面与平面所成二面角的正弦值为． 18. 已知函数且为的导数． （1）求函数在处的切线方程（请用a表示）； （2）讨论的极值点个数； （3）当时，设的极值点为m，一个零点为，证明：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数的几何意义得到所求切线方程的斜率，最后点斜式出答案. （2）构造并求出，用以及对的取值分类讨论，得到不同情况下的单调区间进而得到极值点个数 （3）由（2）得到且，进一步转化为证明，代入化为，构造，利用导数即可证明 【小问1详解】 由题得的定义域为． 且，所以． 则在处的切线方程为． 【小问2详解】 由（1）得，设， 则，， ①当时，，则在上单调递增． 又∵，在上为负，在上为正， 则在上单调递减，在上单调递增， 即是的唯一极小值点． ②当时，由解得． （ⅰ）若时，则． 由解得，由解得， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以且有， 由零点存在定理得使得， 则在和为正，在为负， 即在上有两个极值点． （ⅱ）若时，则，由解得． 此时在上单减，在上单增，所以， 则在上单调递增，即无极值点． （ⅲ）若时，即． 由解得<x<，由解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以且有， 由零点存在定理得使得， 则在和为正，在为负， 即在上有两个极值点． 综上，当，无极值点． 当时，有一个极值点． 当或时，有两个极值点． 【小问3详解】 由（2）可得且， 要证，只需证， 由，只需证， 只需证，即， 只需证． 令．所以． 则在上单调递增，即． 证毕． 19. 为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲，乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响且没有平局． （1）若两人共进行5局比赛且，设两人所赢局数之差的绝对值为X．求X的分布列和数学期望； （2）若两人共进行局比赛且，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件B表示“甲最终获胜”，请写出，，，的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：当时，． 【答案】（1）分布列见解析， （2），，，． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知X的可能取值为1，3，5，分别计算其概率，求出X的分布列和数学期望； （2）根据给定信息直接写出结果； （3）利用全概率公式求出和，再利用作商法结合不等式推理证明. 【小问1详解】 X的可能取值为1，3，5 ； ； ． 所以X的分布列为 X 1 3 5 P ． 【小问2详解】 ，，，． 【小问3详解】 由题意可得 ． 所以． 当时，． ． 因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $