精品解析：2025年陕西省西安市未央区多校中考模拟预测数学试题

数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：因为-+＝0， 所以-的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键． 2. 如图所示的图形绕虚线旋转一周得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是点、线、面、体之间的关系，理解面动成体是解题的关键． 根据题意可得图形绕虚线旋转一周得到上小下大的圆台，即可求解． 【详解】解：根据题意得：图形绕虚线旋转一周得到的立体图形是 ． 故选：B 3. 如图，直线与相交于点是上方一条射线，若，，则的度数用度、分、秒表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求角度，先由对顶角相等得到，再数形结合，表示出，数形结合表示出要求的角度是解决问题的关键． 【详解】解：直线与相交于点是上方一条射线，， ， ， ， 故选：C． 4. 不等式的负整数解有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的整数解，先把解出来，再统计其中负整数的个数，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的负整数解分别为， ∴负整数解的个数为3， 故选：B． 5. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再结合直角三角形的性质可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A 6. 已知正比例函数（k为常数且）的图象经过第一、三象限，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与一次函数图象及性质，由正比例函数经过第一、三象限可得，进而确定一次函数经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数（k为常数且）的图象经过第一、三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C 7. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，由垂径定理得到，且，设的半径为，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案，熟记圆的性质、垂径定理与勾股定理在圆中求线段长的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，隧道最高点，到地面的距离为， 由圆的对称性可知，延长，必过圆心，如图所示： 由垂径定理可知，且， 设的半径为， 在中，，，，，由勾股定理可得， 解得， 故选：B． 8. 已知抛物线（a为常数，），将抛物线向下平移4个单位长度后得到的抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则a的值为（ ） A B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移，抛物线与x轴的交点．将原抛物线向下平移4个单位后得到新抛物线，求出其解析式并确定与x轴的交点，利用交点间距为4建立方程求解a的值． 【详解】解：原抛物线为，向下平移4个单位后得到新抛物线． 令，则，解得， ∴新抛物线与x轴的两个交点坐标为，， ∵抛物线与x轴两个交点间的距离为4， ∴， ∴． 故选：D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知，，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，分解因式得到，再由即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：1． 10. 如图是一个风车模型示意图，绕中心点O旋转一定角度后可以与自身重合，这个角度最小是________°． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，正确认识旋转对称图形的性质，能够根据图形的特点观察得到一个图形可以看作几个全等的部分． 这个图形平分成4部分，则旋转的角度是或90度的整数倍能够与原来的图形重合． 【详解】解：依题意可得旋转的角度是． 所以这个角度最小是． 故答案为：90． 11. 在矩形中，对角线AC与BD相交于点O，若，，则BC的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理的运用等知识点，掌握：矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 根据矩形的性质可得，再根据勾股定理即可得到的长即可． 【详解】解：如图：∵对角线AC与BD相交于点O，若， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 12. 如图，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，点B的坐标为，连接、，若，，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理． 作轴于点G，可得，继而得到，再利用勾股定理计算出，得到点A坐标，继而求出k值即可． 【详解】解：如图，作轴于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，点A是射线上的动点，，点D在边上，且，连接，，当最大时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】作过、且与相切的，切点使最大；过作，由垂径定理得是中点，结合已知算；由切线和垂直关系证四边形是矩形，得；在中用勾股定理算，进而得 ． 【详解】解：作经过点、且与射线相切，切点为．连接、、，、、，与交于点，连接， ∵、、、共圆， ∴， ∵是的外角， ∴ ． ∴，即切点对应的最大 ． ∴当点在点时，最大． 过点作于点， 因为， ∴点是的中点． ∵，， ∴， ∴，． ∵与射线相切于， ∴， ∵，， ∴四边形矩形， ∴，． 在中，，， 根据勾股定理得． ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质、垂径定理、矩形判定与性质及勾股定理，解题关键是利用圆的性质确定最大时的位置（作过、且与相切的圆，切点为使最大的点）． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、负整数指数幂和锐角三角函数值，熟练掌握这些知识是本题的关键．根据法则及运算顺序依次求出即可． 【详解】解：原式 ． 15. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，灵活运用整式的混合运算法则成为解题的关键． 先用完全平方公式和多项式除以单项式计算，然后去括号，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得； 检验：当时，． 原方程的解为． 17. 如图，在中，的平分线交于点D，利用尺规作图法在线段上求作一点E，使得点E到三条边的距离均相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图-作角的平分线、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线的性质成为解题的关键． 直接作的角平分线与交于点E，点E即为所求． 【详解】解：如图：点E即为所求． 18. 如图，在和中，点C在边上，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，先根据证明得到，再根据平行线的判定可得结论． 【详解】证明：，，， ， ， ． 19. 某文具店计划用1000元购进甲、乙两种笔记本共300本，已知甲、乙两种笔记本的进价分别为3元/本、5元/本，求购进甲、乙两种笔记本各多少本？ 【答案】购进甲种笔记本250本，购进乙种笔记本50本 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设购进甲种笔记本x本，则购进乙种笔记本本，再根据“文具店计划用1000元购进甲、乙两种笔记本共300本”列方程求解即可． 【详解】解：设购进甲种笔记本x本，则购进乙种笔记本本， 根据题意，得：， 解得， 则（本）， 答：购进甲种笔记本250本，购进乙种笔记本50本． 20. 中国古代诞生了很多神话故事．小明购买了一本《中国神话故事全集》，商家赠送了四张卡片（除正面图案不同外其余完全相同），正面图案分别是A．精卫填海，B．愚公移山，C．夸父逐日，D．后羿射日．小明准备将其中的两张卡片送给弟弟，小明先将四张卡片背面朝上洗匀，他从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再将剩下的三张卡片洗匀，让弟弟从中随机抽取一张，将两人抽出的卡片送给弟弟． （1）小明抽中的卡片正面的图案是A精卫填海的概率为________； （2）请用列表或画树状图的方法，求送给弟弟的两张卡片中有一张的图案是B愚公移山的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式、用列表法或树状图法求概率，正确画出树状图确定所有等可能的结果数和符合条件的结果数是解题的关键． （1）直接运用概率公式计算即可； （2）先根据题意画出树状图确定所有等可能的结果数和符合条件的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共有4张图片，即有4种等可能结果；抽中的卡片正面的图案是A的情况只有1种，则小明抽中的卡片正面的图案是A．精卫填海的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图如下： 由树状图可知：共有种等可能性，其中送给弟弟的两张卡片中有一张的图案是B愚公移山的情况有6种， 所以送给弟弟的两张卡片中有一张的图案是B愚公移山的概率为． 21. 【问题背景】 陕西信息大厦是古城西安的地标性建筑之一，位于西安市碑林区西安市文化科技体育中心．某校九年级学生张强想用学过的数学知识测量陕西信息大厦的高度． 【解决问题】 张强先在C处利用测角仪测得楼顶A的仰角，然后沿移动96米到达D处（即米），在D处利用测角仪测得楼顶A的仰角．已知，点B、C、D在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你根据以上信息求陕西信息大厦的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，灵活运用解直角三角形进行计算是解题的关键． 根据垂直定义可得，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：， ， ∴和均直角三角形． 设米，则米， ，， ，． ∴，解得：， ∴ ， 陕西信息大厦的高度AB为米． 22. 小凡同学周末在家依据漏刻的原理自己动手制作了一个简单的漏刻计时工具模型，通过实验发现水位高度h（单位：）是关于时间t（单位：）的一次函数，当经过的时间为时，水位的高度是，当经过的时间为时，水位的高度为． （1）求h与t之间的函数关系式； （2）若小凡同学从水位为时开始阅读，到水位为时结束阅读，求小凡阅读的时长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确求解出一次函数的解析式是解决本题的关键． （1）根据一次函数解析式的性质设出解析式，再由题目已知可知，时，；时，代入解析式求解即可． （2）将和代入一次函数解析式求解t的值，即可求解时间． 【小问1详解】 设h与t之间的函数关系式为， 将和代入， 得，解得， h与t之间的函数关系式为． 【小问2详解】 当时，，解得； 当时，，解得， ， 小凡阅读的时长为． 23. “五月五是端阳，插艾叶戴香囊，吃粽子撒白糖，龙船下水喜洋洋．”端午是我国四大传统节日之一，也是集拜神祭祖，祈福辟邪，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某校为了了解学生对端午节来源的知晓情况，举行了端午知识大赛，并从参加知识大赛的学生中随机抽取了部分学生的成绩x（单位：分），绘制成如下不完整的统计表和统计图． 抽取学生大赛成绩频数分布表 成绩x/分 人数/名 组内平均成绩/分 占抽取学生的百分比 2 55 m 65 15 74 18 87 9 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中_______，_______，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取学生知识大赛成绩的平均数； （3）若该校共有1000名学生参加此次知识大赛，对成绩不低于90分的学生奖励2个粽子，请你估计该校奖励给学生的粽子总数． 【答案】（1）6，18，图见解析 （2）分 （3）360个 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，频数分布表和频数分布直方图的综合运用，能对图表信息进行具体分析是解题的关键． （1）根据根据频数分布表求出m、n的值，再补全统计图即可； （2）根据加权平均数定义求解即可； （3）用该校总人数乘以成绩不低于90分的学生的占比即可解答； 【小问1详解】 解：人， ，， 补全频数直方图如下： 【小问2详解】 解：（分）， 所抽取学生知识大赛成绩的平均数是分． 【小问3详解】 解：（个）， 估计该校奖励给学生的粽子总数是360个． 24. 如图，内接于，是的直径，点D是⊙O上一点，连接、，交于点E，延长至点F，使得，连接，且． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求的直径． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查切线的判定定理，等腰三角形的性质，圆周角定理的推论以及解直角三角形，解题关键是涉及圆的题目，多注意圆中角的类型及相互关系，在应用某角的三角函数值时，注意可转化为相等角的三角函数值． （1）根据及圆周角定理的推论，可证，再结合是的直径，等量代换，可证，即可证明； （2）根据，可求和，结合（1）可证，再根据，利用解直角三角形求解． 【小问1详解】 证明：， ． ， ． AB是⊙O的直径， ，则， ， 即， BF是⊙O的切线． 【小问2详解】 解：，， 又由（1）知， ， ，则， ， ， ， 则． ，，， ， ． ， 即⊙O的直径为9． 25. 【问题背景】 小光同学为参加学校举办的乒乓球赛，利用乒乓球发球器（可调节高度）进行训练，在训练之前要先确定好发球器的发球点C的高度．他所在的数学兴趣小组对乒乓球发球器的发球过程进行了记录和分析． 【探究过程】 如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，． 【模型建立】 设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． 【解决问题】 （1）求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 【答案】（1）（或） （2）乒乓球发球器此次发出的球无效，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求得时的y值，可判断是不是越过球网；再求得时的x值，可判断是否落在球台上，进而可判断是否有效． 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）． 【小问2详解】 解：由题意可知点A的横坐标为1.4， 当时，， ， 乒乓球越过了球网． 令，则， 解得，． ， 乒乓球没有落在球台上． 综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，点D在边上，连接，若，，则的值为_______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点D、E分别是、边的中点，连接，平分交于点F．若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一块儿童休闲娱乐区，现要将其向右方进行扩建，扩建区域为，再从点B向边的中点E修建一条儿童健身跑道，为了达到跑步锻炼的效果，要求跑道尽可能的长．已知，，扩建区域需要的费用为200元/，求跑道最长时，扩建区域需要的总费用． 【答案】（1）4；（2）10；（3）跑道最长时，扩建区域所需的总费用为256000元 【解析】 【分析】（1）根据高相等的三角形面积比等于底的比计算即可； （2）先证明是的中位线，，则，，可知，进而根据角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，即可求出的长； （3）取的中点O，连接，则是的中位线，可知，取的中点P，连接，则是的中位线，根据，得出当点B、P、E三点共线时，取得最大值，由三角形面积公式求出，由勾股定理求出，则，即，证明，求出，即可求出扩建区域需要的总费用． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）点D、E分别是、边的中点，， 是的中位线，， 则，， ． 平分， ， ， ， 则， ； （3）取的中点O，连接，则是的中位线． ∴， ∵， ∴， ∵，点O是的中点， ∴， 取的中点P，连接，则是的中位线． ∴，， ∴， ∴， ， 当点B、P、E三点共线时，取得最大值，此时， ， ． ，， ， ，则， ． ， ， ， ． （元）， 跑道最长时，扩建区域所需的总费用为256000元． 【点睛】本题考查了三角形面积公式，中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 2. 如图所示的图形绕虚线旋转一周得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线与相交于点是上方一条射线，若，，则的度数用度、分、秒表示为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的负整数解有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知正比例函数（k为常数且）的图象经过第一、三象限，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线（a为常数，），将抛物线向下平移4个单位长度后得到的抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则a的值为（ ） A B. 2 C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知，，则的值为________． 10. 如图一个风车模型示意图，绕中心点O旋转一定角度后可以与自身重合，这个角度最小是________°． 11. 在矩形中，对角线AC与BD相交于点O，若，，则BC的长为________． 12. 如图，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，点B的坐标为，连接、，若，，则k的值为________． 13. 如图，点A是射线上的动点，，点D在边上，且，连接，，当最大时，的长为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14 计算：． 15. 化简：． 16. 解方程：． 17. 如图，在中，的平分线交于点D，利用尺规作图法在线段上求作一点E，使得点E到三条边的距离均相等．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在和中，点C在边上，，，，求证：． 19. 某文具店计划用1000元购进甲、乙两种笔记本共300本，已知甲、乙两种笔记本的进价分别为3元/本、5元/本，求购进甲、乙两种笔记本各多少本？ 20. 中国古代诞生了很多神话故事．小明购买了一本《中国神话故事全集》，商家赠送了四张卡片（除正面图案不同外其余完全相同），正面图案分别是A．精卫填海，B．愚公移山，C．夸父逐日，D．后羿射日．小明准备将其中的两张卡片送给弟弟，小明先将四张卡片背面朝上洗匀，他从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再将剩下的三张卡片洗匀，让弟弟从中随机抽取一张，将两人抽出的卡片送给弟弟． （1）小明抽中的卡片正面的图案是A精卫填海的概率为________； （2）请用列表或画树状图的方法，求送给弟弟的两张卡片中有一张的图案是B愚公移山的概率． 21. 【问题背景】 陕西信息大厦是古城西安的地标性建筑之一，位于西安市碑林区西安市文化科技体育中心．某校九年级学生张强想用学过的数学知识测量陕西信息大厦的高度． 【解决问题】 张强先在C处利用测角仪测得楼顶A的仰角，然后沿移动96米到达D处（即米），在D处利用测角仪测得楼顶A的仰角．已知，点B、C、D在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你根据以上信息求陕西信息大厦的高度．（结果保留根号） 22. 小凡同学周末在家依据漏刻的原理自己动手制作了一个简单的漏刻计时工具模型，通过实验发现水位高度h（单位：）是关于时间t（单位：）的一次函数，当经过的时间为时，水位的高度是，当经过的时间为时，水位的高度为． （1）求h与t之间的函数关系式； （2）若小凡同学从水位为时开始阅读，到水位为时结束阅读，求小凡阅读时长． 23. “五月五是端阳，插艾叶戴香囊，吃粽子撒白糖，龙船下水喜洋洋．”端午是我国四大传统节日之一，也是集拜神祭祖，祈福辟邪，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某校为了了解学生对端午节来源的知晓情况，举行了端午知识大赛，并从参加知识大赛的学生中随机抽取了部分学生的成绩x（单位：分），绘制成如下不完整的统计表和统计图． 抽取学生大赛成绩频数分布表 成绩x/分 人数/名 组内平均成绩/分 占抽取学生的百分比 2 55 m 65 15 74 18 87 9 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中_______，_______，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取学生知识大赛成绩的平均数； （3）若该校共有1000名学生参加此次知识大赛，对成绩不低于90分的学生奖励2个粽子，请你估计该校奖励给学生的粽子总数． 24. 如图，内接于，是的直径，点D是⊙O上一点，连接、，交于点E，延长至点F，使得，连接，且． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求的直径． 25. 【问题背景】 小光同学为参加学校举办的乒乓球赛，利用乒乓球发球器（可调节高度）进行训练，在训练之前要先确定好发球器的发球点C的高度．他所在的数学兴趣小组对乒乓球发球器的发球过程进行了记录和分析． 【探究过程】 如图是乒乓球发球器某次发球过程部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，． 【模型建立】 设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． 【解决问题】 （1）求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，点D在边上，连接，若，，则的值为_______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点D、E分别是、边的中点，连接，平分交于点F．若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一块儿童休闲娱乐区，现要将其向右方进行扩建，扩建区域为，再从点B向边的中点E修建一条儿童健身跑道，为了达到跑步锻炼的效果，要求跑道尽可能的长．已知，，扩建区域需要的费用为200元/，求跑道最长时，扩建区域需要的总费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$