2.3.1抛物线及其标准方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

授课主题 2.3.1抛物线及其标准方程 知 识 梳 理 一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不过）的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注意：上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一个定点，一定直线，一个定值． 二：抛物线的标准方程 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 注意：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致 ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍。 一般情况归纳： 方程 图象的开口方向 焦点 准线 时开口向右 时开口向左 时开口向上 时开口向下 三：求抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程一般有两种形式： （1）定义法，直接利用定义求解． （2）待定系数法． 若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)． 注意： ①从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ②在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，应先“定位”，再“定量”，即可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 例题讲解 考点一 抛物线的定义 例1、 已知抛物线的焦点为（3，3），准线为x轴，求抛物线的方程． 【解析】设M（x，y）为抛物线上的任意一点，则由抛物线的定义，得， 两边平方，整理得∴所求抛物线的方程为． 例2、 平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程． 【解析】解法一：设P点的坐标为（x，y），则有， 两边平方并化简得y2=2x+2|x|．∴ 即点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）或y=0（x＜0）． 解法二：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1， 由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y=0上的点适合条件； 当x≥0时，原命题等价于点P到点F（1，0）与到直线x=―1的距离相等， 故点P在以F为焦点，x=―1为准线的抛线物上，其轨迹方程为y2=4x． 故所求动点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）或y=1（x＜0）． 例3、已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为(    ) A．5 B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】由题意知，，设，则， 所以，    故当时，，所以.故选：B. 考点二 抛物线的标准方程 例1、若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在抛物线上，所以，得， 所以抛物线方程为，所以抛物线的准线方程为，故选：A 例2、以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，可设抛物线的方程为，由抛物线的定义知，即， 所以抛物线方程为．故选：C． 例3、已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意得 ，因为，所以. 又，解得， 所以抛物线的方程为.故选：D 例4、求过点的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： 【解析】∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左 当抛物线开口方向左时， 设所求的抛物线方程为（）， ∵过点，∴， ∴，∴， 当抛物线开口方向上时， 设所求的抛物线方程为（）， ∵过点，∴， ∴，∴， ∴所求的抛物线的方程为或， 对应的准线方程分别是，． 例5、抛物线的焦点是________，准线方程是__________． 【答案】（0，-2）； ， 【解析】可化为，所以其焦点坐标为（0，-2），准线为． 考点三 抛物线的应用 例1、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是(    ) A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则， 所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于. 所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1， 即其最小值是.        故选：D 例2、已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为3，则(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线为， 则由抛的线的定义可知点到y轴的距离为，所以， 由图可知，当共线，且在线段上时，最短，而， 因为，所以，解得， 故选：B    例3、已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点．点A(－2，4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小． 【答案】 【解析】∵点A(－2，4)在抛物线x2＝8y内部，如上图所示， 设抛物线的准线为l，过P作PQ⊥l于Q，过A作AB⊥l于B. 由抛物线的定义可知|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|. 当且仅当A，P，Q三点共线时，|PF|＋|PA|的值最小， 此时点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝， 故当点P的坐标为)时，|PF|＋|PA|的值最小． 举一反三 1.过点A(3，0)与y轴相切的圆的圆心轨迹为 (　　) A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 【答案】D 2．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为． 因为抛物线过点，记为点，如图，所以，所以、所以抛物线的方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为． 因为抛物线过点，所以，所以， 所以抛物线的方程为．故选：A.    . 3.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝－2x B．y2＝－4x C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x 【答案】　B 4．已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是抛物线：的焦点，所以， 又，由抛物线的定义可知，解得，所以. 5．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为(    )． A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】，故,记抛物线的准线为，则：， 记点到的距离为，点到的距离为， 则. 故选：A.    6．已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为(    ) A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】由焦点到其准线的距离为得； 设在准线上的射影为如图,则， 当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4． 故选：D． 7．已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是(    ) A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故选：B. 8.抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是 (　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 9.若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，为使得|PA|＋|PF|取得最小值，则P点坐标为 (　　) A．(0，0)　　　　　　B．(1，1) C．(2，2) D. 【答案】C 【解析】由抛物线定义，|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP′|，如图所示， 因此，当且仅当点P、A、P′在同一条直线上时，有|PF|＋|PA|＝|PP′|＋|PA|最小， 此时点P的纵坐标等于A点纵坐标，即y＝2， 故此时P点坐标为(2，2)．故选C. 10.在抛物线y2＝2px(p>0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线的焦点坐标为_______. 【解析】由抛物线的定义可知，＋4＝5，所以＝1. 所以该抛物线的焦点坐标为(1，0). 11.到点A(－1，0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是________． 【答案】y2＝8－8x 设动点坐标为(x，y)，由题意得，化简得y2＝8－8x． 12．已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为 ． 【答案】 【解析】因为抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，所以可设抛物线：. 由抛物线的定义可得：，解得：.所以抛物线的方程为：.故答案为：. 13．过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 . 【答案】 【解析】设方程为，则有， 解得，即有.故答案为：. 14.已知点B(4，0)，过y轴上的一点A作直线l⊥y轴，求l与线段AB的中垂线的交点P的轨迹． 【解析】依题意，|PA|＝|PB|，且|PA|为点P到y轴的距离，∴点P到点B的距离与到y轴的距离相等，其轨迹是以点B为焦点，以y轴为准线的抛物线． 15.若点M到定点F（4，0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程． 【答案】 16.判断适合下列条件的动点的轨迹是何种曲线，并求出曲线方程． （1）过点P（0，3）且与直线y+3=0相切的动圆的圆心M的轨迹； （2）到点A（0， －2）的距离比到直线l：y = 4的距离小2的动点P的轨迹． 【解析】（1）依题意，圆心M到点P的距离等于M到直线y＝－3的距离， ∴动圆的圆心M的轨迹是以点P为焦点，以直线y ＝－3为准线的抛物线． 抛物线方程为：x2=12y． （2）依题意，动点P到点A(0，－2)的距离与到直线l：y＝2的距离相等， ∴点P的轨迹是以点A为焦点，以直线y＝2为准线的抛物线． 则抛物线方程为： x2=-8y． 17.若动圆与定圆:相外切，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程． 【答案】 18.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程． 【答案】． 19.求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点(-2，3)； （2）焦点在直线3x-4y-12=0上； （3）准线过点(2，3)； （4）焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离等于5． 【答案】（1）； （2）若焦点为（4，0），则y2=16x；若焦点为（0，-3），则x2=-12y； （3）准线为x=2，则y2= -8x；准线为y=3，则x2= -12y； （4）x2=-8y． 课 后 作 业 1．已知为抛物线上一点，则的焦点坐标为(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 所以，抛物线的方程为，其焦点坐标为. 2．将抛物线绕顶点逆时针方向旋转后，所得抛物线的准线方程是（　 ） A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　 　　D. 【答案】D； 【解析】∵ 抛物线的焦点为，旋转后顶点为，准线为. 3．已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当“与只有一个公共点”时，如图，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线只有一个公共点，但是此时与不相切.所以“与只有一个公共点”是“与相切”的不充分条件； 当“与相切”时，与只有一个公共点，所以“与只有一个公共点”是“与相切”的必要条件. 综上，“与只有一个公共点”是“与相切”的必要不充分条件.故选：B 4．抛物线的焦点坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】A； 【解析】∵x2＝My(M<0)，∴2p＝－M，p＝，焦点坐标为，即. 5．抛物线的焦点为F，点，P为抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【解析】如图，过点P作PH垂直于准线，垂直为H， 根据抛物线的定义，所以当A，P，H三点共线时最小， 此时. 故选：A．    6．设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，    因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点， 所以. 当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.故选：A 7．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接，设准线与轴交点为    抛物线的焦点为，准线： 又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形， 所以， 所以在中，，则，所以抛物线的方程为. 8．抛物线的焦点是F，点A是该抛物线上一点，O是坐标原点，的外接圆的圆心在C上，且该圆周长等于，则p的值是(    ) A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】设的外接圆的圆心为，设外接圆的半径为，则，解得，则， 根据抛物线的定义及圆心B在C上得，即， 又圆心在的垂直平分线上，则，所以，即， 9．设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：，，，所以 可得，由抛物线的定义得 所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是． 10．截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST)，是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜(图1)．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线(图2)的顶点到焦点的距离为(    ) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系， 则设抛物线的方程为， 由题可得抛物线上一点，代入抛物线方程可得，所以， 即抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故顶点到焦点的距离为. 11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　) A. B．1 C．2 D．4 【答案】　C 【解析】本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系． 抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝，由题意知，3＋＝4，p＝2. 12．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为(　　) A．20 B．8 C．22 D．24 【答案】　A 【解析】　设P(x0，12)，则x0＝18， ∴|PF|＝x0＋＝20. 13．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是__________． 【答案】y2＝4x和x2＝－ 【解析】因为点(1，－2)在第四象限，所以满足条件的抛物线的标准方程是y2＝2p1x(p1>0)或x2＝－2p2y(p2>0)．将点(1，－2)分别代入上述两个方程，解得p1＝2，p2＝.因此满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y2＝4x和x2＝－. 14．到点A(－1，0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是__________． 【答案】　y2＝8－8x 【解析】　设动点坐标为(x，y)，由题意得＝|x－3|，化简得y2＝8－8x. 15．已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 延长交准线于点，如图所示． 根据抛物线的定义知，， 所以， 当且仅当点为线段与抛物线的交点时，等号成立．    故答案为：. 16．已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为， 又由曲线，可化为，可得圆心坐标为，半径， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于，如图所示， 根据抛物线的定义，可得， 要使得取得最小值，只需使得点与重合，此时与重合， 即，当且仅当在一条直线上时， 所以的最小值为. 17．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m. 【答案】3.8 【解析】由题意，如图建系： 则，，，， 如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得， 故抛物线方程为，将代入抛物线方程，可得，. 18．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5. （1）求抛物线方程和m值． （2）求抛物线的焦点和准线方程． 【解析】(1)设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点坐标F(－，0)，准线方程x＝. 由抛物线定义知，点M到焦点距离等于5，即点M到准线距离等于5，则3＋＝5，∴p＝4， ∴抛物线方程为y2＝－8x， 又点M(－3，m)在抛物线上，∴m2＝24，∴m＝±，∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±. (2)∵p＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2，0)，准线方程是x＝2. 19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，M)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程与M的值． 【解析】设抛物线的方程为y2=-2px，，所以抛物线的方程为y2=-8x， 20．点M到直线y+5=0的距离比它到点N(0，4)距离大1，求点M的轨迹方程． 【解析】 法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，则 ， 即为所求. 法二：由题知M到直线y=-4的距离等于它到N的距离， 所以M的轨迹是抛物线，焦点为N(0，4)，准线为y=-4， ∴x2=16y. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 2.3.1抛物线及其标准方程 知 识 梳 理 一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不过）的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注意：上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一个定点，一定直线，一个定值． 二：抛物线的标准方程 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 注意：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致 ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍。 一般情况归纳： 方程 图象的开口方向 焦点 准线 时开口向右 时开口向左 时开口向上 时开口向下 三：求抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程一般有两种形式： （1）定义法，直接利用定义求解． （2）待定系数法． 若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)． 注意： ①从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ②在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，应先“定位”，再“定量”，即可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 例题讲解 考点一 抛物线的定义 例1、 已知抛物线的焦点为（3，3），准线为x轴，求抛物线的方程． 例2、 平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程． 例3、已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为(    ) A．5 B． C．2 D．3 考点二 抛物线的标准方程 例1、若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为(    ) A． B． C． D． 例2、以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是(    ) A． B． C． D． 例3、已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为(    ) A． B． C． D． 例4、求过点的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： 例5、抛物线的焦点是________，准线方程是__________． 考点三 抛物线的应用 例1、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是(    ) A． B．2 C． D．3 例2、已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为3，则(   ) A．1 B．2 C．3 D．4    例3、已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点．点A(－2，4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小． 举一反三 1.过点A(3，0)与y轴相切的圆的圆心轨迹为 (　　) A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 2．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是(    ) A．或 B．或 C． D． 3.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝－2x B．y2＝－4x C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x 4．已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为(    ) A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为(    )． A．13 B．12 C．10 D．8 6．已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为(    ) A．8 B．6 C．5 D．4 7．已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是(    ) A．2 B．3 C． D． 8.抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是 (　　) A．1 B．2 C．4 D．8 9.若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，为使得|PA|＋|PF|取得最小值，则P点坐标为 (　　) A．(0，0)　　　　　　B．(1，1) C．(2，2) D. 10.在抛物线y2＝2px(p>0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线的焦点坐标为_______. 11.到点A(－1，0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是________． 12．已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为 ． 13．过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 . 14.已知点B(4，0)，过y轴上的一点A作直线l⊥y轴，求l与线段AB的中垂线的交点P的轨迹． 15.若点M到定点F（4，0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程． 16.判断适合下列条件的动点的轨迹是何种曲线，并求出曲线方程． （1）过点P（0，3）且与直线y+3=0相切的动圆的圆心M的轨迹； （2）到点A（0， －2）的距离比到直线l：y = 4的距离小2的动点P的轨迹． 17.若动圆与定圆:相外切，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程． 18.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程． 19.求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点(-2，3)； （2）焦点在直线3x-4y-12=0上； （3）准线过点(2，3)； （4）焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离等于5． 课 后 作 业 1．已知为抛物线上一点，则的焦点坐标为(    )． A． B． C． D． 2．将抛物线绕顶点逆时针方向旋转后，所得抛物线的准线方程是（　 ） A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　 　　D. 3．已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．抛物线的焦点坐标是(　　) A. B. C. D. 5．抛物线的焦点为F，点，P为抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A． B．3 C．2 D． 6．设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为(    ) A． B． C． D． 8．抛物线的焦点是F，点A是该抛物线上一点，O是坐标原点，的外接圆的圆心在C上，且该圆周长等于，则p的值是(    ) A．6 B．4 C．3 D．2 9．设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为(    ) A． B． C． D． 10．截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST)，是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜(图1)．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线(图2)的顶点到焦点的距离为(    ) A．1 B．2 C．4 D．8 11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　) A. B．1 C．2 D．4 12．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为(　　) A．20 B．8 C．22 D．24 13．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是__________． 14．到点A(－1，0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是__________． 15．已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为 ． 16．已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 ． 17．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m. 18．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5. （1）求抛物线方程和m值． （2）求抛物线的焦点和准线方程． 19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，M)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程与M的值． 20．点M到直线y+5=0的距离比它到点N(0，4)距离大1，求点M的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$