精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

重庆南开中学高2026级高二（下）期末考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 命题人：高二数学备课组审题人：高二数学备课组 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式以及根号的概念，解得集合，利用交集，可得答案. 【详解】由，，等价于，解得，则； 由，则. 所以. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定，可得答案. 【详解】由题意可得命题的否定为“，”. 故选：B. 3. 已知变量，的一组统计数据如下表所示.计算得两个变量线性相关，且关于的线性回归方程为则实数的值为（ ） 1 2 3 4 0 4 7 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，，可知线性回归直线一定过，从而求出. 【详解】由题可知，， 则； 又在线性回归直线上，则， 所以，故. 故选：A. 4. 已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在原函数的基础上，构造一个函数，通过构造函数的奇偶性说明最值之间的关系，进而求出原函数的最值之间的关系. 【详解】设函数，易知定义域为， 由，可知为奇函数， 所以在区间的最大值与最小值互为相反数，即， 即， 可得，解得； 故选：D. 5. 记为事件A的对立事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式，求出，根据事件与事件的关系，进而求出，根据概率加法公式求出； 【详解】由题意得，， 因为，得， 则. 故选：C. 6. 已知函数和均为定义在上的偶函数，且当时，，则当时，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可得，，从而推出，进而得在时的图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由为定义在上的偶函数，所以，即； 又为定义在上的偶函数，所以，即， 所以，即， 所以是以为周期的周期函数，又当时，， 即可作出在时的图象： 由图可知：当，解得，即. 故选：A. 7. 定义在上的函数满足，则方程的解个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】需分和两种情况讨论，分别求出的表达式，再代入方程求解. 【详解】当时，则有，解得， 此时方程为：，解得满足题意； 当时，则有，而，得， 得， 此时方程为， 得， 令，， 则， 函数在上单调递增，而, ，则, 由零点存在性定理知，函数在上存在唯一的零点， 故方程的解个数有2个. 故选：B 8. 已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【详解】 如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，； 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 南开中学为了了解学生假期社会实践时间情况，在全校高一、高二年级所有学生中抽取了容量为的样本，统计发现这部分学生假期一个月内的社会实践时间（单位：）均在内，将其分成、、、、、六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中社会实践时间不低于小时的学生称为“实践之星”.则下列选项正确的是（ ） A. B. 学生社会实践时间的中位数大于平均数 C. 学生社会实践时间的众数为 D. 用分层抽样抽取人采访，则其中“实践之星”有人 【答案】BC 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为，可求出的值，可判断A选项；利用中位数的定义和平均数公式可判断B选项；利用众数的定义可判断C选项；利用分层抽样可判断D选项. 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为， 可得，解得，A错； 对于B选项，设学生社会实践时间的中位数、平均数分别为、， 前三个矩形面积之和为， 前四个矩形面积之和为，所以， 由中位数的定义可得，解得， 由平均数公式额可得， 所以，B对； 对于C选项，学生社会实践时间的众数为，C对； 对于D选项，“实践之星”所占的比例， 所以用分层抽样抽取人采访，则其中“实践之星”的人数为，D错. 故选：BC. 10. 若实数，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接利用基本不等式求得即可判断；对于B，利用基本不等式“1”的妙用进行求解即可；对于C，利用消元法将所求式化成二次函数，利用其性质即可判断；对于D，将所求式化简成，设，利用对勾函数的单调性即可求解判断. 【详解】对于A，由，，可得， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，由， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，由可得，代入可得， 因，解得，故当时，，即，故C正确； 对于D，，设， 由A项可知，因在上单调递减， 故当时，取得最小值为， 即当时，，故D正确. 故选：BCD. 11. 若点，分别在直线的两侧，则称点，被直线分隔.同理，若两曲线，上的所有点均在直线的两侧，则称两曲线，被直线分隔.则下列选项正确的是（ ） A. 点，被直线分隔 B. 任意两个幂函数均不存在分隔直线 C. 函数和的图象存在分隔直线 D. 若函数与的图象存在分隔直线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接验证可知A正确；根据幂函数的特性可知任意不同的幂函数都有公共点，从而否定B；根据对勾函数的定义域和值域分析可得不存在直线使得函数的图像上的所有点都在其一侧，从而否定C；利用函数的导数分析函数的图像以及特殊点处的切线，可以判定D正确. 【详解】对于选项A： 计算点 ：，满足，∴在直线上方， 计算点 ：，满足，∴在直线下方， 故两点分别在直线两侧，被分隔，故选项 A 正确； 对于选项 B：由于幂函数形式：，其图像都经过点， 这一个公共点不可能同时在任何直线的两侧，∴任意两个幂函数均不存在分隔直线， 故选项 B 正确； 对于选项 C：由于函数的定义域为， ∴不存在斜率不存在的直线使得函数图像上的点都在直线的左侧或右侧. 假若图像上的所有点都在某条直线的上方， 则对于定义域内的任意实数恒成立，即， 但是，当时，，故这不可能， 所以函数图像上的所有点不可能都在某条直线的上方； 同理函数图像上的所有点不可能都在某条直线的下方. ∴更不可能存在直线使得函数和的图象被其分隔，故选项 C错误. 对于选项 D：设 ， . 曲线 定义域全体实数， 定义域 . ，. ∵，，∴曲线 在处的切线为， 令，， 当时，，；当时，，， ∴曲线 上的点除了切点在切线上，其余各点都在切线的上方， ∵，， ∴在处的切线：. 令，， ∵，∴为定义在上的单调递增函数， 由，∴在内，单调递减； 在内，单调递增；∴， ∴上的点除了切点在切线上，其余各点都在切线的下方. 若，如图所示，两函数图像必有交点，不存在分割线. 当时，如图所示，∵，直线在直线之间， 在直线上方，在直线下方，∴函数的图像上的所有点都在直线的上方， 函数的图像上的所有点都在直线的下方， 即直线将函数与的图象分隔， 即函数与的图象存在分隔直线，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3.小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，若，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由正态密度曲线的对称性即可求解. 【详解】由题意有， 故答案为：2. 13. 已知，，若函数在单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，以及函数定义域，对参数分类讨论，分别求出单调性的情况，求出参数范围. 【详解】由题意知，化简得，因为且，所以， 且在上，单调递增， 所以当函数在有定义时，即， 当时，函数在定义域上单调递增，在上也单调递增，满足题意， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 在一个盒子中装有6个大小形状均相同的号码球，编号分别为1、2、3、4、5、6.李华每次从中有放回地随机摸一个号码球，记下每一次的号码，记第次取出的号码为，则使方程有解的概率为_________.（用分数表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题需要首先分析出方程，的解的情况，然后根据有放回的排列组合情况进行计数求解. 【详解】由题，不妨将按照从小到大的顺序排列，得到. 则中至多有4个. ①若，得，即，所以； ②若，得，即，解得，不符，舍去； 同理可以证明时，均不符合题意； ③若，得，而，故此时方程不成立，所以不符，舍去. 综上，方程组有唯一解，所以有解得概率. 故答案为：. 【点睛】本题结合多元不定方程有解的问题来求解概率，属于跨章节的综合应用，具有创新性，需要先分析方程解的情况，再根据计数原理计算概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 随机抽取了某中学的200名学生，调查他们是否爱好某项体育运动，得到数据如下： 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 30 120 女 40 40 80 合计 130 70 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析爱好某项体育运动是否与性别有关； （2）采用样本估计总体的方式，以此样本的频率作为相应事件发生的概率，现从全市中学生中随机抽取4名男生，求抽取的4人中爱好该项运动的人数X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 附表如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有关联 （2）分布列： 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的基本思想，计算，即可判断是否有关联； （2）随机变量服从二项分布，根据古典概型概率公式，求出每次抽取的人爱好该运动的概率，根据二项分布性质，求出分布列，计算出期望. 【小问1详解】 设：爱好某项体育运动与性别无关， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为爱好某项体育运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 由题知、从男生中随机选取1人，爱好该项运动的概率为，即， 所以， 即，， ，， ， 其分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 16. 如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得线线垂直，利用线面垂直的判定与性质，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 连接， ∵，均为正三角形，为的中点，∴，， 平面，，∴平面， 平面，∴， ，，平面，∴平面， 平面，∴. 【小问2详解】 ∵平面平面，平面平面， ，，平面，平面， ∴平面，平面， 故以为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，∴， ，且平面，平面，平面， 由平面，则，又，， 平面，∴平面，∴， 设平面的法向量为，则 令得是平面的一个法向量， 显然平面的一个法向量为，∴， 故所求角为. 17. 已知椭圆：离心率为，是椭圆内过焦点且垂直于长轴的一条弦，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，设椭圆的右顶点为D，A、B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，直线与直线、交于不同的两点M、N，则当时，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率、通径以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）设出直线方程，求得点的坐标，根据距离公式，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 不妨设点在第一象限，则， 由已知得，联立可得，，， 所以椭圆：. 【小问2详解】 设，， ：，： ∴， 联立得， 又，∴， 所以. 18. 有名学生参加一种选拔“篮球达人”的投篮游戏，规则要求如下： ①第名学生进行第一次投篮，若投篮没有命中，则淘汰，接着让第名学生投篮； ②若第名学生第一次投篮命中，则继续进行第二次投篮，若第二次投篮失败，则淘汰，接着让第名学生投篮；若第k名学生第二次投篮命中，即确认为成功，评为“篮球达人”，且后面所有学生停止比赛，游戏结束； ③若这n名学生按照要求全部参加完比赛，无论是否有人成功，游戏结束； ④每名学生第一次投篮命中率为，第二次投篮命中率为，每次投篮过程相互独立. （1）当时，求有学生评为“篮球达人”的概率； （2）记随机变量为进行了投篮的学生人数，求的分布列； （3）已知，若一名学生第一次投篮失败，记该学生投篮一次；若一名学生第一次投篮命中，无论第二次投篮是否命中，都记该学生投篮2次.求投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率. 【答案】（1） （2）分布列见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式，求出不同情况下的概率，进而求出有学生评为“篮球达人”的概率； （2）计算出每位同学选拔失败的概率，分析出只有前一位同学选拔失败，后一位同学开始投篮，根据独立事件乘法公式求出分布列； （3）分析总共进行6次投篮之后游戏结束的具体情况，逐一求出事件的概率，进而计算出结果. 【小问1详解】 当时有学生评为“篮球达人”分为三种情况： 第一位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮失败且第二位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮成功但第二次投篮失败且第二位同学通过选拔，三种情况概率为： . 【小问2详解】 依题意，随机变量的取值为.设单名学生评为“篮球达人”的概率为，则，单名学生被淘汰的概率为，则， ，其中，， 的分布列为 1 2 3 … 【小问3详解】 由于投篮的总次数恰为6次，，故最后一名同学必定连续投入两个球，获得“篮球达人”称号.故前4次投篮没有同学两次连续投进，最后一名同学两次均投中.故前4次每个人投篮的结果只有两种：结果一：“第一投没进”，其概率为.结果二：“第一投进，第二投没进”，其概率为. 设结果一有个，结果二有个，则. 解得，或，或，. 当，时，排列方法只有1种，对应的概率为， 当，时，排列方法有，对应的概率为， 当，时，排列方法有1种，对应的概率为. 则投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率为. 19. 已知函数，. （1）若，求函数在上的最小值； （2）已知P，Q为曲线上不同两点，曲线在P，Q处切线分别为，，且，斜率互为相反数，证明：直线的斜率； （3）已知，，构造下列一组数：、、……、、……、，试判定这组数的平均数与6的大小关系并证明你的结论. 【答案】（1）0 （2）证明：，设， 由题意得：， 设，则， ， 所以， 令， 即证：对成立. 即证：，， 令，， 令，则， 在递增，， 在递增，， 所以成立，即：. （3）平均数大于6，证明：由（1）得：对成立，当且仅当时取等号； ， 即； 所以； ； …… ； 令这组数据和为，则， 所以平均数为. 【解析】 【分析】（1）利用函数为偶函数，只需要利用导数判断出函数在上单调性，即可求出最小值； （2）设，根据题意可得，化简可得，然后比值换元，，转化为证明，恒成立，利用导数即可证出； （3）由（1）得：，利用放缩可得，从而，再利用累加求和即可得出这组数的平均数与6的关系. 【小问1详解】 已知，易知函数为偶函数，所以只需求的最小值， 则，令，则， 即在上递增，所以，即在上递增； ∴，在时，. ∴函数的最小值为0. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2026级高二（下）期末考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 命题人：高二数学备课组审题人：高二数学备课组 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知变量，的一组统计数据如下表所示.计算得两个变量线性相关，且关于的线性回归方程为则实数的值为（ ） 1 2 3 4 0 4 7 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 记为事件A的对立事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数和均为定义在上的偶函数，且当时，，则当时，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数满足，则方程的解个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 南开中学为了了解学生假期社会实践时间情况，在全校高一、高二年级所有学生中抽取了容量为的样本，统计发现这部分学生假期一个月内的社会实践时间（单位：）均在内，将其分成、、、、、六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中社会实践时间不低于小时的学生称为“实践之星”.则下列选项正确的是（ ） A. B. 学生社会实践时间的中位数大于平均数 C. 学生社会实践时间的众数为 D. 用分层抽样抽取人采访，则其中“实践之星”有人 10. 若实数，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若点，分别在直线的两侧，则称点，被直线分隔.同理，若两曲线，上的所有点均在直线的两侧，则称两曲线，被直线分隔.则下列选项正确的是（ ） A. 点，被直线分隔 B. 任意两个幂函数均不存在分隔直线 C. 函数和的图象存在分隔直线 D. 若函数与的图象存在分隔直线，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3.小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，若，则_______. 13. 已知，，若函数在单调递增，则实数的取值范围是________. 14. 在一个盒子中装有6个大小形状均相同的号码球，编号分别为1、2、3、4、5、6.李华每次从中有放回地随机摸一个号码球，记下每一次的号码，记第次取出的号码为，则使方程有解的概率为_________.（用分数表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 随机抽取了某中学的200名学生，调查他们是否爱好某项体育运动，得到数据如下： 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 30 120 女 40 40 80 合计 130 70 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析爱好某项体育运动是否与性别有关； （2）采用样本估计总体的方式，以此样本的频率作为相应事件发生的概率，现从全市中学生中随机抽取4名男生，求抽取的4人中爱好该项运动的人数X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 附表如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的大小. 17. 已知椭圆：离心率为，是椭圆内过焦点且垂直于长轴的一条弦，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，设椭圆的右顶点为D，A、B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，直线与直线、交于不同的两点M、N，则当时，求. 18. 有名学生参加一种选拔“篮球达人”的投篮游戏，规则要求如下： ①第名学生进行第一次投篮，若投篮没有命中，则淘汰，接着让第名学生投篮； ②若第名学生第一次投篮命中，则继续进行第二次投篮，若第二次投篮失败，则淘汰，接着让第名学生投篮；若第k名学生第二次投篮命中，即确认为成功，评为“篮球达人”，且后面所有学生停止比赛，游戏结束； ③若这n名学生按照要求全部参加完比赛，无论是否有人成功，游戏结束； ④每名学生第一次投篮命中率为，第二次投篮命中率为，每次投篮过程相互独立. （1）当时，求有学生评为“篮球达人”的概率； （2）记随机变量为进行了投篮的学生人数，求的分布列； （3）已知，若一名学生第一次投篮失败，记该学生投篮一次；若一名学生第一次投篮命中，无论第二次投篮是否命中，都记该学生投篮2次.求投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率. 19. 已知函数，. （1）若，求函数在上的最小值； （2）已知P，Q为曲线上不同两点，曲线在P，Q处切线分别为，，且，斜率互为相反数，证明：直线的斜率； （3）已知，，构造下列一组数：、、……、、……、，试判定这组数的平均数与6的大小关系并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $