精品解析：河南省信阳市固始县永和高中联考2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

固始县永和高中联考2023-2024学年下期期末考试 高二数学 注意事项: 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 若（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ） A. B. C. 6 D. 5 4. 已知随机变量的概率分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则（ ） A B. C. D. 6. 已知是椭圆的两个焦点，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列前项和为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若随机变量且，则下列选项正确的是（ ） A B. C. 的最小值为18 D. 10. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（ ） A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法 B. 若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法 C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法 D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 有最大值 B. C 若时，恒成立，则 D. 设为两个不相等的正数，且，则 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 函数的定义域是_____. 13. 已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 _____． 14. 已知，，三点，则到直线的距离为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，． （1）证明：； （2）点F在线段PD上，试确定点F的位置使BF与平面PAB所成的角的正弦值为． 16. 已知函数． （1）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （2）若有两个极值点，其中，求的最小值． 17. 某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度 性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10 （1）用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率； （2）用分层抽样方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望． 18. 数列：，，，满足：．记的前项和为，并规定．定义集合． （1）对数列：，0.7，，0.9，0.1，求，，，，以及集合； （2）若集合，设，证明：； （3）给定正整数对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值． 19. 如图，已知点列在曲线上，点列在x轴上，，，为等腰直角三角形． （1）求，，；（直接写出结果） （2）求数列的通项公式； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 固始县永和高中联考2023-2024学年下期期末考试 高二数学 注意事项: 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 若（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可求出其共轭复数，再由复数的减法计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的并集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 3. 已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】化简，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量， 又因为，且， 可得，则，解得， 所以. 故选：C. 4. 已知随机变量的概率分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出，再利用期望的定义及性质求解即得. 【详解】由，得， 由，得， 于是， 所以. 故选：C 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数单调性分析可得，进而利用偶函数的对称性以及函数单调性分析判断. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数， 则，， 由在定义域内单调递减，则； 由在定义域内单调递增，则； 由在内单调递增，则； 故， 又因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以. 故选：D. 6. 已知是椭圆的两个焦点，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出椭圆方程，根据给定条件，列出方程组求出椭圆长半轴长即可得解. 【详解】依题意，设椭圆方程为，则， 直线，由，解得，则，于是， 所以椭圆的离心率为. 故选：A 7. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意转化为导函数有解，参变分离有解，设，则实数，求导计算可得解； 【详解】函数的定义域为, 求导得，函数存在单调递减区间， 所以有解，即有解， 设，则实数， 则，令，得， 当时，在上递增； 当时，在上递减； 所以函数有最大值， 因此. 故选：D. 8. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由基本量法求出公差d和首项，再由等差数列前项和公式可得结论．法二：利用等差数列的性质即可整体代入求和. 【详解】法一： 设等差数列的公差为d， 因为，，所以， 解得，所以. 法二： 因为在等差数列中，， 所以. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若随机变量且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为18 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性判断AB；由对称性求出，再求出最小值判断C；利用期望的性质计算判断D. 【详解】随机变量， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由，得，即， 则，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 10. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（ ） A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法 B. 若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法 C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法 D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用捆绑法，插空法等求得每个选项的排列数可判断其正确性. 【详解】若节目与节目相邻，共有种不同的安排方法，故正确； 若节目与节目不相邻，共有种不同的安排方法，故B正确； 因为节目在节目之前表演与节目在节目之前表演的情况是一样的， 所以共有种不同的安排方法，故C正确； 添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况， 共有种不同安排方法，故D错误. 故选：. 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 有最大值 B. C. 若时，恒成立，则 D. 设为两个不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明. 【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值，故A正确； 对于选项B：因为， 则， 所以，故B错误； 对于选项C：构建，则， 因为，且当时，恒成立， 则，解得， 若，则当时恒成立， 则在上单调递减，则，符合题意 综上所述：符合题意，故C正确； 对于选项D：因为， 整理得，即， 由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减， 当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得， 不妨设， 构建， 因为在上恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以，即， 可得， 注意到在上单调递减，且， 所以，即，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 函数的定义域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得, 即 解得， 故函数的定义域为. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 13. 已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得＝，解之即可. 【详解】由题意焦点在x轴上的椭圆离心率为， 可得＝，解得m＝8． 故答案为：8． 14. 已知，，三点，则到直线的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 得到， 所以到直线的距离为， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，． （1）证明：； （2）点F在线段PD上，试确定点F的位置使BF与平面PAB所成的角的正弦值为． 【答案】（1）证明见解析 （2）点F在PD的中点处 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理即可证明； （2）由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，分别以DA，DB，DP为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，设点F的坐标是，求出直线BF的方向向量和平面的法向量，再由线面角公式代入即可得出答案. 【小问1详解】 证明：∵PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，∴ 取AB中点E，连接DE，∵， ∴，又∵，∴． ∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边，∴， 又，PD面PAD， AD面PAD， ∴BD⊥面PAD，又PA面PAD，∴ 【小问2详解】 由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，分别以DA，DB，DP为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,,0)，P(0,0,)， 设平面PAB的一个法向量为， 则，则可取． 设点F的坐标是，则BF的坐标是(0,－,t)， 设BF与平面PAB所成的角为， 则 解得或 点F在线段PD上，则，即点F在PD的中点处满足题意. 16. 已知函数． （1）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （2）若有两个极值点，其中，求的最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，通分后，结合根的判别式进行分类讨论，得到函数的极值点个数； （2）由（1）得，从而得到，令，，求导，得到其单调性，求出最小值. 【小问1详解】 定义域， ， 令，则， 当，即时，恒成立， 故，所以在上单调递增，无极值点， 当，即或时，设的两根分别为， 则， 若，此时，故，， 在上单调递增，无极值点， 若，此时，且， ， 故令得或， 令得， 故在上单调递增， 在上单调递减， 故为极大值点，为极小值点，共两个极值点， 综上，当时，极值点个数为0，当时，有两个极值点； 【小问2详解】 由（1）知，，，， 故， ， 令，， 则， 故在上单调递减， 故当时，取得最小值，最小值为. 【点睛】方法点睛：极值点个数的判断问题，一般转化为方程根的个数，求导后若可以化为二次函数，可以利用根的判别式及韦达定理求解，若不是二次函数，则研究函数的单调性，借助函数图象研究，在完成此类题目时，往往会将多元问题转化为一元问题进行解决. 17. 某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度 性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10 （1）用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率； （2）用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望． 【答案】（1）. （2）分布列见解析；期望为. 【解析】 【分析】（1）根据已知，计算该校学生对食堂饭菜质量满意的频率即可. （2）根据已知，利用超几何分布计算公式、期望的计算公式求解. 【小问1详解】 设“对食堂饭菜质量满意”为事件A． 在200人中对饭菜质量满意的有130人， . 【小问2详解】 分层抽取比例 男生抽取人，女生抽取人 抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2 - - - X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望. 18. 数列：，，，满足：．记的前项和为，并规定．定义集合． （1）对数列：，0.7，，0.9，0.1，求，，，，以及集合； （2）若集合，设，证明：； （3）给定正整数对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值． 【答案】（1），，，，， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给定义，即可求出结果； （2）根据所给的条件，由集合的定义知，再结合，可推出； （3）利用（2）的结论，进一步求出关系，即集合的最小值. 【小问1详解】 因为，，，，，，所以． 【小问2详解】 由集合的定义知，且是使得成立的最小的，所以． 又因为，而 所以. 【小问3详解】 因，所以非空． 设集合，不妨设，则， 设，则． 由（2）可知， 所以 ，，因为，所以，即的元素个数． 取常数数列：，并令， 则，适合题意，此时，其元素个数恰为． 综上，元素个数的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用（2）的结论，从而得到的元素个数．然后在取常数数列：，证明可以取到. 19. 如图，已知点列在曲线上，点列在x轴上，，，为等腰直角三角形． （1）求，，；（直接写出结果） （2）求数列的通项公式； （3）设，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直线的方程为，与抛物线方程联立可得，可求得，，同理可得； （2）由题意可得，进而可得，可求数列的通项公式； （3）由（2）可得，进而可证结论成立. 【小问1详解】 由为等腰直角三角形，所以直线的直线斜率为1， 故直线的方程为，与抛物线方程联立可得，可解得或， 从而可得，可得的横坐标为1，因为，解得， 由，所以，可得， 可得，解得； 【小问2详解】 由题意可得，所以， 所以，所以， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 【小问3详解】 由（1）可得， 所以， 所以， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：解本题的第（3）问的关键在于利用放缩法推导出，再利用数列求和结合不等式进行推导，从而证得结论成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$