精品解析：辽宁省县域重点高中2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

绝密启用前 2024－2025学年度辽宁省县城重点高中高二下学期期末考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 在等比数列中，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3. 为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（ ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A. 4 B. 2 C. 1 D. 4. 已知函数则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. （1，4） C. D. 7. 志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是（ ） A. 的公差为 B. C. 数列为递增数列 D. 当且仅当时，取得最大值 10. 为了解某种药物的疗效，患者服用该药物，短时间内血液中药物浓度达到峰值，研究员统计了血液中药物浓度（单位：）与代谢时间（单位：）的数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 150 143 132 123 114 104 95 根据表中数据可得回归方程为，则下列说法正确的是（ ） 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数． A. B. 当时，对应样本点的残差为0.32 C. 若再增加一组数据，则关于的回归直线的斜率变大 D. 若删去数据，则与的相关系数不变 11. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则的取值范围为_____． 13. 设，分别是函数，的零点，则的最大值为_____． 14. 甲、乙玩报数游戏，约定规则如下：甲、乙轮换报数，若一人报出的正整数为奇数，则另一人报出的数为；若一人报出的正整数为偶数，则另一人报出的数为；当一人报出的数为1时，游戏结束．已知由甲先报数，且报出的正整数为．若，则游戏结束时，甲报出数字的次数为_____；若游戏结束时，甲、乙共报数次，则正整数所有可能的取值之和为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的极值． 16. 已知函数的图象关于直线对称． （1）求的值； （2）若关于的方程有解，求的取值范围． 17. 某校组织了“AI人工智能”知识竞赛（满分100分），经统计参赛同学的成绩（单位：分）近似服从正态分布，已知． （1）从参赛同学中随机抽取3人，设表示这3人中成绩在内的人数，求的分布列和方差； （2）该校为调动学生参赛的积极性，设置两种抽奖方案： 方案一：参赛同学只能抽奖1次，抽奖获得价值150元、100元、10元的学习用品的概率分别为，，； 方案二：参赛同学的成绩低于只能抽奖1次，不低于的抽奖2次，每次抽奖获得价值100元、40元的学习用品的概率分别为，． 请分析参赛同学采用哪种方案获得学习用品价值金额的期望较大? 18. 已知数列满足，且． （1）求，，； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和． 19. 对于给定函数，，，分别是，的导函数，当，时，根据洛必达法则知．已知函数，． （1）当时，求的值； （2）设函数，若不等式在上恒成立． （i）求的取值范围； （ii）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密启用前 2024－2025学年度辽宁省县城重点高中高二下学期期末考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定直接可得解. 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题，的否定是，， 故选：B． 2. 在等比数列中，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列性质得到，结合题目条件求出答案. 【详解】由等比数列的性质可知，又，所以． 故选：D． 3. 为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（ ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合，只需，即可求得答案. 【详解】要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则，所以， 所以． 故选：D 4. 已知函数则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，分情况讨论函数定义，分别求解和时的方程，再根据解的个数判断是否是成立的充分、必要条件. 【详解】当时，由，得，解得或（舍去）； 当时，由，得，解得（不满足，舍去）. 所以由，得．当时，有． 综上，是的充要条件． 故选：C. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式化简可得最值. 【详解】由，得， 所以 ， 当且仅当，即，时取得等号． 故选：B. 6. 已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. （1，4） C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数单调性及复合函数单调性性质分类讨论计算求解. 【详解】当时，指数函数在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，不符合题意； 当时，指数函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，结合题意可知，则， 所以的取值范围为． 故选：A. 7. 志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式及条件概率公式直接求解. 【详解】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可比较大小. 【详解】设，则， 在上单调递增，则， ，即，； 设，则， 在上单调递增，则，即， ， 又，． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是（ ） A. 的公差为 B. C. 数列为递增数列 D. 当且仅当时，取得最大值 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，设出公差，根据得到方程，求出公差；B选项，利用等差数列通项公式进行求解；C选项，计算出，得到单调性；D选项，在C基础上，由二次函数的性质可知，D错误. 【详解】A选项，设等差数列的公差为，由，得， 即，解得，A正确； B选项，，B正确； C选项，由上可知，所以， 根据一次函数的性质可知，数列为递减数列，C错误； D选项，由二次函数的性质可知，其对称轴方程为， 又，所以当或时，取得最大值，D错误． 故选：AB 10. 为了解某种药物的疗效，患者服用该药物，短时间内血液中药物浓度达到峰值，研究员统计了血液中药物浓度（单位：）与代谢时间（单位：）的数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 150 143 132 123 114 104 95 根据表中数据可得回归方程为，则下列说法正确的是（ ） 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数． A. B. 当时，对应样本点的残差为0.32 C. 若再增加一组数据，则关于的回归直线的斜率变大 D. 若删去数据，则与的相关系数不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出的平均值，即可求出，判断A；根据残差的计算判断B；根据最小二乘估计公式以及相关系数公式可判断CD. 【详解】由题意知， ， 所以，A项正确； 由上可知，当时，， 则残差为，B项正确； 再增加一组数据后，，，所以的值不变， 的值也不变，故关于的回归直线的斜率不变，C项错误； 删去数据后，，，所以的值不变， 的值也不变，因此与的相关系数不变，D项正确． 故选:ABD 11. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对称性直接可得函数的对称轴，再根据定义法可判断函数的单调性，利用赋值法可判断函数的奇偶性，进而根据函数的性质分别判断各选项. 【详解】由，可知曲线关于直线对称，所以为偶函数， 由已知当时，， 令，可得，则， 令，可得，即函数为奇函数，即函数关于中心对称， A选项错误，B选项正确； 设，则，即， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 又的图象是一条连续不断的曲线，且， 所以在上单调递增，C选项正确； 由，，得， 则，所以， 所以是以为一个周期的周期函数， 所以，， 易知在上单调递减，且， 所以，D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合间的关系列不等式，可得解. 【详解】由已知，，且， 得，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 13. 设，分别是函数，的零点，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数与对数运算法则可得，，构造函数，根据导数可得最值. 【详解】由题意可知，， 所以，，则． 设， 则，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 故的最大值为， 故答案为：. 14. 甲、乙玩报数游戏，约定规则如下：甲、乙轮换报数，若一人报出的正整数为奇数，则另一人报出的数为；若一人报出的正整数为偶数，则另一人报出的数为；当一人报出的数为1时，游戏结束．已知由甲先报数，且报出的正整数为．若，则游戏结束时，甲报出数字的次数为_____；若游戏结束时，甲、乙共报数次，则正整数所有可能的取值之和为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据报数规则依次列举可得当时，甲报数的次数；根据数列的递推公式，可推出的值，即可得解. 【详解】设甲、乙报出的数构成数列， 则甲报出的数为该数列的奇数项，乙报出的数为该数列的偶数项， 当时，，，，，，，，， 所以甲报出数字的次数为； 由上可知， 因为游戏结束时，甲、乙共报数次，所以，从而，， 可知（舍）或， 所以， 若为奇数，由，得； 若为偶数，由，得． 当时，因为不是的整数倍，则为偶数， 所以， 则或， 又或均不是的整数倍，则为偶数， 进而得出或； 当时，因为不是的整数倍，则为偶数， 所以，则或， 又或均不是的整数倍，则为偶数， 进而得出或， 综上，正整数所有可能的取值为，和为， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）求导，根据导数可判断函数单调性，进而可得极值. 【小问1详解】 由已知， 则， 则，且， 所以切线方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）知， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值. 16. 已知函数的图象关于直线对称． （1）求的值； （2）若关于的方程有解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数图像关于直线对称的性质求解的值； （2）先求出的值域，再根据方程有解确定的取值范围. 【小问1详解】 解：（1）由题意可知，则， 化简得，， ，则，解得． 当时，，显然满足， 即函数的图象关于直线对称， 故． 【小问2详解】 （2）由（1）可知， 又，当且仅当，即时取得等号， 根据对数函数的单调性可知， 关于的方程有解，， 即，解得或， 故的取值范围为. 17. 某校组织了“AI人工智能”知识竞赛（满分100分），经统计参赛同学的成绩（单位：分）近似服从正态分布，已知． （1）从参赛同学中随机抽取3人，设表示这3人中成绩在内的人数，求的分布列和方差； （2）该校为调动学生参赛的积极性，设置两种抽奖方案： 方案一：参赛同学只能抽奖1次，抽奖获得价值150元、100元、10元的学习用品的概率分别为，，； 方案二：参赛同学的成绩低于只能抽奖1次，不低于的抽奖2次，每次抽奖获得价值100元、40元的学习用品的概率分别为，． 请分析参赛同学采用哪种方案获得学习用品价值金额的期望较大? 【答案】（1）分布列见解析，方差为 （2）若成绩低于，采用方案一获得学习用品价值金额的期望较大；若成绩不低于，采用方案二获得学习用品价值金额的期望较大 【解析】 【分析】（1）根据二项分布写出概率及分布列再应用方差公式计算求解； （2）分别计算方案一和方案二时的学习用品价值金额的期望，再比较分析即可. 【小问1详解】 由， 可知， 由题意可知的取值范围是，且， 则， ， ， ， 所以的分布列为 ξ 0 1 2 3 则． 【小问2详解】 若采用方案一，获得学习用品价值金额的期望为元． 若采用方案二，当成绩低于时，获得学习用品价值金额的期望为元； 当成绩不低于时，设获得学习用品价值金额为，则的取值范围为， ，， 所以获得学习用品价值金额的期望为元． 综上，若成绩低于，采用方案一获得学习用品价值金额的期望较大；若成绩不低于，采用方案二获得学习用品价值金额的期望较大 18. 已知数列满足，且． （1）求，，； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别将，，代入中计算即可得解； （2）将整理等式得到，进而根据等比数列的通项公式即可得到答案； （3）结合（2）得到的通项公式，再运用错位相减，分为奇数，为偶数两种情况计算即可得到答案． 【小问1详解】 由，则， 又， 得， ， ． 【小问2详解】 由， 得， 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 故． 【小问3详解】 由（2）得， 所以． 设，① 则，② 由①－②得 则； 当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 故 19. 对于给定函数，，，分别是，的导函数，当，时，根据洛必达法则知．已知函数，． （1）当时，求的值； （2）设函数，若不等式在上恒成立． （i）求的取值范围； （ii）证明：，． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：当时，， 设，则， 设，则，所以在上单调递增， 则，即，所以，即， 当且仅当时取得等号． 令，，则，，， 将上面个式子相加得 故，. 【解析】 【分析】（1）解法一：根据洛必达法则先化简分式，然后求导可得结果；解法二：根据洛必达法则对分子分母求导可得结果. （2）（i）先化简不等式，构造新函数，对新函数求导，判断单调性，根据洛必达法则获取新函数的最值，即可求得的取值范围；（ii）对函数求导，将其导数构造新函数，对此函数求导判断单调性，可证得，然后对不等式相加求和化简即可证明结论. 【小问1详解】 解法一：根据洛必达法则可知 解法二：根据洛必达法则可知 【小问2详解】 （i）由题意可知不等式0在上恒成立， 当时，不等式可化为恒成立． 令，则， 令，则， 设，则， 设，则． 因为，所以，则在上单调递减，所以，即， 所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以． 根据洛必达法则可知 所以， 故的取值范围为． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $