函数定义域及解析式 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数 1 函数的定义域及解析式 【知识梳理】 一、函数的概念 1．函数的定义： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 函数的几点说明: （1）f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,不能理解为“y等于f与x的乘积”. y=f(x)不一定是解析式，也可为数表或图象. (2)自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=22+3×2+1=11. (3) A、B是非空的数集;集合A 中的数满足任意性, 集合B中的数满足唯一性; 集合A 中的数不可剩余，集合B中的数可剩余;可以多对一,不能一对多. (4) 集合A是定义域,值域是集合B的子集. 案例1：判断下列对应是否为函数： 三、函数的三要素 1. 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 初中学过的三个已知的函数：y=ax+b (a≠0), y= (k≠0), y=ax2+bx+c(a≠0),它们的定义域、值域、对应关系分别是什么？ 函数 一次函数 反比例函数 二次函数 对应关系 定义域 值域 函数的三要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系所决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）. 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数 值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致. 2.常见函数的定义域 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； （3）0次幂的底数不为0； (4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (5)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 案例2：写出下列函数的定义域 （1） （2） （3） （4） 3. 复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。其中f是外函数，g是内函数，内函数的值域是外函数的定义域。 案例3： （1）已知f(x)=2x+3, g(x)=+1, 求f[g(x)]，g[f(x)], f[f(x)], g[g(x)] 三、函数的表示法 1、函数的表示法. 常用的有解析法、列表法和图象法三种. （1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）： 如等。 优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. （2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。 优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。 （3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）： 如： 优点：直观形象地表示自变量的变化。 2. 求函数的解析式 （1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、联立方程组法等。如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)。 【题型精讲】 题型一、函数的判断 例1．下列图形是函数图像的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义，对四个选项一一判断. 【详解】按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值. 对于A：当x=0时，，不符合函数的定义.故A错误； 对于B：当x=0时，，不符合函数的定义.故B错误； 对于C：每一个x都对应唯一一个y值，符合函数的定义.故C正确； 对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误； 故选:C 例2．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】函数相同当且仅当定义域以及对应法则都相同，由此逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，没有意义，有意义，这表明两个函数的定义域不同，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为全体实数，故B错误； 对于C，，的定义域为，且，，定义域，对应法则都一样，故C正确； 对于D，，，所以它们的对应法则不一样，故D错误. 故选：C. 题型二、求函数的定义域 1. 具体函数的定义域 例3．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域 【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】对于，有，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 例4．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是（   ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可. 【详解】由，解得 故定义域为且. 故选：C． 2. 抽象函数/复合函数的定义域 例5. （1）已知 f(x)的定义域是[4，9]，求f()的定义域. （2）已知f()的定义域是[2，3]，求f(x)的定义域. （3） 已知f()的定义域是[2，3]，求的定义域. 例6．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A 【总结两句话】 第一句：定义域指的是求___ 的范围 第二句：同一个对应下，括号里面的________范围是一样的 题型三、求函数的解析式 例7. （24-25高一上·全国·周测）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）利用换元法进行求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）已知，， 令，，则，代入上式得， 即. （2）设， 由，得， 由， 得， 整理得， 所以，所以， 所以. 例8．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、基本不等式求和的最小值 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 例9．（25-26高一·全国·假期作业）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法，令，推得，求得，再将改为，即得函数的解析式. 【详解】令，则，因为，则， 故， 所以． 故选：B． 例10．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）设，利用待定系数法确定函数解析式； （2）将原式中的x与互换，建立方程组，求解即可. 【详解】（1）由题意，设 因为， 所以， 即， 由恒等式性质，得， 解得， 则所求函数解析式为. （2）因为，将原式中的x与互换，得， 于是得关于的方程组：， 解得. 例11. 已知满足，求 【课堂练习】 一、单选题 1．如下图可作为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数关系的判断 【解析】根据函数的概念，进行判定，即可求解. 【详解】根据函数的概念，可知对任意的值，有唯一的值相对应， 结合选项，可得只有选项D可作为函数的图象. 故选：D. 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域 【分析】分别根据这两个部分对的限制条件列出不等式组，求解不等式组即可得到函数的定义域. 【详解】函数，定义域满足不等式组. 解不等式，可得. 解不等式，可得. 所以不等式组的解为且. 用区间表示函数的定义域为. 函数的定义域是. 故选：D 3．（23-24高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由函数解析式可知要保证根式和分式有意义，列出不等式组求解即可得出答案. 【详解】由题意得，解得且 所以函数的定义域为. 故选：A. 4．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案. 【详解】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法， 在函数中，，解得且. 则定义域为. 故选：C. 5．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】求出函数的定义域，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，可得， 故函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为. 故选：D. 6．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，由，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 7．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】结合复合函数的定义域，建立使各个式子有意义的不等式求解可得. 【详解】由有意义，可得，解得. 要使函数有意义， 则，解得. 对函数，定义域为自变量的取值范围， 其中集合为非空数集， 所以函数的定义域为. 故A错误，D正确. 故选：D. 8．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 9．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【详解】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【分析】因为，且， 所以． 故选：D. 10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法，令即可求解. 【详解】令，则，，∴， ∴. 故选：B. 二、多选题 11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数. 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域的求法即可求解. 【详解】依题意函数的定义域为， 则要使函数有意义有， 解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【详解】由函数的定义域为得，解得． 14．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数的定义域求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，所以， 对于函数，有， 即函数的定义域为. 故答案为： 15．已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】根据给定条件，用换建立方程组求解. 【详解】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 16．已知，求的解析式 . 【答案】，. 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】因为， 所以， 消去解得， 故答案为：，. 四、解答题 17．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数是一次函数，且满足. (1)求的解析式； 【答案】(1); 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）依题设出函数解析式，根据条件代入化简，得到方程组，解之即得. 【详解】（1）因为函数是一次函数，所以可设， 因为，所以， 即， 所以，解得， 所以的解析式为. 18．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【答案】（1）或；（2）；（3） 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式、已知函数类型求解析式 【分析】（1）设，可用待定系数法求解析式； （2）令，用换元法求解析式； （3）将换成，得，用解方程组法求解析式. 【详解】（1）设， 则. ，解得，或， 或. （2）令，则， ， 即. （3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立， 得，解得. 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由被开方数大于等于零和分母不为零求解即可； 【详解】由题知，解得， 所以定义域为. 故选：A. 2．（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据分式、根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：且，的定义域为. 故选：D. 3．（23-24高三上·广东·期中）函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域 【分析】根据分式、根式以及零次方的性质列式求解. 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：D. 4．（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 5．（22-23高二下·辽宁·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可； 【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得. 故选：D 6．已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（    ） A．[0，5] B．[-1，4] C．[-3，2] D．[-2，3] 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]得-2≤x≤3，即得y=f(x)的定义域 【详解】∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]， ∴-2≤x≤3， ∴-1≤x+1≤4， ∴函数y=f(x)的定义域是[-1，4]. 故选：B 7．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【详解】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 8．（24-25高一·全国·假期作业）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用整体法求函数的解析式. 【详解】依题意，，而， 所以． 故选：D. 9．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法令，则，将函数化成关于的函数，再将自变量改为即得. 【详解】令，则，且， 代入原式得， 故的解析式为. 故选：C. 二、多选题 10．（22-23高一上·广东深圳·期末）下列是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】图象法表示函数、函数关系的判断 【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解.. 【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应， 因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象. 故选：ABD. 11．（23-24高一上·安徽合肥·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】分别判断函数定义域和对应关系即可判断. 【详解】由题意知函数的定义域为，值域为， 的定义域为，与函数的定义域不同，不是同一函数，故A错误； 定义域为，定义域与对应关系和相同，为同一函数，故B正确； 定义域，定义域与对应关系和相同，为同一函数，故C正确； 的定义域为，与函数的定义域不同，不是同一函数，故D错误． 故选：BC 12．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．已知，则； B．已知，则； C．已知一次函数满足，则； D．定义在上的函数满足，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式、已知函数类型求解析式、求抽象函数的解析式 【分析】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【详解】解：对于A，因为， 所以，故正确； 对于B，因为， 因为， 所以，故正确； 对于C，设， 则， 所以，解得或， 所以或，故错误； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①+②，得， 所以，故正确. 故选：ABD. 三、填空题 13．（22-23高一上·贵州黔东南·期中）已知的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】由题意求出的定义域为，再由即得. 【详解】因函数的定义域为， 则， 于是由， 解得， 所以的定义域为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则实数m的值构成的集合是 ；若函数在上有意义，则实数m的值构成的集合是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、已知函数的定义域求参数 【详解】由题意得，从而函数的定义域为，即，故．要使函数有意义．则需，从而，故，所以，解得． 15．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用配凑法，将化为，即得答案. 【详解】由于， 故， 故答案为： 16．若函数，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求出的解析式，代入数字即可求解. 【详解】， 令，则， ， 即， . 故答案为：. 17．（20-21高一上·宁夏·阶段练习）满足：， . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】函数方程组法求解析式 【解析】利用方程组法求解即可. 【详解】，① 用替换可得，② 将①②， 可得 故答案为： 【点睛】本题考查了方程组法求解析式，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 18．（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】由，① 得，② 由得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 19．（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】（1）或；（2）；（3），. 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解； （2）设，利用换元法求解析式即可； （3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可. 【详解】（1）因为为一次函数，可设. 所以. 所以，解得或. 所以或. （2）设，则，，即， 所以， 所以． （3）由①， 用代替，得②， 得：， 即，. 令，则，. 则：，. 所以，. 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 1 函数的定义域及解析式 【知识梳理】 一、函数的概念 1．函数的定义： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 函数的几点说明: （1）f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,不能理解为“y等于f与x的乘积”. y=f(x)不一定是解析式，也可为数表或图象. (2)自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=22+3×2+1=11. (3) A、B是非空的数集;集合A 中的数满足任意性, 集合B中的数满足唯一性; 集合A 中的数不可剩余，集合B中的数可剩余;可以多对一,不能一对多. (4) 集合A是定义域,值域是集合B的子集. 案例1：判断下列对应是否为函数： 三、函数的三要素 1. 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 初中学过的三个已知的函数：y=ax+b (a≠0), y= (k≠0), y=ax2+bx+c(a≠0),它们的定义域、值域、对应关系分别是什么？ 函数 一次函数 反比例函数 二次函数 对应关系 定义域 值域 函数的三要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系所决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）. 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数 值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致. 2.常见函数的定义域 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； （3）0次幂的底数不为0； (4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (5)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 案例2：写出下列函数的定义域 （1） （2） （3） （4） 3. 复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。其中f是外函数，g是内函数，内函数的值域是外函数的定义域。 案例3： （1）已知f(x)=2x+3, g(x)=+1, 求f[g(x)]，g[f(x)], f[f(x)], g[g(x)] 三、函数的表示法 1、函数的表示法. 常用的有解析法、列表法和图象法三种. （1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）： 如等。 优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. （2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。 优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。 （3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）： 如： 优点：直观形象地表示自变量的变化。 2. 求函数的解析式 （1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、联立方程组法等。如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)。 【题型精讲】 题型一、函数的判断 例1．下列图形是函数图像的是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型二、求函数的定义域 1. 具体函数的定义域 例3．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是（   ） A． B． C．，且 D．，且 2. 抽象函数/复合函数的定义域 例5. （1）已知 f(x)的定义域是[4，9]，求f()的定义域. （2）已知f()的定义域是[2，3]，求f(x)的定义域. （3） 已知f()的定义域是[2，3]，求的定义域. 例6．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【总结两句话】 第一句：定义域指的是求___ 的范围 第二句：同一个对应下，括号里面的________范围是一样的 题型三、求函数的解析式 例7. （24-25高一上·全国·周测）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 例8．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 例9．（25-26高一·全国·假期作业）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 例10．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 例11. 已知满足，求 【课堂练习】 一、单选题 1．如下图可作为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 9．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 三、填空题 12．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 14．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 15．已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 16．已知，求的解析式 . 四、解答题 17．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数是一次函数，且满足. (1)求的解析式； 18．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东·期中）函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·辽宁·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（    ） A．[0，5] B．[-1，4] C．[-3，2] D．[-2，3] 7．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一·全国·假期作业）若函数，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（22-23高一上·广东深圳·期末）下列是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·安徽合肥·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．已知，则； B．已知，则； C．已知一次函数满足，则； D．定义在上的函数满足，则 三、填空题 13．（22-23高一上·贵州黔东南·期中）已知的定义域为，则的定义域为 ． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则实数m的值构成的集合是 ；若函数在上有意义，则实数m的值构成的集合是 ． 15．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知，则 ． 16．若函数，则 ． 17．（20-21高一上·宁夏·阶段练习）满足：， . 18．（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 四、解答题 19．（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$