专题06 反比例函数（河北专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题06 反比例函数 考点一、反比例函数的图象和性质 1．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 考点二、反比例函数的实际应用 2．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 3．（2022·河北·中考真题）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三、反例函数与几何图形 4．（2023·河北·中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．    考点四、反比例函数的综合问题 5．（2021·河北·中考真题）用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形． （1）当时，与的交点坐标为 ； （2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点A和，为能看到在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数 ． 专练一、反比例函数的图象和性质 6．（2025·河北唐山·三模）函数（为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河北邯郸·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 8．（2025·河北·模拟预测）“已知，求代数式的值．”其中两个“”部分给出的是x，y，e，d满足的条件．在题目中的已知条件下，求出的这个代数式的值的正确答案是．下列选项中不能得到正确答案的是（    ） A．x，y互为倒数，c，d互为相反数 B．， C．点在双曲线上，点在直线上 D．， 9．（2025·河北邯郸·一模）定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北唐山·二模）如图，反比例函数和中，作直线，分别交x轴，和于点P，点A，点B，若，则（    ） A． B．2 C． D． 11．（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 12．（2025·河北邢台·三模）若反比例函数经过，则的值为 ． 13．（2025·河北沧州·模拟预测）反比例函数的图象如图所示，以下结论： ①常数； ②y随x的增大而减小； ③若在图象上，则； ④若在图象上，则不一定在图象上． 其中正确的是 （填序号）．    专练二、反比例函数与一次函数的综合 14．（2025·河北秦皇岛·一模）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点和点B，如图．当时，自变量x的取值范围是 15．（2025·河北唐山·二模）已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则 ． 16．（2025·山西·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 17．（2025·河北唐山·二模）如图，已知直线与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值，并求点的坐标； (2)若点为正半轴上的一点，，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点在轴的正半轴上．约定：将（2）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比值为，直接写出符合条件的的整数值． 18．（2025·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且直线经过双曲线的左端点． (1)求点D的坐标和m的值． (2)平移直线到直线的位置，使其经过双曲线的右端点，交轴于点，求的长． 19．（2025·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点． (1)求b的值，并在图中画出直线l； (2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接OP，若，直接写出m的取值范围． 20．（2025·河北唐山·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过两点，点以每秒1个单位长度从原点开始在轴的正半轴向上匀速运动，设运动时间为秒，直线经过点，且随点的运动而运动． (1)求的值和点的坐标； (2)当秒时，直线与直线交于点，反比例函数经过点．求反比例函数的解析式； (3)若直线与直线的交点在第一象限，直接写出的取值范围． 21．（2025·河北唐山·二模）如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，连接．点的刻度分别为5，2，直尺的宽度为，，设直线的解析式为． (1)请结合图象直接写出不等式的解集； (2)求直线的解析式； (3)平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长有没有可能是，若有可能，请求出的值；若没有可能，请说明理由． 专练三、求反比例函数比例系数 22．（2025·河北邯郸·二模）已知反比例函数在时，y的值随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为 ． 23．（2025·河北邯郸·二模）已知反比例函数的图象上有两点和，且满足：，，则的值为 ． 24．（2025·河北沧州·模拟预测）已知反比例函数，当时，y的最小值为，则k的值为 ． 25．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则 ． 26．（2025·河北保定·二模）如图，平面直角坐标系内，点、点分别位于两轴正半轴上，，反比例函数的图象交线段于点，，且、分别为的三等分点，且的面积为3，则的值为 ． 27．（2025·河北·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A和B两点，与x轴交于点C，且，则 ． 28．（2025·河北石家庄·二模）将直角三角板如图所示放置在平面直角坐标系中，三角板的直角边落在轴上，且角的顶点与点重合，点落在反比例函数的图象上，将沿翻折，点的对应点也落在该反比例函数的图象上，则的值为 ． 29．（2025·河北石家庄·二模）如图，将含有的直角三角板的直角顶点和原点重合，转动三角板，使点落在的图象上，点正好落在第一象限内反比例函数的图象上，则的值是 ．    30．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，点，在反比函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是9，则 ． 31．（2025·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A，B在函数的图象上． （1）若点A纵坐标为m．则点B纵坐标可表示为 ； （2）k的值为 ． 专练四、反比例函数的临界点问题 32．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知点，点在线段上，并且点的横、纵坐标均为整数．经过点的双曲线，则的最大值为 ． 33．（2025·河北张家口·二模）如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数（）的图象与该折线有公共点，则的整数值有 个． 34．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，折线AB—BC的端点，，，反比例函数的图象与该折线有两个交点，则k的最大值是 ． 35．（2025·河北秦皇岛·一模）如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是 ． 36．（2025·河北邯郸·一模）如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有 个． 37．（2025·河北·一模）规定：在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为偶数的点称为“偶点”，已知双曲线． (1)当双曲线经过点时，该双曲线上的“偶点”有 个； (2)如图，点在双曲线的上方，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与双曲线交于点B，C，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内(不含边界)“偶点”的个数为4时，所有符合条件的k的整数值的和为 ． 专练五、反比例函数的实际应用问题 38．（2025·河北沧州·模拟预测）变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半 39．（2025·河北邯郸·二模）淇淇和同学一起制作了一个用于浇花的滴管装置，该装置可以通过调节滴水的速度，改变滴灌的时间．已知该装置的滴水速度为滴/小时，淇淇在使用时，将装置装满水后，把滴水速度调整为滴/小时，2个小时后，该装置的水用了．要将装置装满水，下列说法正确的是（    ） A．滴水时间最长为个小时 B．滴水时间最少为个小时 C．当滴水速度为滴/小时时，个小时用去总水量的 D．当滴水速度为滴/小时时，个小时用去总水量的 40．（2025·河北保定·一模）小明从地到地的平均速度与行驶时间成反比例函数关系，其函数图象如图所示．若某天他从地出发，在到这段时间内到达地，则他的平均速度可能是（    ） A． B． C． D． 41．（2025·河北保定·一模）如图，一个厚度，宽度可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量水，随着的变化，水面高度也发生变化．设，水面高度为，则y随x变化的函数图象是如图所示的曲线，它与直线只有一个公共点R．则盒子里水的体积是（   ） A． B． C． D． 42．（2025·河北·模拟预测）小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为 千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为 ． 甲、乙两地之间的距离为540千米， 汽车行驶的平均速度的范围为， 43．（2025·河北邯郸·二模）某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15元，每件乙种产品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200件，其中生产乙产品件，乙产品每件成本为元，在生产过程中，可以得到如下数据： （件） 20 40 （元） 20 15 (1)求与之间的函数关系式； (2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200件产品的最小成本． 专练六、跨学科背景下的反比例函数应用 44．（2025·河北·模拟预测）物理实验中，同学们分别测量经过甲、乙、丙三个用电器的电流和它们两端的电压，根据图及物理学知识，可判断这三个用电器的电阻大小排序正确的是（   ） A．甲>乙>丙 B．乙>甲>丙 C．甲>丙>乙 D．丙>甲>乙 45．（2025·河北唐山·二模）在综合实践课上，嘉淇利用恒定的电压U（V）测定电流I（A）与电阻R（Ω）的关系．当时，测得，则I与R之间的函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 46．（2025·河北保定·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若电流由减少至，则电阻的变化情况是（   ） A．增大，增大了 B．减小，减小了 C．增大，增大了 D．减小，减小了 47．（2025·河北沧州·一模）力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足，在某次实验中，当一定时，关于的函数图象如图所示．若压强由40增压至60，则物体受力面积（   ） A．减小了 B．增大了 C．减小了 D．增大了 专练七、反比例函数与几何综合问题 48．（2025·河北邢台·三模）如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 49．（2025·河北廊坊·一模）某半径为1的圆形游乐设施在运行过程中，圆心从A点运动至B点．若该设施的运动轨迹可看作双曲线在第一象限的部分，与轴相切、与轴相切．若此时的直线距离，那么圆心的运动轨迹满足的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 50．（2025·河北邯郸·三模）如图，点是反比例函数第一象限内的图象上一点，点是轴上一点，且．若的面积小于4，则的取值范围是 ． 51．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．将矩形向左平移，当点落在该反比例函数的图象上时，平移的距离为 ． 52．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数的图象于点B，交函数的图象于点C，如果点A的坐标为，则线段与的长度比为 ． 53．（2025·河北石家庄·三模）如图，点，四边形和四边形都是正方形，点D在点A右侧的x轴上，点C在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点，又经过的中点，则正方形的边长为 ． 54．（2025·河北唐山·二模）如图，点是反比例函数图象上的一点，点是x轴正半轴上任意一点，将点A绕点M顺时针旋转得到点B，连接，．无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式为 ． 55．（2025·河北邯郸·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，若，点的横坐标与纵坐标均为整数，点在轴上，若点到点的距离与点到点的距离和最小，则点的坐标为 ． 56．（2025·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限．若，设点的坐标为，则 ． 57．（2025·江苏无锡·一模）如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ． 试卷第2页，共62页 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数 考点一、反比例函数的图象和性质 1．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 考点二、反比例函数的实际应用 2．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天． ∴， ∴， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； ∵， ∴当时，x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意； 故选：C． 3．（2022·河北·中考真题）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意， ， ，且为整数． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键． 考点三、反例函数与几何图形 4．（2023·河北·中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．    【答案】4（答案不唯一，满足均可） 【详解】解：当反比例函数图像过时，； 当反比例函数图像过时，； ∴k的取值范围为 ∴k可以取4． 故答案为4（答案不唯一，满足均可）． 考点四、反比例函数的综合问题 5．（2021·河北·中考真题）用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形． （1）当时，与的交点坐标为 ； （2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点A和，为能看到在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数 ． 【答案】 4 【详解】（1）根据题意，得 ∴ ∵ ∴是的解 ∴当时，与的交点坐标为： 故答案为：； （2）当时，得 ∴ ∵ ∴是的解 ∴与的交点坐标为： ∵（1）视窗可视范围就由及，且 ∴ 根据题意，得为正整数 ∴ ∴ 同理，当时，得 ∴ ∴ ∴ ∵要能看到在A和之间的一整段图象 ∴ 故答案为：4． 专练一、反比例函数的图象和性质 6．（2025·河北唐山·三模）函数（为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， 故选：A． 7．（2025·河北邯郸·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 8．（2025·河北·模拟预测）“已知，求代数式的值．”其中两个“”部分给出的是x，y，e，d满足的条件．在题目中的已知条件下，求出的这个代数式的值的正确答案是．下列选项中不能得到正确答案的是（    ） A．x，y互为倒数，c，d互为相反数 B．， C．点在双曲线上，点在直线上 D．， 【答案】C 【详解】解：A. ∵x，y互为倒数，c，d互为相反数，∴； B. ∵，，∴； C. ∵点在双曲线上，点在直线上，∴； D. ∵，，∴． 故选：C． 9．（2025·河北邯郸·一模）定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据新定义，得， 画图如下： ， 故选：C． 10．（2025·河北唐山·二模）如图，反比例函数和中，作直线，分别交x轴，和于点P，点A，点B，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且， ，， ， 故选：A． 11．（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H， 则轴， ∵轴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， 根据反比例函数k值意义可得： ， ∵与之间的距离为1， ∴设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 解法二：设，两点的坐标分别为、， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同，即，解得， 点与点的纵坐标相同，即，解得， ∵，， ∴，解得， ∵与的距离为1， ∴ ， 把代入中，得， 故选：C． 12．（2025·河北邢台·三模）若反比例函数经过，则的值为 ． 【答案】0 【详解】解：∵在反比例函数上， ∴， 故答案为：0 13．（2025·河北沧州·模拟预测）反比例函数的图象如图所示，以下结论： ①常数； ②y随x的增大而减小； ③若在图象上，则； ④若在图象上，则不一定在图象上． 其中正确的是 （填序号）．    【答案】③ 【详解】解：观察图象得：函数图象位于第一、三象限， ∴在每一项限内，y随x的增大而减小，，故①②错误； 当时，， 当时，， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴若在图象上，则一定在图象上，故④错误． 故答案为：③ 专练二、反比例函数与一次函数的综合 14．（2025·河北秦皇岛·一模）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点和点B，如图．当时，自变量x的取值范围是 【答案】或 【详解】解：∵反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点和点B， ∴， 根据图象得：当时的变量x的取值范围为：或． 故答案为：或． 15．（2025·河北唐山·二模）已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则 ． 【答案】8 【详解】解：∵反比例函数与一次函数有两个交点， ∴联立方程得，， 整理得，， ∵是方程两根， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：8． 16．（2025·山西·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)27 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例的函数表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）解：设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为27． 17．（2025·河北唐山·二模）如图，已知直线与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值，并求点的坐标； (2)若点为正半轴上的一点，，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点在轴的正半轴上．约定：将（2）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比值为，直接写出符合条件的的整数值． 【答案】(1)，1，(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意得：将点分代入直线和， 得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为； （2）∵点为正半轴上的一点，，高相等， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）根据图象得：要点共有6个，分别为：， 当反比例函数恰好经过点时，， 当时，， 由图得反比例函数上面有2个要点，下面有4个要点，符合题意； ∴． 18．（2025·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且直线经过双曲线的左端点． (1)求点D的坐标和m的值． (2)平移直线到直线的位置，使其经过双曲线的右端点，交轴于点，求的长． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数，一次函数的平移等知识， 【详解】（1）解：把代入得：， 直线1的解析式为， 直线1经过双曲线的左端点C， 当时，， 即， ∴， ∴双曲线的解析式为， 当时，， 所以； （2）解：平移直线到直线的位置， 设直线的解析式为， 直线经过双曲线的右端点D， 把代入得：， 所以直线的解析式为， 当时，， 即， ∵直线的解析式为， 当时，， 即， ∴． 19．（2025·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点． (1)求b的值，并在图中画出直线l； (2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接OP，若，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，见解析(2)①点的坐标为；② 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 当时，，则直线l经过点， 画出直线l如图所示： （2）解：①由题意，， 将代入中，得， ∴反比例函数的解析式为， 联立方程组，则， 解得或， ∴； ②由题意，，， 由得， ∴； ∴，， ∴， ∵， ∴对应的二次函数的图象开口向下， 由得，， ∴当时，． 20．（2025·河北唐山·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过两点，点以每秒1个单位长度从原点开始在轴的正半轴向上匀速运动，设运动时间为秒，直线经过点，且随点的运动而运动． (1)求的值和点的坐标； (2)当秒时，直线与直线交于点，反比例函数经过点．求反比例函数的解析式； (3)若直线与直线的交点在第一象限，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，(2)(3) （3）直线与直线l的交点在第一象限时，根据点B纵坐标的值即可求出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴直线l的解析式为， 令，则，解得， ∴点A坐标为； （2）解：如图， ∵当秒时，， 而， ∴点P恰好是的中点； 又∵直线与x轴平行， ∴点M的纵坐标为2； ∵点M又在直线l上， ∴，解得； ∴． ∵反比例函数经过点M， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （3）解：∵， ∴根据图象，可知直线与直线的交点在第一象限，t的取值范围是． 21．（2025·河北唐山·二模）如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，连接．点的刻度分别为5，2，直尺的宽度为，，设直线的解析式为． (1)请结合图象直接写出不等式的解集； (2)求直线的解析式； (3)平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长有没有可能是，若有可能，请求出的值；若没有可能，请说明理由． 【答案】(1)(2)；(3)可能，． 【详解】（1）解：由题意得，，， 所以：根据图象可知：不等式的解集为：； （2）解：将A点坐标代入， 得： ， ∴； 又， ∴， ∴）， 将和分别代入， 得，解得， ∴直线的解析式为； （3）解：当时，点E的纵坐标为， 点F的纵坐标为，依题意得：=， 解得：， 经检验：均是原方程的解，且符合题意， ∴线段的长可能是，此时． 专练三、求反比例函数比例系数 22．（2025·河北邯郸·二模）已知反比例函数在时，y的值随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：∵反比例函数在时，y的值随x的增大而减小， ∴， ∴一个符合条件的k的值为1． 故答案为：1（答案不唯一） 23．（2025·河北邯郸·二模）已知反比例函数的图象上有两点和，且满足：，，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：点和点在反比例函数的图象上， ， ∵， ∴，即， ∴， 又， ∴解得， ，即， ∴． ， ， 故答案为：3． 24．（2025·河北沧州·模拟预测）已知反比例函数，当时，y的最小值为，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得， 故反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大， 由时，y的最小值为， 故时，y的最小值为， 此时反比例函数经过点， 故． 故答案为：． 25．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，分别过点B、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E， 设与y轴交于G，则， ∵四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故答案为：． 26．（2025·河北保定·二模）如图，平面直角坐标系内，点、点分别位于两轴正半轴上，，反比例函数的图象交线段于点，，且、分别为的三等分点，且的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，如图所示： 与以上所在边为底，则高相同，均为， 、分别为的三等分点， ， 的面积为3， ， 在中，，，则是等腰直角三角形， ，解得， 过点作，如图所示： ， ， ， ， 、分别为的三等分点， ，则，， ，， ， 反比例函数的图象交线段于点， ， 故答案为：． 27．（2025·河北·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A和B两点，与x轴交于点C，且，则 ． 【答案】12 【详解】解：对于，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 过点作轴于点，如图， 因为反比例函数与直线组成的图象关于直线对称， 所以，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B坐标为， ∵点B在的图象上， ∴． 故答案为：12． 28．（2025·河北石家庄·二模）将直角三角板如图所示放置在平面直角坐标系中，三角板的直角边落在轴上，且角的顶点与点重合，点落在反比例函数的图象上，将沿翻折，点的对应点也落在该反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解:设点坐标为，则, ， ， 由对称可知：， ， 如图，作轴，垂足为,则， , 由勾股定理得，， ， 点在反比例函数图象上， , 在中， , 由勾股定理得,即, 由解得， 故答案为：． 29．（2025·河北石家庄·二模）如图，将含有的直角三角板的直角顶点和原点重合，转动三角板，使点落在的图象上，点正好落在第一象限内反比例函数的图象上，则的值是 ．    【答案】3 【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足为，则，      由题意得，， ∴，， ∴， ∴ 由题意可设， 则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 30．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，点，在反比函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是9，则 ． 【答案】12 【详解】解：如图，作轴于点E，轴于点D， 则（）， ∵，的纵坐标分别是3和6， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：； 故答案为：12. 31．（2025·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A，B在函数的图象上． （1）若点A纵坐标为m．则点B纵坐标可表示为 ； （2）k的值为 ． 【答案】 1 4 【详解】 解：（1）根据图象可知，点A的横坐标为1，点B的横坐标为4，设点A的坐标为，则点B的坐标为， ∵点点A、B在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴点B纵坐标为1， 故答案为：1． （2）由（1）可知， ∵点B在函数的图象上， ∴， 故答案为：4． 专练四、反比例函数的临界点问题 32．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知点，点在线段上，并且点的横、纵坐标均为整数．经过点的双曲线，则的最大值为 ． 【答案】10 【详解】解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为：， ∵点P在线段上，并且点P的横、纵坐标均为整数， ∴横坐标， ∴点P坐标为或或或， ∵双曲线经过点P， ∴k的值为4或9或10或7， ∴k的最大值为10； 故答案为：10． 33．（2025·河北张家口·二模）如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数（）的图象与该折线有公共点，则的整数值有 个． 【答案】4 【详解】解：如图：，，，，，，， ∴该折线所有的顶点所对应的值的最小值为过点或点时，此时，最大值为过点或点时，此时， ∴， ∴取3，4，5，6， ∴的整数值有4个． 故答案为：． 34．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，折线AB—BC的端点，，，反比例函数的图象与该折线有两个交点，则k的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是根据反比例函数与折线的交点坐标确定的取值范围． 【详解】解：∵点，，， ∴可表示为，可表示为 ∵反比例函数的图象与该折线有两个交点， ∴反比例函数的图象与的交点的横坐标为，纵坐标为，且， 与的交点的纵坐标为，横坐标为，且， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 35．（2025·河北秦皇岛·一模）如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：将反比例函数的图象向左平移个单位长度，使平移后的函数图象和线段有交点，相当于将线段向右平移个单位长度后，与反比例函数的图象有交点， ∵， ∴点平移后的坐标为，点平移后的坐标为， 由题意，有以下两个临界位置： ①当反比例函数的图象恰好经过点时， 则，解得； ②当反比例函数的图象恰好经过点时， 则，解得； 所以要使平移后的函数图象和线段有交点，则， 故答案为：． 36．（2025·河北邯郸·一模）如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有 个． 【答案】9 【详解】解：∵正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点， ∴， ∵反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界）， ∴将代入中得：，将代入中得：， ∴的取值范围为，其中共有9个的整数值， 故答案为：9． 37．（2025·河北·一模）规定：在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为偶数的点称为“偶点”，已知双曲线． (1)当双曲线经过点时，该双曲线上的“偶点”有 个； (2)如图，点在双曲线的上方，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与双曲线交于点B，C，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内(不含边界)“偶点”的个数为4时，所有符合条件的k的整数值的和为 ． 【答案】 2 54 【详解】解：（1）∵双曲线经过点， ∴， ∴双曲线为：． ∵横、纵坐标均为偶数的点称为偶点， ∴该双曲线上的“偶点”有，共2个； 故答案为：2． （2）如图，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内（不含边界）“偶点”的个数为4时，可分析出这四个点分别为，，，， 当双曲线恰好经过时，此时，封闭区域内只有3个偶点， 当双曲线恰好经过时，此时，封闭区域内恰好有4个偶点， ∴当围成的封闭区域内“偶点”的个数为4时，k的取值范围为， ∴符合条件的k的整数值为12，13，14，15， ∴所有符合条件的k的整数值的和为． 故答案为：54． 专练五、反比例函数的实际应用问题 38．（2025·河北沧州·模拟预测）变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半 【答案】C 【详解】解：A、当时，，故A正确，不符合题意； B、当时，，故B正确，不符合题意； C、根据题意得，所以要增大y，应减小x，故C不正确，符合题意； D、根据题意得，所以x增大一倍，则y减少一半，故D正确，不符合题意， 故选：C． 39．（2025·河北邯郸·二模）淇淇和同学一起制作了一个用于浇花的滴管装置，该装置可以通过调节滴水的速度，改变滴灌的时间．已知该装置的滴水速度为滴/小时，淇淇在使用时，将装置装满水后，把滴水速度调整为滴/小时，2个小时后，该装置的水用了．要将装置装满水，下列说法正确的是（    ） A．滴水时间最长为个小时 B．滴水时间最少为个小时 C．当滴水速度为滴/小时时，个小时用去总水量的 D．当滴水速度为滴/小时时，个小时用去总水量的 【答案】D 【详解】设滴水的速度为滴/小时，滴水的时间为小时，该装置总的储水量为（滴）， 滴水的时间与滴水速度成反比例函数关系， ， 当时，，选项A错误； 当时，，选项B错误； 当滴水速度时，，即滴水总时间为小时，小时用去总水量的，选项C错误； 当滴水速度时，，即滴水总时间为小时，小时用去总水量的，选项D正确； 故选：D． 40．（2025·河北保定·一模）小明从地到地的平均速度与行驶时间成反比例函数关系，其函数图象如图所示．若某天他从地出发，在到这段时间内到达地，则他的平均速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设平均速度与行驶时间之间的函数关系式为， 将点代入得：， ∴， 从到，行驶时间为；从到，行驶时间为， 当时，， 当时，， ∵反比例函数中的， ∴在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 41．（2025·河北保定·一模）如图，一个厚度，宽度可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量水，随着的变化，水面高度也发生变化．设，水面高度为，则y随x变化的函数图象是如图所示的曲线，它与直线只有一个公共点R．则盒子里水的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设长方体盒子中水的体积为， 依题意得：， 即：， 将曲线与直线相联立，得： ， 整理，得：， 该曲线与直线只有一个公共点， ， ， 长方体盒子中水的体积为， 故选：． 42．（2025·河北·模拟预测）小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为 千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为 ． 【答案】 540 / 【详解】解：（1）由题意得：， ， 甲、乙两地之间的距离为540千米， 故答案为：540； （2）小李计划在当天不超过到达乙地， ， ， 又， 汽车行驶的平均速度的范围为， 故答案为：． 43．（2025·河北邯郸·二模）某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15元，每件乙种产品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200件，其中生产乙产品件，乙产品每件成本为元，在生产过程中，可以得到如下数据： （件） 20 40 （元） 20 15 (1)求与之间的函数关系式； (2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200件产品的最小成本． 【答案】(1) (2)最小成本2640元 【详解】（1）解：设，由题意得， 解得， 所以； （2）解：由题意得，， 解得， 设生产这200件产品的成本为， 则 因为， 所以随的增大而减小； 所以当时，最小，最小值2640元． 专练六、跨学科背景下的反比例函数应用 44．（2025·河北·模拟预测）物理实验中，同学们分别测量经过甲、乙、丙三个用电器的电流和它们两端的电压，根据图及物理学知识，可判断这三个用电器的电阻大小排序正确的是（   ） A．甲>乙>丙 B．乙>甲>丙 C．甲>丙>乙 D．丙>甲>乙 【答案】C 【详解】为甲、乙、丙三个点构造直角三角形，产生交点A，B， ，，， ，， ． 故选：C． 45．（2025·河北唐山·二模）在综合实践课上，嘉淇利用恒定的电压U（V）测定电流I（A）与电阻R（Ω）的关系．当时，测得，则I与R之间的函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意设电流I与电阻R的解析式为， ∵当时，， ∴， ∴电流I与电阻R的解析式为， 当时，， ∴在图象的上方，故A错误； 当时，， ∴在图象的上方，故B正确； 当时，， ∴在图象上，在图象的下方，故C，D错误； 故选：B． 46．（2025·河北保定·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若电流由减少至，则电阻的变化情况是（   ） A．增大，增大了 B．减小，减小了 C．增大，增大了 D．减小，减小了 【答案】A 【详解】解：设， 把代入，得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当电流I从减少至时，电阻R增大了， 故选：A． 47．（2025·河北沧州·一模）力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足，在某次实验中，当一定时，关于的函数图象如图所示．若压强由40增压至60，则物体受力面积（   ） A．减小了 B．增大了 C．减小了 D．增大了 【答案】A 【详解】解：一定， 结合图象可知，即， 当压强为40时，有，解得， 当压强为60时，有，解得， ， 压强由40增压至60，则物体受力面积减小了， 故选：A． 专练七、反比例函数与几何综合问题 48．（2025·河北邢台·三模）如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：， ， 多边形是正六边形， ，其内角和为， ， 连接，作于，如图所示： ，，， ，， ， ， ， ， ． 当过点时，； 当过点时，； ， 则可取5，6，7，8，共4个整数值， 故选：C． 49．（2025·河北廊坊·一模）某半径为1的圆形游乐设施在运行过程中，圆心从A点运动至B点．若该设施的运动轨迹可看作双曲线在第一象限的部分，与轴相切、与轴相切．若此时的直线距离，那么圆心的运动轨迹满足的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设圆心的运动轨迹满足的函数解析式为， 与轴相切、与轴相切，圆的半径为1， ，， ， ，， ， ， 解得，负值舍去， 圆心的运动轨迹满足的函数解析式为， 故选C． 50．（2025·河北邯郸·三模）如图，点是反比例函数第一象限内的图象上一点，点是轴上一点，且．若的面积小于4，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点， ，， ， 当时， 则， ， ， 反比例函数在第一、三象限， ， ， 故答案为：． 51．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．将矩形向左平移，当点落在该反比例函数的图象上时，平移的距离为 ． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点， 将代入得解析式得， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 由题意可知，四边形为矩形， ∴， 当时，， 解得：； 将矩形向左平移，当点落在该反比例函数的图象上时，平移的距离为 ． 故答案为： 52．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数的图象于点B，交函数的图象于点C，如果点A的坐标为，则线段与的长度比为 ． 【答案】 【详解】解：∵，轴， ∴，， ∴， ∴线段与线段的长度之比为． 故答案为：． 53．（2025·河北石家庄·三模）如图，点，四边形和四边形都是正方形，点D在点A右侧的x轴上，点C在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点，又经过的中点，则正方形的边长为 ． 【答案】/ 【详解】解：点，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的中点坐标为， ∵反比例函数的图象经过的中点， ∴， ∴， ． 设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， 则的中点坐标为， ∵反比例函数的图象经过的中点， ， 解得（负值已舍去） 故答案为：． 54．（2025·河北唐山·二模）如图，点是反比例函数图象上的一点，点是x轴正半轴上任意一点，将点A绕点M顺时针旋转得到点B，连接，．无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示： 则， ∵点是反比例函数图象上的一点， ∴， ∴，，，， 根据旋转可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点M在轴正半轴，则，点B在x轴的上方，， ∴此时点B的坐标为：， ∵， ∴此时点B在直线上； 综上分析可知，无论取何值时，点始终在直线上． 故答案为：． 55．（2025·河北邯郸·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，若，点的横坐标与纵坐标均为整数，点在轴上，若点到点的距离与点到点的距离和最小，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解；如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 根据轴对称的性质，此时点到点的距离与点到点的距离和最小， 将代入双曲线中，得， ∴反比例函数解析式为 设， 点的横坐标与纵坐标均为整数， ∴为整数， （舍去）或， ， 设直线的解析式为， 将，代入，可得 解得， ∴直线的解析式为， 在中，令，得， ， 故答案为：． 56．（2025·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限．若，设点的坐标为，则 ． 【答案】3 【详解】解：连接，则：， ∵，点的坐标为， ∴， ∵反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限， ∴； ∴， ∵在第一象限， ∴， ∴； 故答案为：3． 57．（2025·江苏无锡·一模）如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，则 ∵菱形沿轴向上平移得到菱形， ∴轴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得， ∴反比例函数， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴平移前后两个菱形重叠部分的面积为， 故答案为：． 试卷第2页，共62页 2 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$