专题06 二次函数及其应用【好题汇编】-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河北专用）

专题06 二次函数及其应用 1．（2023·河北·中考真题）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（2020·河北·中考真题）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下， 甲：若，则点的个数为0； 乙：若，则点的个数为1； 丙：若，则点的个数为1. 下列判断正确的是（    ） A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对 3．（2020·河北·中考真题）用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，． （1）求与的函数关系式． （2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），． ①求与的函数关系式； ②为何值时，是的3倍？ 【注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围】 4．（2023·河北·中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．    (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 5．（2022·河北·中考真题）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 6．（2021·河北·中考真题）下图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶到轴距离．从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点． （1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上； （2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点； （3）在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且．在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，则点横坐标的最大值比最小值大多少？ 【注：（2）中不必写的取值范围】 7．（2024·河北·中考真题）如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． (4)设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 8．（2024·河北邢台·三模）点，在函数的图像上，当时，函数的最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河北张家口·三模）点，，均在抛物线上，若，则的值可能是（    ） A． B．1 C．4 D．5 10．（2024·河北邯郸·三模）已知，，为三个常数，且二次函数的图象经过，两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值可能为； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点有两个 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 11．（2024·河北秦皇岛·一模）抛物线与轴交于点（在左侧），两点与抛物线的顶点构成的三角形，当内心与外心重合时，此时抛物线顶点记为点．若拋物线的顶点到轴的距离比点到轴的距离大时，求的取值范围．甲求得；乙求得．下列说法正确的是（    ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．二人答案合在一起才正确 D．二人答案合在一起也不正确 12．（2024·江西赣州·模拟预测）已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（2024·河北石家庄·二模）老师给出了二次函数的部分对应值如表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 同学们讨论得出了下列结论， ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是方程的一个根； ⑤若，是抛物线上的两点，则． 其中正确的是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤ 14．（2024·河北石家庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．（2024·河北唐山·三模）某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当时，，那么当成本为元时，边长为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 16．（2024·河北邯郸·三模）函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 17．（2024·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中： ①当或时，；    ②当或时，； ③当时随x的增大而增大；     ④使的x的值有3个． 其中正确的个数有（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2024·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点和在抛物线上，设该抛物线的对称轴为直线． （1）当时，b的值为 ； （2）若，则满足条件的整数t有 个． 20．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1） ； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ． 21．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）小王和小李先后从地出发沿同一直道去地设小李出发第时，小李、小王离地的距离分别为、，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是． （1）小李出发时，小王离地的距离为 ． （2）小李出发至小王到达地这段时间内，当小李出发 时两人相距最近这个最近距离是 ． 22．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图是小李同学设计的一个动画示意图，光点从点发出，其经过的路径为抛物线： 的一部分，并落在水平台子上的点处，其达到的最大高度为，光点在点处被反弹后继续向前沿抛物线：的一部分运行，已知台子的长，，点 是的中点． (1)求抛物线的对称轴及函数表达式； (2)若光点被弹起后，落在台子上的之间不含端点，求 所有的整数值． 23．（2024·河北石家庄·三模）嘉淇设计了一个程序，如图，抛物线为导电的线缆，第一象限内有一矩形区域，边分别在y轴，x轴上，点B的坐标为，其中矩形的顶点A，B，C，D处有四个通电开关． (1)点A的坐标________； (2)当时，求抛物线L的对称轴和y的最小值； (3)设抛物线L的顶点为点E． ①求点E的坐标（用含p的式子表示）； ②当点E在矩形的边上时，求点E的坐标； (4)当导电线缆（即抛物线L）接触开关时，即可通电，直接写出通电时整数p的值． 24．（2024·河北邯郸·三模）如图某桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．    (1)按如图所示的坐标系，求该桥拱的函数表达式； (2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？ (3)如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移（）个单位长度，使得平移后的函数图象在之间，且随的增大而减小，请直接写出的取值范围． 25．（2024·河北邯郸·模拟预测）高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． 水流的高度与到高楼的水平距离之间的函数关系式为． (1)求消防员第一次灭火时，水流所在抛物线的解析式； (2)若两次灭火时，水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离； (3)若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，直接写出a的取值范围． 26．（2024·河北·三模）如图，抛物线的顶点为，与轴的交点为和（其中点与原点重合），将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：点，，在同一条直线上； (3)若点是原抛物线上的一动点，点是旋转后的图形的对称轴上一点，为线段的中点，在第一象限内存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标． 27．（2024·河北唐山·二模）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．示意图如图，若该航模飞机从水平安全线上的A处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为60m． (1)求a的值； (2)求y关于x的函数解析式，并求飞行高度y的最大值； (3)该活动小组在水平安全线上的点A处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 28．（2024·河北石家庄·二模）如图1，在立柱上竖直安装了一个喷水装置，建立如图2所示的平面直角坐标系，一个单位长度代表长，水流从轴上的喷头喷出，，水流的路线为抛物线（，其中，均为常数）的一部分，当水流到达处时，达到最大高度，此时水流的最高点到喷头的水平距离为． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)定义“高差”：当抛物线上的点到喷头的水平距离在时，抛物线上的点到水平地面的距离的最大值与最小值的差叫作到之间的“高差”，记作（单位：）． ①当时，求高差的值； ②若时，总有，请直接写出的取值范围． 29．（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面AB的坡比为（其中），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米． 以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； ①河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ ②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式． 30．（2024·河北石家庄·三模）在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止，某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区所在的进水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其关系式为． (1)c的值为__________，B点的坐标是__________． (2)进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．求x关于t的函数关系式． (3)在（2）的条件下，当：t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 31．（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，从原点的正上方8个单位处向右上方发射一个小球，小球在空中飞行后，会落在截面为矩形的平台上（包括端点），把小球看作点，其飞行的高度与飞行的水平距离满足关系式．其中，，． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若落在平台上的小球，立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与形状相同的拋物线，在轴有两个点、，且，，从点向上作轴，且．若沿抛物线下落的小球能落在边（包括端点）上，求抛物线最高点纵坐标差的最大值是多少？ 32．（2024·河北邯郸·模拟预测）将小球（看作一点）以速度竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度与时间的函数解析式为，若上升的初始速度，且当时，小球达到最大高度． (1)求小球上升的高度与时间的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度； (2)向上抛出小球时再让小球在水平方向上匀速运动，且速度为，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度与时间的函数关系式与（1）中的解析式相同．在如图所示的平面直角坐标系中，轴表示小球相对于抛出点的高度，轴表示小球距抛出点的水平距离． ①若，当时，小球的坐标为______，小球上升的最高点坐标为______； ②在①的条件下求小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式； ③在小球的正前方的墙上有一高的小窗户，其上沿的坐标为，若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好击中点，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度的取值范围． 33．（2024·河北石家庄·三模）一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高OB为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； (2)若防守队员小明跳起后能摸到的最大高度为2.25米，他此时站在离球门3米远的位置，求小明至少后退多少米才能防守住这次射门？ (3)在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________．（填序号即可，） ①；    ②；    ③． 34．（2022·河北邢台·三模）如图是某山坡的截面示意图，坡顶距轴（水平），与轴交于点，与坡交于点，且，坡可以近似看作双曲线的一部分，坡可以近似看作抛物线的一部分，且抛物线与抛物线的形状相同，两坡的连接点为抛物线的顶点，且点到轴的距离为． (1)求的值； (2)求抛物线的解析式及点的坐标； (3)若小明站在坡顶的点处，朝正前方抛出一个小球（看成点），小球刚出手时位于点处，小球在运行过程中的横坐标、纵坐标与小球出手后的时间满足的关系式为，，是小球出手后水平向前的速度． ①若，求与之间的函数关系式； ②要使小球最终落在坡上（包括，两点），直接写出的取值范围． 35．（2024·河北邯郸·三模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， ； ②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为 ． 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围． 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积． 36．（2024·河北唐山·二模）如图①，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线的绳子． (1)求绳子最低点到地面的距离． (2)如图②，因实际需要，需用一根立柱撑起绳子． ①若在离的4米位置处用立柱撑起，使立柱左侧的抛物线的最低点距的距离为1米，离地面1.8米，求的长； ②将立柱来回移动，移动过程中，在一定范围内，总保持立柱左侧抛物线的形状不变，其函数表达式为，当抛物线最低点到地面距离为米时，求m的值． 37．（2024·河北邯郸·三模）如图1，平面直角坐标系中，有抛物线：．设抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，且． (1)求的值． (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，使过点和，求抛物线的解析式． (3)设（2）中在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为．过点作直线平行于轴，与图象交于两点，如图3． ①过的最高点作直线交于点（点在点左侧），求的值； ②是图象上一个动点，当点与直线的距离小于4时，直接写出点横坐标的取值范围． 38．（2024·河北邯郸·二模）如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标． 39．（2024·河北保定·一模）如图，直线l：与坐标轴分别交于点A，C，抛物线L：经过点和点C，其顶点为M，对称轴与x轴交于点H，点P是抛物线L上的一点，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线L的解析式，并经过计算判断抛物线L是否经过点A． (2)若点P介于点M，B之间（包括端点），点D与点P关于对称轴对称，作轴，交l于点E． ①当时，求的长； ②若的长随m的增大而增大，求m的取值范围． (3)若点P在第二象限，直接写出点P与直线l距离的最大值． 把代入，得，则， 把代入，得， 40．（2024·河北秦皇岛·一模）如图是某数学学习小组设计的动画游戏：轴上依次何一个正方形、矩形、正方形，其中，，，，，、分别为的中点，以直线为轴建立平面直角坐标系．从点处向右上方沿拋物线：发出一个带光的点．点落在矩形EFGH的边EH上后立即弹起，形成最大高度为7的抛物线；落在正方形的边上后又立即弹起形成最大高度为3的抛物线，经过两次弹起后点落在轴上，已知、、形状相同．    (1)当点发出后达到最大高度时，求点到点距离； (2)求点第一次弹起后形成的拋物线的解析式； (3)左右平移发出点的位置（点只能在AD边上发出，其他保持不变）若使点P只经过一次弹起后就能落在轴上，直接写出点的移动方向和移动距离的取值范围．    41．（2024·河北保定·二模）如图1，一块矩形电子屏中，G为上一感应点，，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带和正常工作，，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形． (1)时，照亮的区域面积______，并求a值． (2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数． ①求出点P在线段上运动时S关于t的函数解析式； ②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域的面积S为17． 42．（2024·河北石家庄·二模）如图，已知矩形中，，，点P从点C出发沿边向点B运动，连接，过点P作交边于点Q，以为对角线作正方形． (1)若，则______． (2)点M一定在的角平分线上吗？请说明理由； (3)当点P从点C重合的位置运动至点M落在边上时，求点M运动的路径长； (4)在点P从点C到点B的运动过程中，请直接写出的外心到边的距离的最大值． 43．（2024·河北唐山·二模）如图，抛物线L：与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值； (2)平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N（点M在点N的左边），交线段于点R．当R为线段的中点时，求点N的坐标； (3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线L平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线L平移的最短路程； (4)P是抛物线L上任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m．过点P作轴于点Q，E为y轴上的一点，纵坐标为．以为邻边构造矩形，当抛物线L在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 44．（2024·河北邯郸·一模）【建立模型】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：； 【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到、直线交x轴于点D． ①点C的坐标为______； ②求直线的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，直接写出点M的横坐标． 45．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图①，平面直角坐标系中，有抛物线：．设抛物线与轴相交于点，，与轴正半轴相交于点，且．    (1)求的值及顶点坐标． (2)如图②，将抛物线平移得到抛物线，使过点和，求抛物线的解析式． (3)设（2）中在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为．过点作直线平行于轴，与图象交于，两点，如图③． ①过的最高点作直线交于点，（点在点左侧），直接写出的值__________； ②有一条直线与新图象只有两个公共点，，且直线与的距离大于2，直接写出线段长度的取值范围__________． 试卷第10页，共86页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数及其应用 1．（2023·河北·中考真题）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可． 【详解】解：令，则和， 解得或或或， 不妨设， ∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， ∴与原点关于点对称， ∴， ∴或（舍去）， ∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 2．（2020·河北·中考真题）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下， 甲：若，则点的个数为0； 乙：若，则点的个数为1； 丙：若，则点的个数为1. 下列判断正确的是（    ） A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对 【答案】C 【分析】分别令x（4－x）的值为5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到点P的个数． 【详解】当b＝5时，令x（4－x）＝5，整理得：x2－4x＋5＝0，△＝（－4）2－4×5＝－6＜0，因此点P的个数为0，甲的说法正确； 当b＝4时，令x（4－x）＝4，整理得：x2－4x＋4＝0，△＝（－4）2－4×4＝0，因此点P有1个，乙的说法正确； 当b＝3时，令x（4－x）＝3，整理得：x2－4x＋3＝0，△＝（－4）2－4×3＝4＞0，因此点P有2个，丙的说法不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的判别式． 3．（2020·河北·中考真题）用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，． （1）求与的函数关系式． （2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），． ①求与的函数关系式； ②为何值时，是的3倍？ 【注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围】 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】（1）设W=kx2，利用待定系数法即可求解； （2）①根据题意列出函数，化简即可；②根据题意列出方程故可求解． 【详解】（1）设W=kx2, ∵时， ∴3=9k ∴k= ∴与的函数关系式为； （2）①∵薄板的厚度为xcm，木板的厚度为6cm ∴厚板的厚度为（6-x）cm， ∴Q= ∴与的函数关系式为； ②∵是的3倍 ∴-4x+12=3× 解得x1=2,x2=-6(不符题意，舍去) 经检验，x=2是原方程的解， ∴x=2时，是的3倍． 【点睛】此题主要考查函数与方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数或方程求解． 4．（2023·河北·中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．    (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 【答案】(1)的最高点坐标为，，； (2)符合条件的n的整数值为4和5． 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为，令，则； （2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得； ∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 5．（2022·河北·中考真题）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线，的最大值为4， (2)5 【分析】（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值； （2）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程． 【详解】（1）， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4， 把代入中得： ， 解得：或， ∵点在C的对称轴右侧， ∴； （2）∵， ∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到， 平移距离为， ∴移动的最短路程为5． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． 6．（2021·河北·中考真题）下图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶到轴距离．从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点． （1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上； （2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点； （3）在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且．在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，则点横坐标的最大值比最小值大多少？ 【注：（2）中不必写的取值范围】 【答案】（1），见解析，点会落在的台阶上；（2），其对称轴与台阶有交点；（3）． 【分析】（1）二次函数与坐标轴的交点坐标可以直接算出，根据点的坐标可以确定轴，利用函数的性质可以判断落在那个台阶上； （2）利用二次函数图象的平移来求解抛物线，再根据函数的对称轴的值来判断是否与台阶有交点； （3）抓住二次函数图象不变，是在左右平移，要求点横坐标的最大值比最小值大多少，利用临界点法，可以确定什么时候横坐标最大，什么时候横坐标最小，从而得解． 【详解】解：（1）当，， 解得：， 在左侧，， 关于对称， 轴与重合，如下图： 由题意在坐标轴上标出相关信息， 当时，， 解得：， ， ∴点会落在的台阶上，坐标为， （2）设将抛物线，向下平移5个单位，向右平移的单位后与抛物线重合，则抛物线的解析式为：， 由（1）知，抛物线过，将代入， ， 解得：（舍去，因为是对称轴左边的部分过）， 抛物线:， 关于，且， 其对称轴与台阶有交点． （3）由题意知，当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最大； 当，， 解得：（取舍）， 故点的横坐标最大值为：， 当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最小； 当，， 解得：（舍去）， 故点的横坐标最小值为：， 则点横坐标的最大值比最小值大：， 故答案是：． 【点睛】本题综合性考查了二次函数的解析式的求法及图象的性质，图象平移，抛物线的对称轴，解题的关键是：熟练掌握二次函数解析式的求法及图象的性质，通过已知的函数求解平移后函数的解析式． 7．（2024·河北·中考真题）如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． (4)设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 【答案】(1)， (2)两人说法都正确，理由见解析 (3)①；②或 (4) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，可得交点，交点，再进一步求解即可； （4）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，顶点为Q． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； （2）解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：， 当时， ∴， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ∵ ， 当时，， ∴过定点； ∴淇淇说法正确； （3）解：①当时， ， ∴顶点，而， 设为， ∴， 解得：， ∴为； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意）， ∴， ∴交点，交点， 由直线，设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， 同理当直线过点， 直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， （4）解：如图，∵，， ∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接交于，连接，，，， ∴四边形是平行四边形， 当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d， 此时与重合，与重合， ∵，， ∴的横坐标为， ∵，， ∴的横坐标为， ∴， 解得：； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 8．（2024·河北邢台·三模）点，在函数的图像上，当时，函数的最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点重合时；②当点A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围． 本题主要考查了在一定范围内讨论二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图像的特征是解题的关键． 【详解】由，得抛物线的对称轴为，顶点坐标为． 由题意得A点在B点的左边． 如图3，当点B与顶点重合时，，解得； 当点A，B对称时，．此时若函数的最大值为4，最小值为； 当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近， ， 解得， ∴a的取值范围是． 故选D． 9．（2024·河北张家口·三模）点，，均在抛物线上，若，则的值可能是（    ） A． B．1 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质， 首先根据抛物线的对称轴得到，然后根据二次函数的性质得到，然后代入求解即可． 【详解】∵点， ∴抛物线对称轴为 ∵ ∴抛物线对称轴为 ∴，即 ∵ ∴抛物线开口向上 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴的值可能是4． 故选：C． 10．（2024·河北邯郸·三模）已知，，为三个常数，且二次函数的图象经过，两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值可能为； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点有两个 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，即可判断Ⅰ；根据二次函数图象上点的坐标特征判断点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于，即可判断Ⅱ，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵图象经过、两点，， ∴对称轴在到之间，故结论Ⅰ不正确； ∵图象经过、两点，，对称轴为直线， ∴点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于8， ∴点满足条件的点有两个，故结论Ⅱ正确； 故选：． 11．（2024·河北秦皇岛·一模）抛物线与轴交于点（在左侧），两点与抛物线的顶点构成的三角形，当内心与外心重合时，此时抛物线顶点记为点．若拋物线的顶点到轴的距离比点到轴的距离大时，求的取值范围．甲求得；乙求得．下列说法正确的是（    ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．二人答案合在一起才正确 D．二人答案合在一起也不正确 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质、等边三角形的性质，由二次函数解析式得出，，，由内心与外心重合，得出是等边三角形，从而得出到轴的距离为，由拋物线的顶点到轴的距离比点到轴的距离大，即可得出答案． 【详解】解：抛物线与轴交于点（在左侧）， ，， ， ， 顶点， 两点与抛物线的顶点构成的三角形，内心与外心重合， 是等边三角形， 到轴的距离为， 拋物线的顶点到轴的距离比点到轴的距离大， ， 解得：或， 故选：C． 12．（2024·江西赣州·模拟预测）已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：如图所示， A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D 13．（2024·河北石家庄·二模）老师给出了二次函数的部分对应值如表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 同学们讨论得出了下列结论， ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是方程的一个根； ⑤若，是抛物线上的两点，则． 其中正确的是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据当和时，函数值相等，求出对称轴，判断②，得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，判断①，得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，判断③，根据时，，判定④，根据抛物线的开口向上，反例“若，都在对称轴左边时，随的增大而减小，则”，判定⑤，综合得出答案即可． 【详解】解：∵当和时， ∴函数图象抛物线对称轴为，则为最低点，故②错误， ∴抛物线的开口向上，故①正确， ∵， ∴的对称点为， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，，故③正确， ∵时，， ∴是方程，即方程的一个根，故④正确， ∵抛物线的开口向上， ∴若，都在对称轴左边时，随的增大而减小，则，故⑤错误， 综上所述，正确的是①③④， 故选：A． 14．（2024·河北石家庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式等知识，利用数形结合和分类讨论是解题的关键． 由完美点的概念和根的判别式求出和的值，再由抛物线的解析式求出顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，根据函数值，即可求得的取值范围． 【详解】解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个完美点， ∴，则， 又方程根为， ∴，， ∴函数， 该二次函数图象如图所示，顶点坐标为， 与轴交点为，根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点， 在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；且当时，函数的最大值为，最小值为，则． 故选：B． 15．（2024·河北唐山·三模）某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当时，，那么当成本为元时，边长为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，求出函数的解析式是解答本题的关键．设，由待定系数法就可以求出解析式，把代入函数解析式就可以求出结论． 【详解】解：设， 当时，， ，， ， 当成本为元时， 有， ， ． 故选：B． 16．（2024·河北邯郸·三模）函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据二次函数的以及一次函数的解析式分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴当时，函数图象为直线，且，当时，为对称轴为直线的抛物线， 当时，，代入二次函数解析式的， ∴两段函数图象是连续的， 故选：A． 17．（2024·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由二次函数的图象与轴交于两点，得对称轴为直线，从而得，故①正确，当时，，进而得，，故②错误；先求得点，当时，，，当时，，，从而得的值有个，故③正确；由二次函数，得顶点，进而得，再分类讨论即可得解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点， 对称轴为直线， ， ， 故①正确， 当时，， ， ， ， 故②错误； 二次函数， 点， 当时，， ， 当时，， ， 当是等腰三角形时，的值有个， 故③正确； 二次函数， 顶点， ， 若，可得， ， ， 若，可得， ， ， 当是直角三角形时，或， 的值有个， 故④错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，根据二次函数的性质判断各项符号，勾股定理以及等腰三角形，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 18．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中： ①当或时，；    ②当或时，； ③当时随x的增大而增大；     ④使的x的值有3个． 其中正确的个数有（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由图知：抛物线与直线交于和，由此可判断①正确；求出，将和代入求值即可判断②正确；由，根据二次函数的增减性可判断③错误；由得，则可得或．根据一元二次方程根的判别式即可判断④错误． 【详解】由图知：抛物线与直线交于和， 当或时，； 故①正确； 当时，， 当时， ， 故②正确； ，开口向下，对称轴为， ∴当时随x的增大而减小；    故③错误； 由得， ∴或． 由得， ∵， ∴此方程无解； 由得， ∵， ∴此方程由两个不相等的实数根． ∴使的x的值有2个， 故④错误； 综上，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数综合以及函数增减性等知识，正确利用数形结合得出是解题关键． 19．（2024·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点和在抛物线上，设该抛物线的对称轴为直线． （1）当时，b的值为 ； （2）若，则满足条件的整数t有 个． 【答案】 2 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）根据，得到点关于对称轴对称，根据对称轴公式求出的值即可； （2）根据，结合抛物线的开口向上，过原点，得到原点的对称点的横坐标在之间，列出不等式组求出的范围，进而求出其整数解，即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，则点关于对称轴对称， ∴对称轴为， ∴； 故答案为：； （2）∵，当时，， ∴抛物线过原点， ∵对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为：， ∵， ∴点和在点的两侧， ∴， ∴， ∴整数有2，3，共2个； 故答案为：2． 20．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1） ； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ． 【答案】 4 8 【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，先得出抛物线的顶点坐标为：，结合顶点在线段上运动可得；当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出此时D点横坐标为5；当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值，结合平移，可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：， ∵顶点在线段上运动，点A，B的坐标分别为和， ∴，， 当点C的横坐标最小值为时，抛物线顶点在线段的最左端点处， 即对称轴为， 此时D点横坐标为5， 当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值， 此时顶点向右平移了与线段等长的距离， ∵，平移前D点横坐标为5， ∴平移后D点横坐标为：， 此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8． 故答案为：4，8． 21．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）小王和小李先后从地出发沿同一直道去地设小李出发第时，小李、小王离地的距离分别为、，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是． （1）小李出发时，小王离地的距离为 ． （2）小李出发至小王到达地这段时间内，当小李出发 时两人相距最近这个最近距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，掌握一次函数与二次函数在行程中的数量关系是解题的关键． （1）根据小李出发时，时间为零，代入计算即可求解； （2）设两人相距，根据题意可得，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）小李：，小王：， 当时，小李：，小王：， ∴（米）； （2）设小李和小王相距米， ∴ ， ∴当时，小李与小王相距最近，最近为米， ∴小李出发分钟时两人相距最近，最近距离为米， 故答案为：，， ． 22．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图是小李同学设计的一个动画示意图，光点从点发出，其经过的路径为抛物线： 的一部分，并落在水平台子上的点处，其达到的最大高度为，光点在点处被反弹后继续向前沿抛物线：的一部分运行，已知台子的长，，点 是的中点． (1)求抛物线的对称轴及函数表达式； (2)若光点被弹起后，落在台子上的之间不含端点，求 所有的整数值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴． （1）根据题意得出对称轴为直线，进而求得顶点坐标，设解析式为将点 代入，待定系数法求解析式，即可求解． （2）根据抛物线的对称性，求得的中点进而求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：点 ，点 是抛物线上的一对对称点， 对称轴为直线 抛物线 达到的最大高度为， 设解析式为 将点 代入，得 解得， 抛物线的函数表达式为 （2），， 又 ， 点，点， 当点 与点 是抛物线上的一对对称点时，， 当点 与点 是抛物线上的一对对称点时， ， ， 所有的整数值为，， 23．（2024·河北石家庄·三模）嘉淇设计了一个程序，如图，抛物线为导电的线缆，第一象限内有一矩形区域，边分别在y轴，x轴上，点B的坐标为，其中矩形的顶点A，B，C，D处有四个通电开关． (1)点A的坐标________； (2)当时，求抛物线L的对称轴和y的最小值； (3)设抛物线L的顶点为点E． ①求点E的坐标（用含p的式子表示）； ②当点E在矩形的边上时，求点E的坐标； (4)当导电线缆（即抛物线L）接触开关时，即可通电，直接写出通电时整数p的值． 【答案】(1) (2)对称轴 (3)①E的坐标为，②或 (4)或1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，顶点坐标，一次函数的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合矩形的性质以及点B的坐标为，即可作答 （2）将代入解析式，求出函数解析式，转化为顶点式，进行求解即可． （3）①将二次函数转化为顶点式，进行写出顶点坐标，令，等于横纵坐标，写出直线的解析式即可； ②结合点E的坐标的性质，令时，，或令时，，分别计算，即可作答． （3）将，两点坐标代入求出的值即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点B的坐标为 ∴ ∴点A的坐标是； （2）解：当时， ， 抛物线的对称轴为，的最小值为； （3）解：①， 抛物线顶点E的坐标为， 令，， 顶点E所在直线的解析式为； ②∵四边形是矩形，点B的坐标为 ∴ ∵点E所在直线的解析式为； 当时，，解得，此时 当时，，解得，此时 ∴或 （4）解：抛物线顶点始终在直线上， 当时，，， 在位置变化的过程中，会经过顶点，，不会经过顶点，， 当经过点时，把，代入解析式，得，解得或； 当经过点时，把，代入解析式，得，解得（舍去）； ∴直接写出通电时整数p的值为或1． 24．（2024·河北邯郸·三模）如图某桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．    (1)按如图所示的坐标系，求该桥拱的函数表达式； (2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？ (3)如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移（）个单位长度，使得平移后的函数图象在之间，且随的增大而减小，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)小船的最大宽度为米 (3)或 【分析】（1）先求出顶点的坐标，再根据待定系数法求解即可得解； （2）二次函数的表达式中，令得，求解该方程即可得解； （3）根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，从而得或上，满足随的增大而减小，解不等式组即可得解． 【详解】（1）解：∵，且点在轴上， ∴， 根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线， ∴点， 设抛物线的解析式为，把原点代入得 ， 解得， ∴此二次函数的表达式． （2）解：∵二次函数的表达式， ∴令得： ， 解得：，， ∴小船的最大宽度为：米． （3）解：根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，根据图像性质，得到函数在或上，满足随的增大而减小， ∴或， 解得或， 故的取值范围是或．    【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，解不等式组，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键． 25．（2024·河北邯郸·模拟预测）高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． 水流的高度与到高楼的水平距离之间的函数关系式为． (1)求消防员第一次灭火时，水流所在抛物线的解析式； (2)若两次灭火时，水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离； (3)若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)之间的距离为 (3) 【分析】（1）根据题意，设顶点式，利用待定系数法将代入即可得到答案； （2）根据题意，设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，利用待定系数法求出表达式，令，则，根据，，即可得到答案； （3）根据题意，由待定系数法得到灭火过程中与始终满足，由要扑灭距地面高度范围内的火苗，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知第一次灭火时水流最高点的坐标为， 设水流所在抛物线的解析式为， 点在抛物线上， ，解得， ， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为； （2）解：两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为3米， 可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为， 由题意可知该抛物线过点， ， 解得， ， 令，则， ， ， ， 即之间的距离为； （3）解：由题意可知灭火过程中与始终满足， 将代入后可得， ， ， 当抛物线过点时，，解得； 当抛物线过点时，，解得； ． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求函数表达式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． 26．（2024·河北·三模）如图，抛物线的顶点为，与轴的交点为和（其中点与原点重合），将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：点，，在同一条直线上； (3)若点是原抛物线上的一动点，点是旋转后的图形的对称轴上一点，为线段的中点，在第一象限内存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，旋转变换，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用和方程思想的应用． （1）由待定系数法即可求解； （2）求出直线的表达式为：，则时，，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式得：，即可求解；当、为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）证明： 设直线的表达式为 ∵， ∴直线的表达式为：， ∵ ∴当时，则 解得或 ∴ ∵与轴的交点为和（其中点与原点重合），将抛物线绕点逆时针方向旋转， ∴ ∴点， 则时，， 即点在直线上， 故点，，在同一条直线上； （3）解：存在，理由： ∵，，为线段的中点， ∴则点， 设点，点， ∵ ∴当时，则 解得或 ∴ 当为对角线时， 由中点坐标公式得 ∴ ∵点，点，点， ∴， 解得：， 即点的坐标为， ∵点在第一象限内 ∴点的坐标为 当为对角线时，则 同理可得： ∴解得：， 则点的坐标为：， ∵点在第一象限内 ∴点的坐标为：都不符合题意 当为对角线时，则 则， ∴ 判别式 此时方程无解 综上，点的坐标为 27．（2024·河北唐山·二模）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．示意图如图，若该航模飞机从水平安全线上的A处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为60m． (1)求a的值； (2)求y关于x的函数解析式，并求飞行高度y的最大值； (3)该活动小组在水平安全线上的点A处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 【答案】(1) (2)；60米 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）先根据求出时间值，然后把 时, 代入解析式计算即可； （2）由得到，然后代入即可得到解析式，然后利用公式求函数解析式即可； （3）由题可知当时，函数关系式为，计算出飞行距离的最大值，然后求出的最小值即可解题． 【详解】（1）对于 当时, ∴当 时, 解得 ； （2）， ， 由抛物线的对称性可知，当时,最大, 最大值为， 答：飞行高度的最大值为． （3）当最小时，由题意知，， 当时，该航模飞机飞行的高度 与飞行的水平距离之间的函数关系式为， 令即 解得， ， ∴的最小值为 28．（2024·河北石家庄·二模）如图1，在立柱上竖直安装了一个喷水装置，建立如图2所示的平面直角坐标系，一个单位长度代表长，水流从轴上的喷头喷出，，水流的路线为抛物线（，其中，均为常数）的一部分，当水流到达处时，达到最大高度，此时水流的最高点到喷头的水平距离为． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)定义“高差”：当抛物线上的点到喷头的水平距离在时，抛物线上的点到水平地面的距离的最大值与最小值的差叫作到之间的“高差”，记作（单位：）． ①当时，求高差的值； ②若时，总有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为，点的坐标为 (2)①；② 【分析】（1）根据题意知抛物线过点，可得的值，根据对称轴为直线，可确定的值，得到抛物线的表达式，继而可得点D的坐标； （2）①根据“高差”定义可知，当时，有，由（1）知：抛物线的表达式， 结合增减性知当时，取得最小值，当时，取得最大值，可得解；②．理由：根据抛物线最高点为，得当时，取得最大值，再根据题意当时，总有，可得y取得最小值，可得，求解后可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线过点， ∴， 又∵当水流到达处时，达到最大高度，此时水流的最高点到喷头的水平距离为， ∴对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线L的表达式：， 即， ∴抛物线最高点D的坐标为； （2）①根据“高差”定义可知，当时，有， ∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值：， ∴高差为； ②．理由： ∵抛物线最高点为， ∴当时，取得最大值， ∵时，总有， ∴y取得最小值：， 当时，得：， 解得：或， ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，总有最大值为，最小值为，即． 【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程的应用等知识点．理解“高差”的意义是解题的关键． 29．（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面AB的坡比为（其中），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米． 以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； ①河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ ②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 (3)①米，② 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，坡度比，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数法求解析式是关键． （1）依据题意得：二次函数的顶点坐标为．故设该二次函数的解析式为：，再结合经过原点，求出a即可得解； （2）依据题意，由（1）该二次函数的解析式为：，从而可得当时，，进而可以判断得解； （3）①先求出，B的坐标为，再设的解析式为，建立方程组可得k，b进 而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解；②根据平移可得新的抛物线解析式为：，结合坝面AB的坡比为，根据①中求解点B坐标的方法同理可求出点G的坐标为：，根据点G在抛物线的图象上，问题即可得解． 【详解】（1）由题意得：二次函数的顶点坐标为． 设该二次函数的解析式为：， 二次函数经过原点， ， 解得：． 该二次函数的解析式为：； （2）水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当时，， ∵， ∴水柱不能喷射到护栏上； （3）①∵河道坝高米，坝面AB的坡比为（其中） ∴， 即， 则点B与原点O的水平距离为：， ∴点的坐标为， 又∵点的坐标为， 设的解析式为 解得： 解得：（不合题意，舍去），， 当时，， 即：河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上； ②将抛物线向上平移m米， 则可得新的抛物线解析式为：， 当坝中水面离地平面距离为h米， 则坝面截线与水面截线的交点G的纵坐标为：，如图， 结合坝面AB的坡比为，根据①中求解点B坐标的方法同理可求出点G的坐标为：， ∵点G在抛物线的图象上， ∴， 整理得：， 即m与h的关系式为：． 30．（2024·河北石家庄·三模）在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止，某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区所在的进水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其关系式为． (1)c的值为__________，B点的坐标是__________． (2)进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．求x关于t的函数关系式． (3)在（2）的条件下，当：t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 【答案】(1)65， (2) (3)当为2时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是40 【分析】（1）根据，得出当时，，将代入二次函数解析式，求出，即可得出B点的坐标； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出直线的解析式为，表示出，根据二次函数的性质得出当时，取得最大值，此时，把代入中，解得，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 当时，， ． 将代入二次函数解析式得： ， 点的坐标为． 故答案为：65；． （2）解：设关于的函数解析式是， ∵点，，在该函数图象上， ∴， 解得， 关于的函数解析式是． （3）解：设直线的解析式为， 点，点在该直线上， ∴， 解得：， 直线AB的解析式为． ． 当时，取得最大值，此时． 将代入中，解得，即当为2时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是40． 【点睛】本题考查二次函数的应用，属抛物线与一次函数的综合题目，熟练掌握用待定系数法求抛物线的解析式、一次函数解析式，二次函数的图象性质是解题的关键． 31．（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，从原点的正上方8个单位处向右上方发射一个小球，小球在空中飞行后，会落在截面为矩形的平台上（包括端点），把小球看作点，其飞行的高度与飞行的水平距离满足关系式．其中，，． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若落在平台上的小球，立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与形状相同的拋物线，在轴有两个点、，且，，从点向上作轴，且．若沿抛物线下落的小球能落在边（包括端点）上，求抛物线最高点纵坐标差的最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线最高点纵坐标差的最大值是． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）将代入，即可求解； （2）将，分别代入，计算即可求解； （3）设抛物线的解析式为，若抛物线经过点，时，求得最大值为，抛物线经过点，时，求得最大值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：由题意得，， ∴当抛物线经过点时，， 解得； 当抛物线经过点时，， 解得； ∴的取值范围为； （3）解：由题意得，，，， 设抛物线的解析式为， 若抛物线经过点，时， 有， 解得， ∵， ∴此时抛物线的最大值为； 若抛物线经过点，时， 有， 解得， ∵， ∴此时抛物线的最大值为； ∴抛物线最高点纵坐标差的最大值是． 32．（2024·河北邯郸·模拟预测）将小球（看作一点）以速度竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度与时间的函数解析式为，若上升的初始速度，且当时，小球达到最大高度． (1)求小球上升的高度与时间的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度； (2)向上抛出小球时再让小球在水平方向上匀速运动，且速度为，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度与时间的函数关系式与（1）中的解析式相同．在如图所示的平面直角坐标系中，轴表示小球相对于抛出点的高度，轴表示小球距抛出点的水平距离． ①若，当时，小球的坐标为______，小球上升的最高点坐标为______； ②在①的条件下求小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式； ③在小球的正前方的墙上有一高的小窗户，其上沿的坐标为，若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好击中点，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度的取值范围． 【答案】(1)，小球能够上升的最大高度为米 (2)①，②③或 【分析】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，读懂题意，理解小球的水平距离和竖直距离是解题关键． （1）将，代入解析式，再根据当时，小球达到最大高度，得到对称轴为直线，根据对称轴公式求出的值，求出抛物线的解析式，将代入，求出上升的最大高度即可； （2）①把代入（1）中解析式，求出小球的纵坐标，用求出小球的横坐标，进而得到小球的坐标，根据，小球上升的高度最高，求出此时的水平距离即为小球的横坐标，即可； ②根据水平距离等于，即：，得到代入（1）中的解析式即可得出关于的解析式； ③分别求出小球击中点和点的时间，进而求出对应的的值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， ∵当时，小球达到最大高度， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴小球能够上升的最大高度为米； （2）①∵， ∴当时，， ∴小球的纵坐标为3， ∵小球的运动的水平距离为：m， ∴小球的横坐标为2， ∴小球的坐标为； 由（1）知当时，小球到达最高高度为4m， ∴此时小球的水平距离为m， ∴此时小球的坐标为，即最高点的坐标为； 故答案为：，； ②∵水平距离， ∴， ∵，把代入，得：； ∴； ③∵，上沿的坐标为， ∴， 当小球刚好击中点即：时，， 解得：或， 当时，； 当时，； 当小球刚好击中点即：时，， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴或． 33．（2024·河北石家庄·三模）一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高OB为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； (2)若防守队员小明跳起后能摸到的最大高度为2.25米，他此时站在离球门3米远的位置，求小明至少后退多少米才能防守住这次射门？ (3)在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________．（填序号即可，） ①；    ②；    ③． 【答案】(1)，此次射门在不受干扰的情况下能进球 (2)小明至少后退才可能防守住这次射门 (3)② 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数的平移，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）根据题意设抛物线为．将代入解析式得到，令，得到，即可解题； （2）根据小明的最大起跳高度是，代入解析式求解，即可解题； （3）根据题意设小华带球向正前方移动b m，得到移动后的解析式为．将B代入求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点为， 可设抛物线为． 又抛物线过， ． ． 所求抛物线为． 又令， ． 此次射门在不受干扰的情况下能进球． （2）解：由题意，结合（1）， 抛物线的解析为， 又小明的最大起跳高度是， ． 或． 小明需要站在抛物线左侧防守， ， m,即小明至少后退才可能防守住这次射门． （3）解：由题意，设小华带球向正前方移动b m， 移动后的解析式为． 又B为， ． 或2.4（，舍去）． 小华最多可以向球门移动约． 故答案为：②． 34．（2022·河北邢台·三模）如图是某山坡的截面示意图，坡顶距轴（水平），与轴交于点，与坡交于点，且，坡可以近似看作双曲线的一部分，坡可以近似看作抛物线的一部分，且抛物线与抛物线的形状相同，两坡的连接点为抛物线的顶点，且点到轴的距离为． (1)求的值； (2)求抛物线的解析式及点的坐标； (3)若小明站在坡顶的点处，朝正前方抛出一个小球（看成点），小球刚出手时位于点处，小球在运行过程中的横坐标、纵坐标与小球出手后的时间满足的关系式为，，是小球出手后水平向前的速度． ①若，求与之间的函数关系式； ②要使小球最终落在坡上（包括，两点），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)，点的坐标为 (3)①；②的取值范围是 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得抛物线的解析式为，令，解方程即可求得点的坐标； （3）①当时，，变形得，将代入，即可得出答案；②由，可得，将代入，得，再分别把点、的坐标代入求出对应的的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 双曲线经过点， ； （2）解：由（1）得双曲线的解析式为， 点在双曲线上， ， ， 抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为， 抛物线的解析式为，即， 令，得， 解得：，（舍去）， ； （3）解：①当时，， ， 将代入，得， 整理得：， 与之间的函数关系式为； ②， ， 将代入，得， 把代入，得：， 解得：， 是小球出手后水平向前的速度， ， ， 把代入，得：， 解得：， 是小球出手后水平向前的速度， ， ， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 35．（2024·河北邯郸·三模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， ； ②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为 ． 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围． 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积． 【答案】（1）①，②1（2）（3）（4） 【分析】（1）①根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；②根据点到焦点的距离等于点到定直线的距离，得到动点到焦点的最小值即为抛物线的最低点到定直线的距离，即为的长度； （2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解； （3）由题意得，设直线交准线l于点N，则可分别得点Q与N的坐标，从而得关于x的表达式，利用则可求得x的范围． （4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积． 【详解】解：（1）①∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 故答案为：，； ②∵点到焦点的距离等于点到定直线的距离， ∴动点到焦点的最小值即为抛物线的最低点到定直线的距离，即为的长， ∵， ∴； 故答案为：1； （2）由（1）知抛物线的焦点F的坐标为， ∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍， ∴，整理得：， 又∵， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； （3）∵点P的横坐标为x，且点P在抛物线上， ∴， 如图，连接，设直线交准线l于点N，则； 由（1）知，抛物线的焦点为，准线的方程为； ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解，得：； 对于，化简得：， 考虑二次函数，令， 解得：， 即二次函数图象与x轴交于， ∵二次函数的图象开口向上， ∴的解集为：或； 综上，不等式的解集为：， 即x的范围为． （4）∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：    若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：    ∵点的坐标为，准线， ∴，点的横坐标为，代入解得， 即，，的最小值为， 则的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，根据交点确定不等式解集等知识，理解题干中焦点与准线的意义，善于利用抛物线上的点到焦点的距离等于此点到准线的距离是解题的关键． 36．（2024·河北唐山·二模）如图①，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线的绳子． (1)求绳子最低点到地面的距离． (2)如图②，因实际需要，需用一根立柱撑起绳子． ①若在离的4米位置处用立柱撑起，使立柱左侧的抛物线的最低点距的距离为1米，离地面1.8米，求的长； ②将立柱来回移动，移动过程中，在一定范围内，总保持立柱左侧抛物线的形状不变，其函数表达式为，当抛物线最低点到地面距离为米时，求m的值． 【答案】(1)绳子最低点到地面的距离为米； (2)①；②= 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和待定系数法． （1）求出抛物线的顶点坐标即可得出答案； （2）①先用待定系数法求出左侧抛物线的解析式，然后求出当时，y的值，即可得出答案； ②根据抛物线对称轴为直线，得出当当抛物线最低点到地面距离为米时，顶点坐标为，代入抛物线解析式求出结果即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 绳子最低点到地面的距离为米； （2）解：①由题意可知，立柱左侧的抛物线的顶点坐标为， 设， 抛物线与轴的交点A的坐标为， 把代入，得， ， 当时，． ； ②抛物线对称轴为直线， 把代入中，得： ， 或（舍）． 故的值为． 37．（2024·河北邯郸·三模）如图1，平面直角坐标系中，有抛物线：．设抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，且． (1)求的值． (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，使过点和，求抛物线的解析式． (3)设（2）中在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为．过点作直线平行于轴，与图象交于两点，如图3． ①过的最高点作直线交于点（点在点左侧），求的值； ②是图象上一个动点，当点与直线的距离小于4时，直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②，且 【分析】（1）由题意得到，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由平移性质及题中图象可知抛物线过，设抛物线的解析式为，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （3）①根据题意，得到，求解得出，，由两点距离公式求出，代值求解即可得到答案；②利用二次函数图象与性质，根据题意分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 将代入，得； （2）解：由平移性质及题中图象可知抛物线过， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：①由（1）得，抛物线的解析式为， 抛物线顶点， 依题意，过点作直线平行于轴，则直线为；过的最高点作直线，则直线m为， 令，解得或， ∵点在点左侧， ∴，， ∴，， ∴， ②点横坐标的取值范围是，且． 由的图象及直线为可知，当时，，解得或，则， 当点位于点左侧时，， 令，解得或（舍去），此时的取值范围是； 由（2）得抛物线：，可得顶点坐标为，而直线l为，则顶点与直线的距离恰好为4， 当点在之间，且不与顶点重合时，与的距离小于4，此时的取值范围是，且； 当点在之间时，均符合题意，此时的取值范围是； 当点位于点右侧时，， 令，解得或（舍去），此时的取值范围是； 综上，点横坐标的取值范围是，且． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象平移、二次函数图象与性质、两点距离公式等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 38．（2024·河北邯郸·二模）如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；将点代入，即可求出的值； （2）连接，作轴于，作轴于，证明，可得，，故抛物线的顶点的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式； （3）设点，作轴于，轴于，于，根据旋转可得，进而可得点的坐标为，点的坐标为，再分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：由，可得， ∴顶点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴可得， 解得； （2）对于抛物线：，由（1）可知，， 令，可得， 整理可得， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴，； 如下图，连接，作轴于，作轴于， ∵， ∴， 根据题意，点，关于点成中心对称， ∴过点，且， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∵抛物线由绕点旋转后得到， ∴抛物线的函数表达式为； （3）∵抛物线由绕轴上的点旋转后得到， ∴顶点，关于点成中心对称，由（2）知，点的纵坐标为8， 设点，如下图，作轴于，轴于，于， ∵旋转中心在轴上， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 根据勾股定理得，， 显然，和不可能是直角三角形， 分情况讨论： ①当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得，， ， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为； ②当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得： ， ， ∴，解得：， ∴，∴点P的坐标为， ③当是直角三角形时， ， ， i）当时，， 即，解得， ∴， ∴点的坐标为； ii）当时，， 即， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； iii）∵， ∴． 综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时， 点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了图形的变换—中心对称变换、二次函数综合应用、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，根据旋转中心是对应点连线的中点确定点的坐标和分情况讨论是解答本题的关键． 39．（2024·河北保定·一模）如图，直线l：与坐标轴分别交于点A，C，抛物线L：经过点和点C，其顶点为M，对称轴与x轴交于点H，点P是抛物线L上的一点，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线L的解析式，并经过计算判断抛物线L是否经过点A． (2)若点P介于点M，B之间（包括端点），点D与点P关于对称轴对称，作轴，交l于点E． ①当时，求的长； ②若的长随m的增大而增大，求m的取值范围． (3)若点P在第二象限，直接写出点P与直线l距离的最大值． 【答案】(1)，抛物线L经过点A (2)①，② (3) 【分析】（1）先求点，用待定系数法求解析式，再将点A坐标代入解析式判断即可； （2）①先求点，根据对称性求出，再求出即可； ②设，表示出， 根据对称轴及开口方向求取值范围； （3）如图，作 于点Q，作轴于点G，交于点F，发现是等腰直角三角形是关键，则，则，即可求出最值． 【详解】（1）解：对于，时，，则点, ∴代入抛物线得： ， 解得： ∴抛物线L的解析式为， 把代入，得，则， 把代入，得， ∴抛物线L经过点A． （2）解：① 当时， ， ∴， 由知，抛物线L的对称轴为直线， ∴ ， 将代入得：， ∴， ∴， ② 设，由点D与点P关于对称轴对称 得， ∵点E在直线上， ∴，即， ∴， 又， ∴若的长随m的增大而增大，m的取值范围是． （3）解：如图，作 于点Q，作轴于点G，交于点F． 在中，，则， 可知中，， 于是， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， 则， ∴的最大值为（此时符合题意）． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质等，考查运算能力、推理能力、几何直观． 40．（2024·河北秦皇岛·一模）如图是某数学学习小组设计的动画游戏：轴上依次何一个正方形、矩形、正方形，其中，，，，，、分别为的中点，以直线为轴建立平面直角坐标系．从点处向右上方沿拋物线：发出一个带光的点．点落在矩形EFGH的边EH上后立即弹起，形成最大高度为7的抛物线；落在正方形的边上后又立即弹起形成最大高度为3的抛物线，经过两次弹起后点落在轴上，已知、、形状相同．    (1)当点发出后达到最大高度时，求点到点距离； (2)求点第一次弹起后形成的拋物线的解析式； (3)左右平移发出点的位置（点只能在AD边上发出，其他保持不变）若使点P只经过一次弹起后就能落在轴上，直接写出点的移动方向和移动距离的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)向左平移d的范围；向右平移的范围． 【分析】此题考查了二次函数图象及其性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题． （1）先求得拋物线的顶点坐标，在中，利用勾股定理求解即可； （2）设的解析式为：，求得点落在矩形的边上的点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）先求得点落在矩形的边上和在正方形的边上的落点，再根据平移的距离求解即可． 【详解】（1）解：，    点发出后达到最高点的坐标为， 又的坐标为，的坐标为， 在中，， ∴； （2）解：设的解析式为：， 在中，令，则，， 点落在矩形的边上的点的坐标为， 把代入得， 解得或(舍)， ∴的解析式为：； （3）解：∵点落在矩形的边上的点的坐标为， ∴点向左或向右最多移动2个单位长度， 当时， 解得或(舍)， 当时， 解得或(舍)， ， ∴点向左平移距离的取值范围是； 当时， 解得或(舍)， 即拋物线落在正方形的边上的点处， 点的坐标为即， ， ∴点向右平移距离的取值范围是； 综上，点向左平移距离的取值范围是；向右平移距离的取值范围是． 41．（2024·河北保定·二模）如图1，一块矩形电子屏中，G为上一感应点，，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带和正常工作，，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形． (1)时，照亮的区域面积______，并求a值． (2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数． ①求出点P在线段上运动时S关于t的函数解析式； ②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域的面积S为17． 【答案】(1)； (2)①；②的值为、或时，照亮区域的面积为17 【分析】（1）先得出，利用勾股定理求出的长即可得出，根据及图像得出点运动到点时，理由勾股定理求出即可得值； （2）①如图连接，根据垂线段最短得出点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小时，利用证明，得出可求出此时的值，根据点纵坐标可得，利用勾股定理求出的长，根据，及时的值，利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；②分点在和上两种情况，分别求出值即可． 【详解】（1）解：∵，点的速度为每秒个单位， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， 由图2可知，时， ∵， ∴时，点运动到点， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图，连接， ∵点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小， ∴此时，， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴时，， 由图2可知，点运动到点时，， ∴， ∴，， ∴时，， 设， ∴， 解得：， ∴． ②当点在上时，， ∴， 解得：，（负值舍去） 当点在上时，， 解得：，， 综上所述：的值为、或时，照亮区域的面积为17． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及待定系数法求二次函数解析式，正确提取函数图像中的信息并分类讨论是解题关键． 42．（2024·河北石家庄·二模）如图，已知矩形中，，，点P从点C出发沿边向点B运动，连接，过点P作交边于点Q，以为对角线作正方形． (1)若，则______． (2)点M一定在的角平分线上吗？请说明理由； (3)当点P从点C重合的位置运动至点M落在边上时，求点M运动的路径长； (4)在点P从点C到点B的运动过程中，请直接写出的外心到边的距离的最大值． 【答案】(1) (2)点M一定在的角平分线上，理由见解析 (3) (4)3 【分析】（1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）过点作，证明，得到，即可得出结论； （3）连接，由（2）可知，点在的角平分线上，求出点与点重合时的长，以及点落在上的长，两条线段的差值即可点运动的路径长； （4）取的中点，过点作，垂径定理，得到为的中点，进而得到，得到当最大时，最大，设，根据，列出比例式，求出的最大值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵矩形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）一定，理由如下： 过点作，则四边形为矩形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点一定在的角平分线上； （3）连接，由（2）知：点一定在的角平分线上， ∴， 当点与点重合时，点与点重合，此时：， ∵正方形， ∴， 当点M落在边上时，此时， ∴， ∴点运动的路径长为：； （4）设的交点为， ∵， ∴点为的外心， 过点作，则：， ∴为的中位线， ∴， 设，则：， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为， ∴的最大值为3， 即：的外心到边的距离的最大值为3． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的外心，三角形的中位线等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 43．（2024·河北唐山·二模）如图，抛物线L：与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值； (2)平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N（点M在点N的左边），交线段于点R．当R为线段的中点时，求点N的坐标； (3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线L平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线L平移的最短路程； (4)P是抛物线L上任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m．过点P作轴于点Q，E为y轴上的一点，纵坐标为．以为邻边构造矩形，当抛物线L在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】（1）直接写出对称轴，待定系数法求出的值即可； （2）求出直线的解析式，根据对称性求出点坐标，进而得到点的纵坐标，代入二次函数解析式，求解即可； （3）求出线段的三等分点的坐标，用待定系数法可得抛物线平移后的解析式，从而可得评议前后两函数顶点之间的距离，即可得出答案； （4）分两种情况：当时，点在点上方，结合图象求出，当 时，点在点上方，结合图象求出，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线L：与x轴交于A，两点， ∴对称轴为直线，， ∴； （2）由（1）知，， 当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∵平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N， ∴关于直线对称， ∵R为线段的中点， ∴的横坐标为， 把代入，得：， ∴， ∵轴， ∴， 把代入，得：， 解得：或， ∵点在点的右侧， ∴点的横坐标为； （3）∵，， ∴将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得，， ∴线段的两个三等分点坐标为，， 设平移后的抛物线解析式为， ∵抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分， ∴， 解得， ∴平移后的抛物线解析式为，其顶点为， 而抛物线的顶点为， ∴平移前，后抛物线的顶点之间的距离为， ∴抛物线平移的最短路程为； （4）∵轴， ∴ ， 当时，点在点上方， ∵， ∴，解得， ∵， ∴； 当时，点在点上方， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 综上所述：的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图形和性质，二次函数图象的平移，矩形的性质等知识点，综合性强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 44．（2024·河北邯郸·一模）【建立模型】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：； 【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到、直线交x轴于点D． ①点C的坐标为______； ②求直线的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，直接写出点M的横坐标． 【答案】（1）见解析； （2）①；②直线的解析式为；（3）或 【分析】（1）根据题意得出，，证明，即可得证； （2）①过点作轴于点，同（1）的方法，证明，根据一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，求得，，进而可得点的坐标；②由，设直线的解析式为，将点代入得直线的解析式为； （3）根据解析式求得，；①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，证明，根据得出，设，则，求得点，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当点在轴的上方时，如图所示，过点作，于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，同①的方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）如图所示，过点作轴于点，    ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点， 当时，，即， 当时，，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵，设直线的解析式为， 将代入得： 解得： ∴直线的解析式为， （3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧， 当时，， 解得：， ∴，； ①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：（舍去），； ②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，    同理可得， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 45．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图①，平面直角坐标系中，有抛物线：．设抛物线与轴相交于点，，与轴正半轴相交于点，且．    (1)求的值及顶点坐标． (2)如图②，将抛物线平移得到抛物线，使过点和，求抛物线的解析式． (3)设（2）中在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为．过点作直线平行于轴，与图象交于，两点，如图③． ①过的最高点作直线交于点，（点在点左侧），直接写出的值__________； ②有一条直线与新图象只有两个公共点，，且直线与的距离大于2，直接写出线段长度的取值范围__________． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)抛物线 (3)①②或 【分析】（1）根据点C的坐标可求出的值，再运用配方法可求出顶点坐标； （2）由抛物线平移得到抛物线，设，把和代入，利用待定系数法即可求解； （3）①由抛物线知顶点坐标为得直线为令抛物线中，则，解得，，从而可得解；②由得直线为，求出直线，直线，分别求出与图形的交点的坐标即可得出的长，从而可解决问题 【详解】（1）解：∵抛物线： ∴当时，， ∴， ∴， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线，， ∵将抛物线平移得到抛物线， ∴设， 把和代入得： 解得，， ∴抛物线 （3）解：①∵抛物线的顶点坐标为， ∴直线为： 令抛物线中，则， 解得，，， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为： ②∵， ∴直线为， 作直线，直线， ∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为； ∴直线与抛物线有两个交点， ∴， 解得，， ∴； 在抛物线中，当时，， 解得，（舍去） 在抛物线中，当时，， 解得，（舍去）， ∴， ∴直线与新图象只有两个公共点，，且直线与的距离大于2时，线段长度的取值范围为或， 故答案为：或    【点睛】本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键 试卷第10页，共86页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！57 学科网（北京）股份有限公司 $$