精品解析：2025年河南省驻马店市上蔡县一中、二中三模数学试题

2025年河南省普通高中招生考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 2025年4月17日，中国电影新类别“虚拟现实电影”的001号龙标授予河南广播电视台出品的《唐宫夜宴》．将“虚拟现实电影”六个汉字分别写在某正方体的表面，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“现”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 虚 B. 实 C. 电 D. 影 3. 计算结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 为了解本班同学做家务情况，劳动委员小耿随机调查了本班8名同学平均每周做家务劳动的天数（单位：天）：2，3，5，5，6，6，6，7，据此小耿估计本班同学平均每周做家务劳动的天数为（ ） A. 6天 B. 5天 C. 4天 D. 3天 6. 已知不等式组只有一个整数解，且其中一个不等式是，则另一个不等式可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，，E是边的中点，连接交对角线于点F，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 你能找到三个连续整数，使得前两个数的平方和等于第三个数的平方吗？如果将这三个连续整数中最小的数设为，那么可得方程，则该方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 如图，在中，，，以为直径的半圆O交于点D，交于点E，连接，若D是的中点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是矩形，E，F分别为边，上两定点，，G为矩形内一点，连接，，点P从点E出发，沿的方向运动，同时点Q从点B出发，沿的方向运动，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，连接，．设P，Q两点运动的速度相同，且运动路程均为x，的面积为S，图是S随x变化的关系图象，连接，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 2025年2月26日清晨，潘建伟团队宣布“九章四号”量子计算机已完成数据采集，这台光子数突破3000的量子装置，将计算优势差距拉升到倍，这意味着全球最快的超算对其1分钟完成的任务需运行五万亿年．数据“五万亿”用科学记数法表示为______． 13. ．少林武术，又称少林功夫，是在河南嵩山少林寺这一特定历史文化环境中形成的．将正面画有少林功夫经典招式——朝阳拳、梅花拳、黑虎拳、罗汉拳的四张卡片背面朝上洗匀，且它们除正面外完全相同．从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片是同一招式的概率是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为______． 15. 如图，是等边三角形，P是内一动点，将点P绕点B逆时针旋转得到点Q，射线和射线交于点D，则______；过点A作交于点E，连接，若，，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，内接于，为直径，． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点C作交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 18. 河南省教育厅通知2025年春季学期开始，全省义务教育阶段学校要每天开设一节体育课，确保学生每天两小时综合体育活动时间．某校为鼓励学生积极参与体育活动，举办了一场跳绳比赛．小晶在本班参加比赛的学生中随机抽取了部分学生的跳绳成绩（用x表示，单位：个），将数据整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），得到如下不完整的统计图表（跳绳的成绩均不低于60个，不超过220个）． 部分学生成绩频数分布表 组别 频数 A组： 3 B组： a C组： 7 D组： 6 部分学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生总数是______人， ______， ______； （2）小晶根据以上数据认为所抽取部分学生成绩的中位数在B组范围内，请判断她的说法是否正确，并说明理由； （3）小晶根据本班学生的成绩，估计全校参加跳绳比赛的3000名学生中有450名学生的成绩低于100个，而实际上只有200名学生的成绩低于100个，请你分析小晶估计不准确的原因． 19. 如图，已知，是反比例函数图象上的两点，过点作轴，过点作轴，两直线交于点，连接，，． （1）求的值； （2）若，D为x轴正半轴上一点，求证：． 以下是小军的证明过程： 证明：如图，过点作交于点，连接，设点B的坐标为，则， ∴直线的函数表达式为，∴， ∴轴，∴， 易证得四边形是矩形． … 请将小军的证明过程补充完整． 20. 如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 21. 端午节将至，小红爸爸计划购买A，B两种品牌共20袋糯米制作粽子售卖．已知用400元购买A品牌糯米的袋数与用350元购买B品牌糯米的袋数相同，且A品牌每袋糯米的糯米的价格比B品牌每袋糯米的价格多10元． （1）求A，B两种品牌每袋糯米的价格； （2）小红爸爸计划购买B品牌糯米的袋数不超过A品牌糯米袋数的，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ （3）小红去商家柜台了解到若整箱（5袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠10元．小红猜想购买A品牌糯米3整箱，购买B品牌糯米1整箱会比（2）中的方案更省钱．请通过计算说明小红的猜想是否正确． 22. 太阳能的特点是巨大、清洁、取之不尽．如图，小明所在的学习小组自制了一个太阳能灶，太阳能灶的关键部件是聚光镜，其截面类似抛物线，我们称之为抛物面．如图，A为抛物面的顶点，当点A与水平地面的距离为时，测得抛物面两端B，C相距，且离地面均为．以O为坐标原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物面的表达式； （2）太阳光线经抛物面反射后集中聚焦在焦点处，将水壶置于焦点位置时，可达到加热目的．经了解，当太阳光线照射在抛物面上的点到地面的距离与其到焦点的距离相等时，加热效果最好，请判断该学习小组自制的太阳能灶是否满足该条件，并说明理由． 23. 小明同学在进行四边形大单元整合知识时，试图用“特殊到一般”的思想方法研究四边形的边长与对角线的关系，下面是他的探究过程． 观察发现】 （1）如图，正方形的对角线长为m，则______（用含m的代数式表示）； 【操作探究1】 （2）如图，菱形的对角线长为m，长为n，则______（用含m，n 的代数式表示）； 【操作探究2】 （3）如图，在中，对角线长为m，长为n，猜想的值并说明理由（用含m，n的代数式表示）； 【拓展应用】 （4）在（3）的条件下，设与交于点O，若，，M为边上一点（不含点B），连接，将沿折叠，点B的对应点为点，当点落在边上时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省普通高中招生考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较实数的大小，熟知正数都大于0，负数都小于0，两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键.根据实数的大小比较方法解答即可. 【详解】解：，， 则各数中比小的数是， 故选：A. 2. 2025年4月17日，中国电影新类别“虚拟现实电影”的001号龙标授予河南广播电视台出品的《唐宫夜宴》．将“虚拟现实电影”六个汉字分别写在某正方体的表面，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“现”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 虚 B. 实 C. 电 D. 影 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“隔一面，端见”是对面，即可解答． 【详解】解：在原正方体中，与“现”字所在面相对的面上的汉字是“电”． 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法运算，首先对括号内的项进行乘方运算，再根据同底数幂相除的法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 4. 如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质即可得解．熟记性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：B． 5. 为了解本班同学做家务情况，劳动委员小耿随机调查了本班8名同学平均每周做家务劳动的天数（单位：天）：2，3，5，5，6，6，6，7，据此小耿估计本班同学平均每周做家务劳动的天数为（ ） A. 6天 B. 5天 C. 4天 D. 3天 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数的计算．根据平均数的定义，将所有数据之和除以数据的个数即可得出结果． 【详解】解：先将8个数据相加：， ∴平均数为（天）， 故选：B． 6. 已知不等式组只有一个整数解，且其中一个不等式是，则另一个不等式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，由已知不等式到解集，需确定另一个不等式使得两不等式解集的交集仅含一个整数解．可逐一分析选项，判断其解集与的交集是否满足条件即可． 【详解】解：解已知不等式：，解得：，即． A：解不等式得，与的交集为，整数解为（两个），不符合条件； B：解不等式得，与的交集为空集，无解，不符合条件； C：解不等式 得：，即，即，与的交集为，无整数解，不符合条件； D：解不等式解得：，即，与的交集为，整数解为（仅一个），符合条件， 故选：D． 7. 如图，在正方形中，，E是边的中点，连接交对角线于点F，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，求得，并且证明是解题的关键． 由正方形的性质得，，，则，求得，由，证明，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形，，是边的中点， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 你能找到三个连续整数，使得前两个数的平方和等于第三个数的平方吗？如果将这三个连续整数中最小的数设为，那么可得方程，则该方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，掌握根的判别式是解题的关键．将方程整理为标准二次方程后，计算判别式判断根的情况． 【详解】解：， ， 即 ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 9. 如图，在中，，，以为直径的半圆O交于点D，交于点E，连接，若D是的中点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式、等边对等角、三角形内角和定理，关键是求出扇形的圆心角和半径． 连接，由等边对等角可得，求出，再由D是的中点可得，从而得出，再根据，得出，从而得出，得出，从而求出，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 10. 如图，四边形是矩形，E，F分别为边，上两定点，，G为矩形内一点，连接，，点P从点E出发，沿的方向运动，同时点Q从点B出发，沿的方向运动，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，连接，．设P，Q两点运动的速度相同，且运动路程均为x，的面积为S，图是S随x变化的关系图象，连接，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据函数图像得到信息，矩形的判定和性质，勾股定理，根据函数图像可得必须与垂直，时，点到的距离不变，即， 画出图形即可解答，正确从函数图象中得到信息是关键． 【详解】解：根据函数图象可得当时，，， 则点到的距离为， ，， 当时，， ， 必须与垂直， 根据函数图象可得当时，的面积S与成一次函数， 时，点到的距离不变， 点的位置如图所示，， ， 当时，的面积为， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式分解因式，找到公因式是关键．分解因式首先看有没有公因式，发现有公因式a，提取a，另一个因式就是用原式除以a后的结果，最后写成乘积的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 2025年2月26日清晨，潘建伟团队宣布“九章四号”量子计算机已完成数据采集，这台光子数突破3000的量子装置，将计算优势差距拉升到倍，这意味着全球最快的超算对其1分钟完成的任务需运行五万亿年．数据“五万亿”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：5万亿． 故答案为：． 13. ．少林武术，又称少林功夫，是在河南嵩山少林寺这一特定历史文化环境中形成的．将正面画有少林功夫经典招式——朝阳拳、梅花拳、黑虎拳、罗汉拳的四张卡片背面朝上洗匀，且它们除正面外完全相同．从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片是同一招式的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两次抽取的卡片是同一招式的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示朝阳拳、梅花拳、黑虎拳、罗汉拳，列表如下： 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两次抽取的卡片是同一招式的结果数有4种， ∴两次抽取的卡片是同一招式的概率为， 故答案：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，一次函数的应用，平移等知识，运用勾股定理、三角形面积公式求出点C的坐标，进而得到直线和直线的函数解析式，求出点D的坐标，再根据平移后点D落在上求出平移距离，从而得到点B平移后对应点的坐标． 【详解】解：∵点，， ∴． 又∵， ， ∴， 过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∴， ∴ 则点C的坐标为 令直线的函数解析式为， 则， 解得： ∴直线的函数解析式为， 同理可求出的函数解析式为：， 将代入，则， ∴点， 将代入， 解得：， ∴沿x轴向左平移个单位长度后，点D落在上， ∴， 则平移后点B对应的点的坐标为， 故答案为： 15. 如图，是等边三角形，P是内一动点，将点P绕点B逆时针旋转得到点Q，射线和射线交于点D，则______；过点A作交于点E，连接，若，，则的最小值为______． 【答案】 ①. 60 ②. 【解析】 【分析】如图1所示，连接，设交于T，由旋转的性质可得，可证明得到，则可证明；由等边三角形的性质得到；证明四点共圆，得到；根据，得到点P在以点B为圆心，3为半径长的圆上；解直角三角形得到，则当与相切时，最小，此时有最小值，如图2所示，此时，则，，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，连接，设交于T， 由旋转的性质可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴； ∵是等边三角形， ∴； ∵， ∴四点共圆， ∴； ∵， ∴点P在以点B为圆心，3为半径长的圆上； ∵， ∴， ∴当最小时，有最小值， ∴当与相切时，最小，此时有最小值， 如图2所示，此时， ∴，， 设，则， 在中，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 故答案为：60；． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，四点共圆，切线的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线和确定取得最小值的条件是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查零次幂，绝对值，求立方根，分式的混合运算． （1）先根据零次幂，绝对值，立方根进行计算，再计算加减即可； （2）根据分式的混合运算计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 如图，内接于，为的直径，． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点C作交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1）图见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作即可； （2）先由圆周角定理以及圆内接四边形对角互补求得，，再由平行线的性质以及三角形内角和定理求得，即可证明等腰三角形． 【小问1详解】 解：（1）如解图①，即为所求作； 【小问2详解】 证明：如上解图①，连接， 为的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形求角度，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 18. 河南省教育厅通知2025年春季学期开始，全省义务教育阶段学校要每天开设一节体育课，确保学生每天两小时综合体育活动时间．某校为鼓励学生积极参与体育活动，举办了一场跳绳比赛．小晶在本班参加比赛的学生中随机抽取了部分学生的跳绳成绩（用x表示，单位：个），将数据整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），得到如下不完整的统计图表（跳绳的成绩均不低于60个，不超过220个）． 部分学生成绩频数分布表 组别 频数 A组： 3 B组： a C组： 7 D组： 6 部分学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生总数是______人， ______， ______； （2）小晶根据以上数据认为所抽取的部分学生成绩的中位数在B组范围内，请判断她的说法是否正确，并说明理由； （3）小晶根据本班学生的成绩，估计全校参加跳绳比赛的3000名学生中有450名学生的成绩低于100个，而实际上只有200名学生的成绩低于100个，请你分析小晶估计不准确的原因． 【答案】（1）20，4，15 （2）不正确，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，求中位数，抽样调查的可靠性，熟知相关知识是解题的关键． （1）用D组的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，进而可求出a、m的值； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据题意可得小晶抽取的样本不具有随机性和代表性，据此可得答案． 【小问1详解】 解：人， ∴所抽取的学生总数是20人， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：小晶的说法不正确； 理由：将这20名学生的成绩按从大到小（或从小到大）的顺序排列，中位数为第10位和第11位数据的平均数， 第10位和11位数据均C组范围内， 所抽取的部分学生成绩的中位数在C组范围内， 即小晶的说法不正确； 【小问3详解】 解：估计不准确的原因：选取的样本不对，应该在全校参加比赛的学生中随机抽样，选取特定班级的样本，评估全校情况不具有代表性． 19. 如图，已知，是反比例函数图象上的两点，过点作轴，过点作轴，两直线交于点，连接，，． （1）求的值； （2）若，D为x轴正半轴上一点，求证：． 以下是小军的证明过程： 证明：如图，过点作交于点，连接，设点B的坐标为，则， ∴直线的函数表达式为，∴， ∴轴，∴， 易证得四边形是矩形． … 请将小军的证明过程补充完整． 【答案】（1）的值为； （2）详见解析． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的判定与性质，平行线的性质，等边对等角，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）过点作交于点，连接，设点B的坐标为，则，证明四边形是矩形，设，交于点，则有，，，从而可得，由轴，得，故有，最后通过角度和差即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， 即的值为； 【小问2详解】 证明：如图，过点作交于点，连接，设点B的坐标为，则， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， 如图，设，交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． 20. 如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 【答案】楼房的高度为10米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，解题关键是根据相似三角形的性质“对应边成比例”，列方程求解． 根据题意，可分别证明，，利用相似三角形对应边成比例，分别得到与的关系，进而求解． 【详解】解：楼房和标杆均与地面垂直， ， ， ， ，即， 整理，得， ，， ， ， 即， 又， 整理，得， 解得， 答：楼房的高度为10米． 21. 端午节将至，小红爸爸计划购买A，B两种品牌共20袋糯米制作粽子售卖．已知用400元购买A品牌糯米的袋数与用350元购买B品牌糯米的袋数相同，且A品牌每袋糯米的糯米的价格比B品牌每袋糯米的价格多10元． （1）求A，B两种品牌每袋糯米的价格； （2）小红爸爸计划购买B品牌糯米的袋数不超过A品牌糯米袋数的，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ （3）小红去商家柜台了解到若整箱（5袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠10元．小红猜想购买A品牌糯米3整箱，购买B品牌糯米1整箱会比（2）中的方案更省钱．请通过计算说明小红的猜想是否正确． 【答案】（1）A、B两种品牌每米的价格分别为80元，70元 （2）当购买A品牌糯米14袋，B品牌糯米6袋时，总花费最少，最少花费为1540元 （3）猜想正确，计算见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）设A品牌每袋糯米的价格为a元，则B品牌每袋糯米的价格元，根据题意列关于a的分式方程并求解即可； （2）设购买A品牌糯米x袋，则购买B品牌糯米袋，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设花费W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最小，求出其最小值及此时的值即可； （3）根据A品牌糯米的整箱数品牌糯米每箱的袋数品牌每袋糯米的价格品牌糯米的整箱数品牌糯米每箱的袋数品牌每袋糯米的价格-两种糯米总的整箱数×每箱的优惠列式计算其费用并与（2）中的方案比较大小即可． 【小问1详解】 解：设A品牌糯米每袋为a元，则B品牌糯米每袋为元， 根据题意，得 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际， 此时， 答：A、B两种品牌每米价格分别为80元，70元； 【小问2详解】 解：设购买A品牌糯米x袋、则购买B品牌糯米袋， 根据题意，得 解得 设总花费为W元， 则， ， W随x的增大而增大， x取正整数， 当，时，总花费最少， （元）， 答：当购买A品牌糯米14袋，B品牌糯米6袋时，总花费最少，最少花费为1540元； 【小问3详解】 解：小红的猜想正确．理由如下： 购买A品牌糯米3整箱，购买B品牌糯米1整箱， 总费用（元）， ． 小红的猜想正确 22. 太阳能的特点是巨大、清洁、取之不尽．如图，小明所在的学习小组自制了一个太阳能灶，太阳能灶的关键部件是聚光镜，其截面类似抛物线，我们称之为抛物面．如图，A为抛物面的顶点，当点A与水平地面的距离为时，测得抛物面两端B，C相距，且离地面均为．以O为坐标原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物面的表达式； （2）太阳光线经抛物面反射后集中聚焦在焦点处，将水壶置于焦点位置时，可达到加热的目的．经了解，当太阳光线照射在抛物面上的点到地面的距离与其到焦点的距离相等时，加热效果最好，请判断该学习小组自制的太阳能灶是否满足该条件，并说明理由． 【答案】（1） （2）满足，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数的实际应用，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）设抛物面的表达式为，将将，代入中求解，即可解题； （2）设太阳光线照射在抛物面上的点为，则点P到地面的距离为，利用勾股定理求出并判断，即可解题． 【小问1详解】 解：设抛物面的表达式为， 依题意可得，抛物面的顶点坐标为，且过点， 将，代入中， 得， 解得， 抛物面的表达式为； 【小问2详解】 解：满足； 理由如下：设太阳光线照射在抛物面上的点为，则点P到地面的距离为， ， ， ， ， 点P到地面的距离等于的长，即该学习小组自制的太阳能灶满足太阳光线照射在抛物面上的点到地面的距离与其到焦点的距离相等． 23. 小明同学在进行四边形大单元整合知识时，试图用“特殊到一般”的思想方法研究四边形的边长与对角线的关系，下面是他的探究过程． 【观察发现】 （1）如图，正方形对角线长为m，则______（用含m的代数式表示）； 【操作探究1】 （2）如图，菱形的对角线长为m，长为n，则______（用含m，n 的代数式表示）； 【操作探究2】 （3）如图，在中，对角线长为m，长为n，猜想的值并说明理由（用含m，n的代数式表示）； 【拓展应用】 （4）在（3）的条件下，设与交于点O，若，，M为边上一点（不含点B），连接，将沿折叠，点B的对应点为点，当点落在边上时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）； （3），理由见解析 （4）或 【解析】 【分析】（1）由正方形性质得，，即得； （2）设交于点O，根据菱形性质得，，由，即得； （3）分别过点A，D作于点E，的延长线于点F，则，根据平行四边形性质得，得，得，得，，设，，根据 ， ， ，得，即得； （4）过点A作于点G，根据，，得，得，得，根据，，得，当点在上时，，得，可得；当点在上时，连接，设交于点H，根据，，得，得，得四边形是菱形，得，得． 【详解】（1）解：∵正方形的对角线长为m，， ∴， 故答案为：； （2）解：设交于点O， ∵菱形的对角线长为m，长为n， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：分别过点A，D作于点E，的延长线于点F， 则，如图所示： ∵在中，对角线长为m，长为n，， ∴， ∴， ∴，， 设，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； （4）解：过点A作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 当点在上时， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点在上时， 连接，设交于点H， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了四边形综合．熟练掌握正方形性质，菱形性质，平行四边形性质，轴对称性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． 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