11.7 二次根式的加减法（题型专练）数学新教材北京版八年级上册

11.7 二次根式的加减法 题型一 判断同类二次根式 1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）下列各根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京房山·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 4．（21-22八年级下·山东淄博·期中）下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型二 根据同类二次根式的概念求字母的取值 5．（24-25八年级上·北京昌平·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的平方根是（   ） A． B． C． D． 6．（21-22八年级上·北京平谷·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（    ） A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2 7．（23-24八年级上·北京房山·期中）若与是同类二次根式，则a可能是 （写出一个即可）． 8．（22-23八年级上·上海宝山·期中）当 时，最简二次根式与是同类二次根式． 9．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式． (1)求、的值； (2)求的值． 10．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 题型三 二次函数加减运算 11．（24-25八年级上·北京·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 12．（2021·山西·中考真题）计算： ． 13．（23-24八年级上·北京平谷·期末）计算： ． 14．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）计算：． 15．（23-24七年级下·北京密云·期末）计算：． 题型四 二次根式混合运算 16．（24-25八年级上·北京·阶段练习）估算的结果应在（  ） A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间 17．（21-22八年级上·北京石景山·期末）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 18．（21-22八年级上·甘肃金昌·期末）= ． 19．（24-25八年级上·北京·期末）计算 (1)； (2)． 20．（23-24八年级下·北京东城·期末）计算：． 21．（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算： 题型五 己知字母的取值化简求值 22．（20-21八年级下·北京西城·期中）已知，，则的值是 ． 23．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值是 ． 24．（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，则代数式的值是 ． 25．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 题型六 己知条件式化简求值 26．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·山东聊城·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）已知：，则的值为 ． 29．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 题型七 二次根式混合运算的实际应用 30．（2024八年级上·北京·专题练习）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 31．（24-25八年级上·北京顺义·期中）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”． 思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看． 32．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 33．（22-23八年级下·北京海淀·期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表： 型号 长 宽 小号 中号 大号    已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由． 题型一 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算的结果是 ． 2．（23-24八年级上·北京房山·期末）计算 ． 3．（22-23八年级下·全国·单元测试）已知，，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）计算： 5．（24-25八年级上·北京通州·期末）计算：． 6．（23-24八年级上·北京平谷·期末）计算： (1)； (2)． 题型二 比较二次根式的大小 7．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 9．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： (3)和的值哪个较大，请说明理由． 题型三 与二次根式有关的整体代入求值问题 11．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 12．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）阅读下列材料： 已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法： 解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得． 这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)若，求代数式的值； (2)若，求代数式的值． 13．（22-23八年级上·江西南昌·期末）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：. 把作为整体代入：得 即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知 ，求代数式的值． 题型四 二次根式的新定义类问题 14．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·河北保定·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 17．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）对于任意正实数，，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 18．（21-22八年级上·北京门头沟·期末）对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 题型五 二次根式的阅读理解类问题 19．（24-25八年级上·北京·阶段练习）阅读材料：米朵在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的米朵进行了以下探索：设 （其中a、b、m、n均为正整数），则有，所以，．这样米朵就找到了一种把化为平方式的方法． 请你仿照米朵的方法探索并解决下列问题． (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则 ， ． (2)的算术平方根为 ． (3)计算∶（n为正整数） 20．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 21．（24-25八年级上·广东深圳·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 1．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 2．（24-25八年级上·全国·期末）在学习二次根式的过程中，小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即，．类似地，，，，，根据小红发现的规律，解决下列问题： (1) ， ；（为正整数） (2)若，则 ； (3)计算：． 3．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 4．（22-23八年级上·北京昌平·期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：____________（填写运算结果）； (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________； (3)证明你的猜想． (4)应用运算规律： ①化简：____________； ②若（a，b均为正整数），则的值为____________． 5．（21-22八年级上·北京门头沟·期末）阅读理解： 材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…， 发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律，快速计算：． 根据材料，回答问题： 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）． …… （2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立． （3）应用规律： ①计算：； ②如果，那么n＝ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.7 二次根式的加减法 题型一 判断同类二次根式 1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）下列各根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简以及同类二次根式的定义，将以上二次根式正确的化为最简二次根式是解此题的关键． 先将选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】A. ，与是同类二次根式； B. ，与是同类二次根式； C. ，与不是同类二次根式； D. ，与是同类二次根式． 故选：C． 2．（24-25八年级上·北京房山·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，同类二次根式的定义等知识点，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵，，是最简二次根式，， 四个数中，只有与是同类二次根式， 故选：B． 3．（23-24八年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，同类二次根式，根据二次根式的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. 与可以合并，故该选项正确，符合题意； C. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     D. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4．（21-22八年级下·山东淄博·期中）下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．根据定义逐个判断即可 【详解】A、和是同类二次根式，本选项不符合题意； B、和是同类二次根式，本选项不符合题意； C、和是同类二次根式，本选项不符合题意； D、和不是同类二次根式，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要涉及同类二次根式的知识．根据同类二次根式的定义即可解决该类试题，先化成最简二次根式是解题关键． 题型二 根据同类二次根式的概念求字母的取值 5．（24-25八年级上·北京昌平·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式定义，以及求一个数的平方根，根据被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，列出方程求出，，再根据平方根概念求解，即可解题． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ，， 解得，， a的平方根是， 故选：D． 6．（21-22八年级上·北京平谷·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（    ） A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2 【答案】A 【分析】两个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称它们是同类二次根式，根据此定义即可得到关于a的方程，从而可求得a的值． 【详解】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式 ∴a+1=2a 解得：a=1 故选：A 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是关键． 7．（23-24八年级上·北京房山·期中）若与是同类二次根式，则a可能是 （写出一个即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念．根据同类二次根式的概念列式计算即可． 【详解】解：∵二次根式与是同类二次根式， ∴， 故答案为：3（答案不唯一）． 8．（22-23八年级上·上海宝山·期中）当 时，最简二次根式与是同类二次根式． 【答案】4 【分析】根据同类二次根式的定义可知被开方数相等，由此得到方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查同类二次根式定义（化成最简二次根式后的被开方数相同）和最简二次根式，熟记定义是解题的关键． 9．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）根据同类二次根式的定义可得，直一步计算即可解答； （2）代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得， 解得； （2）解：∵， ∴． 10．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 题型三 二次函数加减运算 11．（24-25八年级上·北京·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的混合运算、代数式求值，正确得出无理数的整数部分和小数部分是解答的关键．先估算的取值范围，进而可求得x、y，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴， ， ∴， 故选：C． 12．（2021·山西·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练计算是解题的关键，先利用二次根式的性质化简，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·北京平谷·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握二次根式加减运算法则即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的加减混合运算解答即可． 本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 15．（23-24七年级下·北京密云·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 题型四 二次根式混合运算 16．（24-25八年级上·北京·阶段练习）估算的结果应在（  ） A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，求一个数的算术平方根，无理数的大小估算等知识点，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键． 按照二次根式的混合运算法则对原式计算得到，然后利用无理数的大小估算即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， 即：， ， 故选：． 17．（21-22八年级上·北京石景山·期末）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：、无需计算，故此选项错误，不符合题意； 、，故此选项错误，不符合题意； 、，正确，符合题意； 、，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则． 18．（21-22八年级上·甘肃金昌·期末）= ． 【答案】5 【分析】先合并同类项，再计算除法即可． 【详解】解： =5 =5． 故答案为：5． 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，正确合并同类二次根式，掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 19．（24-25八年级上·北京·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加法运算、二次根式减法运算、二次根式乘法运算、二次根式除法运算、有理数减法运算等知识，熟记二次根式性质、二次根式加减乘除运算法则求解是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）先由二次根式除法运算法则和乘法运算法则求解，再由二次根式性质化简，最后由有理数减法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（23-24八年级下·北京东城·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算以及加减运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先根据二次根式的乘除法法则分别计算乘法和除法部分，再将所得结果化为最简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 21．（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先化简二次根式，再计算二次根式乘法和立方根，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 题型五 己知字母的取值化简求值 22．（20-21八年级下·北京西城·期中）已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】先求出a+b和a-b的值，把所求的式子进行分解，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 23．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，完全平方公式的应用，代数式求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．将代数式变形为，再将代入求值即可． 【详解】， 将代入得， ． 故答案为：． 25．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确把a、b分母有理化是解题的关键． （1）先把a、b分母有理化，再求出的值，根据计算求解即可； （2）根据（1）所求，结合计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 题型六 己知条件式化简求值 26．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 27．（23-24八年级下·山东聊城·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D． 28．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）已知：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式求值，利用平方差公式计算即可，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 29．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 题型七 二次根式混合运算的实际应用 30．（2024八年级上·北京·专题练习）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．根据题目中的面积公式，可以将的三条边长代入公式中，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， 三边长为：，，，不妨令，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 31．（24-25八年级上·北京顺义·期中）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”． 思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看． 【答案】李大爷这块菜地的面积为 【分析】本题考查了二次根式的应用，将题目中的已知量代入到海伦公式里面进行计算即可．解题的关键是正确的代入公式并进行计算． 【详解】解：， ． ． 李大爷这块菜地的面积为 32．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算即可； （3）根据，，得出最多能截出5根这样的木条． 【详解】（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； （2）解：该矩形木料的长为： ； （3）解：∵， 又∵， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 33．（22-23八年级下·北京海淀·期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表： 型号 长 宽 小号 中号 大号    已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由． 【答案】应选择中底面型号的纸箱 【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为，进而估算出，由此即可得到答案． 【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下： ∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，， ∴甲、乙两件礼品的边长分别为， ∴甲、乙两件礼品的边长之和为， ∵， ∴， ∴只有中型号和大型号两个型号可供选择， ∵， ∴从节约材料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键． 题型一 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算的结果是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，直接根据平方差公式计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：13． 2．（23-24八年级上·北京房山·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则，平方差公式分别运算，最后相减即可得到结果，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·全国·单元测试）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出、的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算、构造完全平方式等知识点，根据题意求得、的值成为解答本题的关键． 4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式计算乘方，再根据平方差公式计算乘法，最后算加减即可． 【详解】解： ． 5．（24-25八年级上·北京通州·期末）计算：． 【答案】 【分析】先利用乘法分配律和平方差公式进行计算，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 6．（23-24八年级上·北京平谷·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则与运算顺序是解题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，并运算平方差公式计算，再合并同类二次根式即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型二 比较二次根式的大小 7．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，绝对值，二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的性质求解即可； （3）根据（2）先去绝对值，然后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：， （2）．； 故答案为：， （3）原式 ． 9．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)9 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：的有理化因式是． ． 故答案为：， （3）解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． （4）解： ， ， ， ． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： (3)和的值哪个较大，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要查了二次根式的混合运算： （1）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差，即可； （2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算即可； （3）根据，，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解： ； （3）解：，理由如下： ∵，，且， ∴， ∴． 题型三 与二次根式有关的整体代入求值问题 11．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为； （2）仿照小明的做法，计算出的值，的值，再将原式变形为，代入求解即可． 【详解】（1）解：仿照小明的做法： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 仿照小丽的做法： ∵ ∴当时， 原式 ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）阅读下列材料： 已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法： 解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得． 这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)若，求代数式的值； (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了代数式求值，正确读懂题意仿照题意进行求解是解题的关键． （1）先求出，进而得到，则，再把整体代入所求式子中求解即可； （2）先仿照题意求出，则，再把变形为，进一步变形为，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 13．（22-23八年级上·江西南昌·期末）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：. 把作为整体代入：得 即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知 ，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据完全平方公式求出，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键； （2）根据完全平方公式计算可得，然后利用整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∴ ． 题型四 二次根式的新定义类问题 14．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 15．（23-24八年级下·河北保定·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于新定义运算，二次根式混合运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减． 【详解】解： 故选：D． 16．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，求一个数的算术平方根，根据新运算的法则，列出算式，利用平方差公式进行计算，再根据算术平方根的定义，进行计算即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根为； 故答案为：5． 17．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）对于任意正实数，，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确运用已知运算公式是解题关键．直接利用运算公式代入，进行计算即可得解 ． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 18．（21-22八年级上·北京门头沟·期末）对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解； （2）根据得到，解分式方程即可求解； （3）根据-2＜0，得到=-2+x，对分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）∵， ∴=， ∴ ， 解得， 经检验，是方程的解， 故答案为：-1； （3）∵-2＜0， ∴=-2+x． ①当时， ， 解得：， 经检验是原方程的解，但不符合， ∴舍去． ②当时， ， 解得：．     经检验是原方程的解，且符合． ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，二次根式的运算，解分式方程等知识，综合性较强，理解定义的新运算是解题关键，注意第（3）问要分类讨论． 题型五 二次根式的阅读理解类问题 19．（24-25八年级上·北京·阶段练习）阅读材料：米朵在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的米朵进行了以下探索：设 （其中a、b、m、n均为正整数），则有，所以，．这样米朵就找到了一种把化为平方式的方法． 请你仿照米朵的方法探索并解决下列问题． (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则 ， ． (2)的算术平方根为 ． (3)计算∶（n为正整数） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将等式的右边展开，即可直接得出答案； （2）由及算术平方根的定义即可直接得出答案； （3）利用完全平方公式将原式变形为，去根号，得到，然后去括号，中间项互相抵消，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ，， 故答案为：，； （2）解：， 的算术平方根为， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，求一个数的算术平方根，二次根式的加减运算等知识点，学会题中的方法，利用完全平方公式将化为平方式是解题的关键． 20．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 21．（24-25八年级上·广东深圳·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分是． （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ． 1．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ②， ， ， ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）在学习二次根式的过程中，小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即，．类似地，，，，，根据小红发现的规律，解决下列问题： (1) ， ；（为正整数） (2)若，则 ； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． （1）根据上述规律，进行解答，即可； （2）根据题意，则，可得，，再根据平方差公式，即可求出； （3）根据上述规律，则，，，……，进行解答，即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵，，，……， ∴ ． 3．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 4．（22-23八年级上·北京昌平·期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：____________（填写运算结果）； (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________； (3)证明你的猜想． (4)应用运算规律： ①化简：____________； ②若（a，b均为正整数），则的值为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)①；② 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5； （2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想； （3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题； （4）①②根据（2）中的规律即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案是：； （2）， 故答案是：； （3）证明： 左边， 又右边， 左边右边， 成立； （4）①， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题． 5．（21-22八年级上·北京门头沟·期末）阅读理解： 材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…， 发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律，快速计算：． 根据材料，回答问题： 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）． …… （2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立． （3）应用规律： ①计算：； ②如果，那么n＝ ． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）根据前3个例题写出一个符合上述运算特征的例子即可； （2）根据材料中的进行计算即可； （3）结合（1）（2）的规律进行计算即可 【详解】解：（1）（答案不唯一）； （2）； 故答案为： 证明： = 故答案为： （3）①； ， ， ， ． ② 则 【点睛】本题考查了分式的加减运算，完全平方公式的计算，二次根式的性质，掌握分式的性质，以及是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$