专题2.3 整式（高效培优讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题2.3 整式 1.单项式、多项式的概念及相关概念（重点） 2.单项式与多项式的区分（重点） 3.按指定字母对多项式进行升幂或降幂排列（重点） 4.单项式系数和次数的确定（难点） 5.多项式项、次数的确定（难点） 6.排列过程中项的符号处理（难点） 单项式 1.单项式 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式单独一个数或一个字母也是单项式 定义中的“积”并非不含“除法”，只是要求数与字母、字母与字母之间不能有除法。 2.单项式的系数与次数 (1)系数:单项式中的数因数叫做这个单项式的系数 (2)次数:一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 注意:(1)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写.(2)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数的形式 多项式 1.多项式 几个单项式的和叫做多项式一个式子是多项式需具备两个条件: (1)式子中含有运算符号“+”或“—”；(2)分母中不含有字母 2.多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式含有几项，就叫做几项式， 特别地，只含有一项就是单项式. 3个多项式的次数 多项式中，次数最高项的次数，就是这多项式的次数 1.多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念，没有从属关系 2.单项式的次数是所有字母指数的和，而多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，二者不能混淆. 整式 1.定义 单项式与多项式统称为整式 2.单项式、多项式、整式 (1)多项式是由单项式的和组成的，单项式、多项式统称为整式(2)整式、单项式、多项式的关系可以用如图表示 1.单项式是整式. 2.多项式是整式. 3.如果一个式子既不是单项式，又不是多项式,那么它一定不是整式。 升幂排列与降幂排列 为了便于多项式的运算，可以运用加法交换律将多项式中的冬项按某个字母指数的大小顺序重新排列 (1)把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列 (2)把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列 1.排列时要连同它们前面的符号一起移动 2.排列含有两个或以上的字母的多项式，需说明“按某一个字母的升幂(或降幂)排列” 题型一、单项式的判断 例1（24-25七年级上·广西贺州·期中）下列式子不是单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的概念． 单项式是由数字与字母的乘积或单独的数字、字母构成的式子，不含加减运算，逐一判断即可． 【详解】解：A．：数字4与字母x的乘积，是单项式； B．：单独一个字母，是单项式； C．：包含加法运算“+”，由2和x两个单项式组成，属于多项式而非单项式； D．：单独一个数字，是单项式； 故选：C． 1-1（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的判断，根据单项式的定义：数字与字母的积的形式，单个数字或字母也是单项式，逐一判断各代数式是否为单项式即可． 【详解】：用减号连接两个项，是多项式，不是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：分母含字母，是分式，不是单项式． ：单独的数字，是单项式． ：单独的字母，是单项式． 综上，共有4个单项式， 故选C． 1-2（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式．根据单项式的概念找出单项式的个数． 【详解】解：代数式，，，，，中， 单项式有：，，，共个． 故选：A． 1-3（24-25七年级上·陕西西安·期中）代数式：，，，0，，其中单项式的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查单项式的定义，数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【详解】解：式子，，0，符合单项式的定义，是单项式； 式子，分母中含有字母，不是单项式； 式子，不是单项式． 故单项式有3个． 故答案为：3． 1-4（24-25七年级上·江苏无锡·期中）式子，，，，中，单项式有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的定义，数字或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．根据单项式定义逐个判断即可． 【详解】解：单项式有：，共2个， 故答案为：． 题型二、单项式的系数、次数 例2（24-25七年级上·广东江门·期中）单项式的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数，熟练掌握定义是解题的关键．根据单项式系数的定义：系数是字母部分前面的数字因数，包括常数和符号即可解答． 【详解】解：将拆分为常数部分和字母部分，即， 所以单项式的系数是， 故选：C． 2-1（23-24七年级上·重庆·期中）单项式的系数与次数分别为（    ） A．，7 B．，6 C．，6 D．，4 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念． 根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，根据单项式系数、次数的定义即可得到答案． 【详解】解：单项式的数字因数为， 单项式的系数； 字母的指数为，的指数为， ， 单项式的次数为； 故选：D． 2-2（24-25七年级上·广东广州·期中）单项式的系数和次数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义求解即可，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：， ∴单项式的系数是，次数是， 故选：． 2-3（24-25七年级上·广东广州·期中）若单项式的系数记作，次数记作，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式次数和系数的定义，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此可得，，再代值计算即可． 【详解】解：单项式的系数是，即，次数是，即， ． 故答案为：2． 2-4（24-25七年级上·四川南充·期中）单项式与的次数相同，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式的次数，所有字母指数的和叫做单项式的次数．据此进行列式计算即可． 【详解】解：∵单项式与的次数相同， ∴， 解得， 故答案为： 题型三、写出满足某些特征的单项式 例3（24-25七年级上·河南三门峡·期中）一个单项式满足下列两个条件：（1）含有两个字母；（2）次数是3，系数是．请你写出符合上述条件的一个单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的概念和单项式的次数和系数，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，熟记概念是解题的关键． 根据单项式系数，次数的定义来求解即可． 【详解】解：∵（1）含有两个字母；（2）次数是3，系数是， ∴满足条件的单项式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 3-1（24-25七年级上·广东广州·期中）请你写出一个单项式，使它的系数为负数，次数为3： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式，熟知单项式的系数、次数的定义是解题的关键． 根据“数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数”由此解答即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：（答案不唯一）． 3-2（24-25七年级上·广东湛江·期中）若一个单项式含有字母和，系数是2，次数是3，则这个单项式可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查单项式，利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出符合题意一个答案． 【详解】解：由题意得：这个单项式可以是， 故答案为：． 3-3（24-25七年级上·江西南昌·期中）有三个条件：①只含有字母a，b，c；②系数为； ③次数为4； 能满足这三个条件的所有单项式 为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查的知识点是单项式的定义，单项式的系数、次数，解题关键是熟练掌握单项式的定义．单项式是数或字母的积，可以是单独的一个数或一个字母；单项式的系数是指代数式的单项式中的数字因式，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，符合以上定义的单项式即为本题的解． 【详解】解：根据单项式的定义，单项式的系数、次数含义可得， 故符合题意的有：，，2． 故答案为：，，． 题型四、单项式规律题 例4（24-25七年级上·云南文山·期中）按照一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的规律探究，根据分子和分母分别寻找规律：分子的底数都是，而指数是从开始的偶数；分母是底数从开始的自然数的平方，从而得出结论，观察式子找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ， ∴第个式子是， 故选：． 4-1（24-25七年级上·山东聊城·期中）按一定规律排列的式子如下：，，，，，…，第21个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据题意发现单项式系数及次数的变化规律是解题的关键．根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 单项式的系数依次为：1，，4，，16，…， 所以第n个单项式的系数可表示为：； 单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，…， 所以第n个单项式的次数可表示为：n， 所以第n个单项式可表示为：； 当时， 第21个单项式为：． 故选：C． 4-2（24-25七年级上·广东深圳·期中）观察下列代数式：，…，按照上述规律，第2024个代数式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给单项式可知， 单项式的系数依次为：，…， 所以第n个单项式的系数的符号可表示为：； 单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，…， 所以第n个单项式的次数可表示为：n， 所以第n个单项式可表示为：； 所以第2024个代数式是． 故答案为：． 4-3（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，第n个单项式是 ．（n为正整数） 【答案】 【分析】此题考查单项式规律题．通过已知的四个单项式的系数、次数的变化规律推出通式直接求解即可． 【详解】解：设单项式有n个， 符号的规律为：， 分母的规律为：， 分子的系数规律为：， 字母的规律为：， ∴第n个单项式是， 故答案为：． 4-4（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）观察下列单项式：写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少？系数符号的规律是什么？系数绝对值规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么？ 【答案】(1)这组单项式的系数依次为，3，，7，…，，39，…；奇次项的系数符号为负号，偶此项的系数符号为正号；系数绝对值为： (2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数 (3) 【分析】此题主要考查了单项式的变化规律问题． （1）根据单项式系数的定义可写出单项式的系数；观察所给单项式，可直接得出系数符号的规律以及系数绝对值的规律； （2）观察所给单项式，可知次数的规律是从1开始的连续自然数； （3）根据系数符号的规律、系数绝对值的规律和次数的规律，总结即可． 通过观察，得出次数与系数的变化规律是解题关键． 【详解】（1）观察所给单项式可知：这组单项式的系数依次为，3，，7，…，，39，…；奇次项的系数符号为负号，偶此项的系数符号为正号；系数绝对值为：； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数； （3）根据系数符号的规律、系数绝对值的规律和次数的规律可知，第个单项式是：． 题型五、多项式的判断 例5（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列说法正确的有（    ） A．是整式 B．是单项式 C．不是整式 D．是多项式 【答案】A 【分析】本题考查了多项式、整式、单项式，熟练掌握相关概念是关键．根据整式包括单项式和多项式逐项分析判断即可． 【详解】解：A、是整式，原说法正确，符合题意； B、是多项式，原说法错误，不符合题意； C、是整式，原说法错误，不符合题意； D、是分式，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 5-1（24-25七年级上·四川自贡·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是9 B．单项式的系数是 C．是三次三项式 D．不是单项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】A、单项式的次数是7，原说法错误，不符合题意； B、的系数是，原说法错误，不符合题意； C、是四次三项式，原说法错误，不符合题意； D、不是单项式，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5-2（24-25七年级上·重庆江北·期中）下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 根据几个单项式的和叫做多项式分析判断． 【详解】解：根据多项式的定义可知：①； ②0是单项式； ③是单项式； ④不是多项式； ⑤是多项式； ⑥不是多项式， 故多项式的个数是2个． 故选：B． 5-3（24-25七年级上·河南漯河·期中）式子，，，，，，中，多项式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，根据多项式的定义逐个判断即可，正确理解几个单项式的和叫作多项式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，，，是多项式，共个， 故答案为：． 5-4（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，，0，中，多项式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式．根据多项式的定义分析即可． 【详解】解：，，是多项式，共3个， 0，是单项式， 的分母含字母，不是整式； 故答案为：3． 题型六、多项式的项、项数或次数 例6（24-25七年级上·广西贺州·期中）多项式的二次项系数是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义． 先确定二次项，再确定其系数即可． 【详解】解：多项式中，二次项为，其系数是， 故选B． 6-1（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是0 B．的一次项系数是1 C．单项式的系数是，次数是6 D．是四次三项式 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，多项式的项、项数或次数，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数等相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的系数是1，故该选项不符合题意； B、的一次项系数是，故该选项不符合题意； C、单项式的系数是，次数是6，故该选项符合题意； D、是二次三项式，故该选项不符合题意； 故选：C 6-2（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）下列语句正确的是（  ） A．是二次三项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是五次三项式 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的项、项数或次数，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据定义判定即可． 【详解】解：A、是二次三项式，故该选项符合题意； B、不是整式，故该选项不符合题意； C、是二次三项式，不是四次三项式，故该选项不符合题意； D、是三次三项式，故该选项不符合题意； 故选：A 6-3（24-25七年级上·全国·期中）若关于x的多项式是四次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式项与次数，掌握多项式及相关概念是解题的关键；由题意得，且，由此求得m的值． 【详解】解：∵关于x的多项式是四次三项式， ∴，且， ∴； 故答案为：． 6-4（24-25七年级上·青海西宁·期中）多项式的常数项是 ，次数是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了多项式的次数和常数项，熟记“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”“不含字母的项称为常数项”．由此即可得出答案． 【详解】解：多项式的常数项是，次数是5； 故答案为：；5． 题型七、多项式系数、指数中字母求值 例7（24-25七年级上·湖南郴州·期中）多项式中，不含项，那么k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，多项式中不含有某某项就是指多项式合并同类项后该项的系数为0即可．由于不含项，令前的系数为0即可求解． 【详解】解：∵多项式中，不含项， ∴， 解得：， 故选：B． 7-1（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）为关于的三次二项式的条件是（   ） A． B．，n为任意数 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．根据三次二项式的定义，多项式需满足最高次数为3且仅有2个非零项。 【详解】解：为关于的三次二项式的条件是， ． 故选D． 7-2（24-25七年级上·江西赣州·期中）若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 根据题意得到，或，求出或，即可得到答案． 【详解】解：多项式是一个关于x，y的三次三项式， ，或， 或， 故答案为：或． 7-3（24-25七年级上·山东德州·期中）若关于的整式是三次二项式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式的项数和次数，根据多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数求解即可． 【详解】解：∵多项式是三次二项式， ∴，， ∴． 故答案为：． 7-4（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的多项式不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式中不含某项，熟练掌握不含某项就让这项的系数等于0是解题的关键．根据题意可知，，从而求得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：x的多项式不含项和项， ，， ，， ． 题型八、整式的判断 例8（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．单项式是整式 B．是三次三项式 C．多项式的项数是 D．多项式最高次项的系数是 【答案】D 【分析】本题考查了整式，多项式的次数、项数、系数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据整式，多项式的次数、项数、系数等知识逐项判断解答即可． 【详解】解：A、单项式是整式，故A选项正确，不符合题意； B、是三次三项式，故B选项正确，不符合题意； C、多项式的项数是，故C选项正确，不符合题意； D、多项式最高次项的系数是，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 8-1（24-25七年级上·安徽亳州·期中）下列说法正确的是（   ） A．代数式不是整式 B．单项式y的系数为0 C．单项式的次数6 D．多项式的次数为6 【答案】D 【分析】本题考查了整式的有关概念：①单项式和多项式统称整式；②单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数；③多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数．根据整式的定义，单项式的次数和系数定义，多项式的次数定义逐个判断即可． 【详解】解：A．代数式是整式，故本选项不符合题意； B．单项式y的系数是1，故本选项不符合题意； C．单项式的次数是，故本选项不符合题意； D．多项式的次数是6，故本选项符合题意． 故选：D． 8-2（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）下列说法中，不正确的是（   ） A．是整式 B．是二次二项式 C．的项分别为，，1 D．多项式的三次项的系数为 【答案】D 【分析】本题考查整式的判断，多项式的项，次数和系数，根据单项式和多项式统称为整式，多项式的次数：最高项的次数，项数：单项式的个数，系数：单项式中的数字因式，项：多项式中的每一个单项式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是整式，原说法正确，不符合题意； B、是二次二项式，原说法正确，不符合题意； C、的项分别为，，1，原说法正确，不符合题意； D、多项式的三次项的系数为，原说法不正确，符合题意； 故选D． 8-3（24-25七年级上·吉林·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了整式的定义，单项式与多项式统称为整式，据此即可判断求解，掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有①，④，⑤，共个， 故答案为：． 8-4（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类． ①依据单项式的定义找出单项式； ②依据多项式的定义找出多项式； ③根据整式包含单项式和多项式确定整式． 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， 是单独的数，是数与字母的积，是单独的数，是数5与字母x，y的积，是数2与字母x，y的积，所以单项式是； ②几个单项式的和叫做多项式，是单项式与的和，所以多项式是，故（2）处填； ③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是， 故答案为：① ② ③ 题型九、将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 例9（24-25七年级上·河南南阳·期中）把按字母y的升幂排列后，其中的第2项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的重新排列，先按y的升幂排列，再找出第二项即可．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按哪个字母的降幂或升幂排列． 【详解】解：∵多项式按字母的升幂排列为：， ∴其中的第二项是． 故选：A． 9-1（24-25七年级上·重庆·期中）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按照哪个字母的降幂或升幂排列． 【详解】解：， 故选：A． 9-2（24-25七年级上·吉林长春·期中）将整式按x降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．先分清各项，再根据多项式幂的排列的定义解答． 【详解】解：按x降幂排列：． 故答案为：． 9-3（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）将多项式按字母x的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的项的概念和降幂排列的概念．根据多项式项的概念和降幂排列的概念解答即可． 【详解】解：将多项式按字母x的降幂排列为， 故答案为：． 9-4（24-25七年级上·陕西渭南·期中）已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）多项式中次数最高的项为多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【详解】（1）解；∵项式是关于、的五次四项式， ∴， ∴； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 例1下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是 C．单项式没有系数，也没有次数 D．的次数是，系数为 【答案】D 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、的系数是，原选项说法错误，不符合题意； 、的次数是，原选项说法错误，不符合题意； 、单项式的系数为，次数为，原选项说法错误，不符合题意； 、的次数是，系数为，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 例2 将多项式按的降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按照哪个字母的降幂或升幂排列． 【详解】解：按的降幂排列是． 故答案为：． 1．单项式的系数和次数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的相关概念，掌握单项式的系数和次数的定义是正确解题的关键． 根据单项式的系数是数字因数、次数是所有字母指数的和即可求解． 【详解】解：单项式的系数为， 单项式次数是； 故选：C 2．下列说法中错误的个数是（　　） ①倒数为本身的数是1； ②一个有理数的绝对值必为正数； ③底边半径为2，高为3的圆柱体的侧面积为； ④的系数是，次数是2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据倒数的定义，绝对值的性质，圆柱的侧面积公式和单项式的定义判断即可． 【详解】解：①倒数为本身的数是，故错误； ②一个有理数的绝对值必为正数或0，故错误； ③底边半径为2，高为3的圆柱体的侧面积为，正确； ④的系数是，次数是3，故错误； 所以说法中错误的个数是3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了倒数的定义，绝对值的性质，圆柱的侧面积公式和单项式的定义，关键是熟练掌握这些定义和公式． 3．下列说法正确的是（    ） A．整式就是多项式 B．的次数是9 C．是单项式 D．是单项式 【答案】C 【分析】本题考查整式、单项式及多项式的概念，熟练掌握整式、单项式及多项式的概念是解题的关键．根据定义逐一分析选项即可． 【详解】解：整式包括多项式和单项式，故选项A错误； 的次数是，故选项B错误； 是单项式，故选项C正确； 是多项式，故选项D错误； 故选C． 4．已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数和项数定义，根据三次三项式的定义，多项式需满足最高次数为3且共有三个项。通过分析各项的次数及存在性，确定有理数m的值，进而求出常数项． 【详解】解：∵多项式是三次三项式， ∴且， ∴且， 解得：． ∴该多项式的常数项为． 故选：B． 5．下列说法正确的是（   ） A．的系数是，次数是2 B．是六次单项式 C．的常数项是6 D．是按字母升幂排列 【答案】A 【分析】本题考查了单项式和多项式的知识，熟练掌握单项式、多项式的相关概念是解题关键．由数和字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．几个单项式的和，叫做多项式；多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数；多项式中不含字母的项叫做常数项． 根据单项式和多项式的相关概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A．的系数是，次数是2，该说法正确，符合题意； B．是四次单项式，原说法不正确，不符合题意； C．的常数项是，原说法不正确，不符合题意； D．是按字母降幂排列，原说法不正确，不符合题意． 故选：A． 6．以下四个选项是小丽同学的四道作业，其中有一道不正确，你认为是（   ） A．和m都是单项式 B．单项式的系数是 C．多项式的次数是4 D．多项式按的降幂排列为 【答案】D 【分析】本题考查了单项式与多项式，正确把握相关定义是解题的关键． 分别利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案． 【详解】解：A．和m都是单项式，故该选项正确，不合题意； B．单项式的系数是，故该选项正确，不合题意； C．多项式的次数是4，故该选项正确，不合题意； D．多项式按的降幂排列为，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 7．单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键：单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，注：单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面，当一个单项式的系数是或时通常省略数字不写而只写符号，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表示这个字母的指数是，不是“没有”． 根据单项式的系数、次数的定义即可直接得出答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：，． 8．观察下列代数式：，按照上述规律，第个代数式是 ．第n个代数式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知，单项式的系数依次为：，，，，，， 所以第个单项式的系数可表示为：， 单项式的次数依次为：，，，，，， 所以第个单项式的次数可表示为：， 所以第个单项式可表示为：， 当时，第个代数式是：． 故答案为：①，②． 9．若关于x的多项式：与的和是一个二次三项式，则 ． 【答案】4或2 【分析】本题考查了多项式的次数、项数概念及分类讨论思想，解题关键是根据“和为二次三项式”的条件，分情况讨论消去三次项的方式． 根据“和为二次三项式”的条件，分情况讨论、的值，进而求解． 【详解】 情况一：通过“系数为”消去三次项， 因为和是二次三项式， 所以三次项必须不存在，即三次项系数；同时，为保证最高次数是， 所以的次数得是或，即或． 把，代入，得． 把， 代入，得    ． 情况二：通过“同类项抵消”消去三次项 若，则和式中为，此时要消去三次项， ∴，即． ∵和为三项式， ∴一次项系数（即），此时和式为，是二次三项式． 把，代入，得． 综上，或． 故答案为：4或2． 10．已知代数式，（），该代数式的第项用含字母a，b，n的式子表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与多项式有关的规律题型，准确分析计算是解题的关键．根据已知多项式分别得出第一项、第二项、第三项的关系式，即可得出结论． 【详解】解：第一项为：， 第二项为： 第三项为：， 可知第项为：， 故答案为：． 11．把多项式按照字母降幂排列： ． 【答案】 【分析】此题考查多项式的定义，多项式按某个字母降幂排列，则该字母的指数按从大到小的顺序排列． 【详解】解：按照字母降幂排列为：， 故答案为：． 12．已知多项式是五次四项式，且单项式与该多项式的次数相同． (1)求的值； (2)当时，求该多项式的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了多项式的相关运算． （1）由“五次”可知，即可求出，进而根据“单项式与该多项式的次数相同”得到，即可求出； （2）直接将代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴， ∴； （2）解：当时， 原式． 13．已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点； (3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 【答案】(1)，，； (2)当运动到第次时，点到达点； (3)第次运动点对应的数为． 【分析】（）根据是关于的二次多项式，且二次项系数为，可得，，再根据数轴上的两点的距离，即可得到，两点之间的距离； （）首先求出前几次点P运动后表示的数，然后得到规律，进而求解即可； （）根据（）得到的规律求解即可； 本题考查了多项式的概念，数字类规律问题，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是关于的二次多项式，且二次项系数为， ∴，， ∴， ∴，两点之间的距离为， 故答案为：，，； （2）解：第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； ， ∴当第次运动时，点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∵点在点A的右边，则点P需要经过偶数次运动，又点B对应的数为， ∴， ∴， ∴； ∴当运动到第次时，点到达点； （3）解：由（）中的规律点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∴第次运动点对应的数为． 2 / 28 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 整式 1.单项式、多项式的概念及相关概念（重点） 2.单项式与多项式的区分（重点） 3.按指定字母对多项式进行升幂或降幂排列（重点） 4.单项式系数和次数的确定（难点） 5.多项式项、次数的确定（难点） 6.排列过程中项的符号处理（难点） 单项式 1.单项式 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式单独一个数或一个字母也是单项式 定义中的“积”并非不含“除法”，只是要求数与字母、字母与字母之间不能有除法。 2.单项式的系数与次数 (1)系数:单项式中的数因数叫做这个单项式的系数 (2)次数:一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 注意:(1)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写.(2)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数的形式 多项式 1.多项式 几个单项式的和叫做多项式一个式子是多项式需具备两个条件: (1)式子中含有运算符号“+”或“—”；(2)分母中不含有字母 2.多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式含有几项，就叫做几项式， 特别地，只含有一项就是单项式. 3个多项式的次数 多项式中，次数最高项的次数，就是这多项式的次数 1.多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念，没有从属关系 2.单项式的次数是所有字母指数的和，而多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，二者不能混淆. 整式 1.定义 单项式与多项式统称为整式 2.单项式、多项式、整式 (1)多项式是由单项式的和组成的，单项式、多项式统称为整式(2)整式、单项式、多项式的关系可以用如图表示 1.单项式是整式. 2.多项式是整式. 3.如果一个式子既不是单项式，又不是多项式,那么它一定不是整式。 升幂排列与降幂排列 为了便于多项式的运算，可以运用加法交换律将多项式中的冬项按某个字母指数的大小顺序重新排列 (1)把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列 (2)把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列 1.排列时要连同它们前面的符号一起移动 2.排列含有两个或以上的字母的多项式，需说明“按某一个字母的升幂(或降幂)排列” 题型一、单项式的判断 例1（24-25七年级上·广西贺州·期中）下列式子不是单项式的是（    ） A． B． C． D． 1-1（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1-2（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 1-3（24-25七年级上·陕西西安·期中）代数式：，，，0，，其中单项式的个数为 ． 1-4（24-25七年级上·江苏无锡·期中）式子，，，，中，单项式有 个． 题型二、单项式的系数、次数 例2（24-25七年级上·广东江门·期中）单项式的系数是（   ） A． B． C． D． 2-1（23-24七年级上·重庆·期中）单项式的系数与次数分别为（    ） A．，7 B．，6 C．，6 D．，4 2-2（24-25七年级上·广东广州·期中）单项式的系数和次数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2-3（24-25七年级上·广东广州·期中）若单项式的系数记作，次数记作，则 ． 2-4（24-25七年级上·四川南充·期中）单项式与的次数相同，则 ． 题型三、写出满足某些特征的单项式 例3（24-25七年级上·河南三门峡·期中）一个单项式满足下列两个条件：（1）含有两个字母；（2）次数是3，系数是．请你写出符合上述条件的一个单项式 ． 3-1（24-25七年级上·广东广州·期中）请你写出一个单项式，使它的系数为负数，次数为3： ． 3-2（24-25七年级上·广东湛江·期中）若一个单项式含有字母和，系数是2，次数是3，则这个单项式可以是 （写出一种情况即可）． 3-3（24-25七年级上·江西南昌·期中）有三个条件：①只含有字母a，b，c；②系数为； ③次数为4； 能满足这三个条件的所有单项式 为 ． 题型四、单项式规律题 例4（24-25七年级上·云南文山·期中）按照一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（   ） A． B． C． D． 4-1（24-25七年级上·山东聊城·期中）按一定规律排列的式子如下：，，，，，…，第21个式子是（   ） A． B． C． D． 4-2（24-25七年级上·广东深圳·期中）观察下列代数式：，…，按照上述规律，第2024个代数式是 ． 4-3（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，第n个单项式是 ．（n为正整数） 4-4（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）观察下列单项式：写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少？系数符号的规律是什么？系数绝对值规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么？ 题型五、多项式的判断 例5（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列说法正确的有（    ） A．是整式 B．是单项式 C．不是整式 D．是多项式 5-1（24-25七年级上·四川自贡·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是9 B．单项式的系数是 C．是三次三项式 D．不是单项式 5-2（24-25七年级上·重庆江北·期中）下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5-3（24-25七年级上·河南漯河·期中）式子，，，，，，中，多项式有 个． 5-4（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，，0，中，多项式有 个． 题型六、多项式的项、项数或次数 例6（24-25七年级上·广西贺州·期中）多项式的二次项系数是（    ） A． B． C．3 D． 6-1（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是0 B．的一次项系数是1 C．单项式的系数是，次数是6 D．是四次三项式 6-2（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）下列语句正确的是（  ） A．是二次三项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是五次三项式 6-3（24-25七年级上·全国·期中）若关于x的多项式是四次三项式，则 ． 6-4（24-25七年级上·青海西宁·期中）多项式的常数项是 ，次数是 ． 题型七、多项式系数、指数中字母求值 例7（24-25七年级上·湖南郴州·期中）多项式中，不含项，那么k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 7-1（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）为关于的三次二项式的条件是（   ） A． B．，n为任意数 C． D． 7-2（24-25七年级上·江西赣州·期中）若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 7-3（24-25七年级上·山东德州·期中）若关于的整式是三次二项式，则 ． 7-4（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的多项式不含项和项，求的值． 题型八、整式的判断 例8（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．单项式是整式 B．是三次三项式 C．多项式的项数是 D．多项式最高次项的系数是 8-1（24-25七年级上·安徽亳州·期中）下列说法正确的是（   ） A．代数式不是整式 B．单项式y的系数为0 C．单项式的次数6 D．多项式的次数为6 8-2（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）下列说法中，不正确的是（   ） A．是整式 B．是二次二项式 C．的项分别为，，1 D．多项式的三次项的系数为 8-3（24-25七年级上·吉林·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有 个． 8-4（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 题型九、将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 例9（24-25七年级上·河南南阳·期中）把按字母y的升幂排列后，其中的第2项是（   ） A． B． C． D． 9-1（24-25七年级上·重庆·期中）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 9-2（24-25七年级上·吉林长春·期中）将整式按x降幂排列为 ． 9-3（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）将多项式按字母x的降幂排列为 ． 9-4（24-25七年级上·陕西渭南·期中）已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 例1下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是 C．单项式没有系数，也没有次数 D．的次数是，系数为 【答案】D 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、的系数是，原选项说法错误，不符合题意； 、的次数是，原选项说法错误，不符合题意； 、单项式的系数为，次数为，原选项说法错误，不符合题意； 、的次数是，系数为，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 例2 将多项式按的降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按照哪个字母的降幂或升幂排列． 【详解】解：按的降幂排列是． 故答案为：． 1．单项式的系数和次数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．下列说法中错误的个数是（　　） ①倒数为本身的数是1； ②一个有理数的绝对值必为正数； ③底边半径为2，高为3的圆柱体的侧面积为； ④的系数是，次数是2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法正确的是（    ） A．整式就是多项式 B．的次数是9 C．是单项式 D．是单项式 4．已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．的系数是，次数是2 B．是六次单项式 C．的常数项是6 D．是按字母升幂排列 6．以下四个选项是小丽同学的四道作业，其中有一道不正确，你认为是（   ） A．和m都是单项式 B．单项式的系数是 C．多项式的次数是4 D．多项式按的降幂排列为 7．单项式的系数是 ，次数是 ． 8．观察下列代数式：，按照上述规律，第个代数式是 ．第n个代数式是 ． 9．若关于x的多项式：与的和是一个二次三项式，则 ． 10．已知代数式，（），该代数式的第项用含字母a，b，n的式子表示为 ． 11．把多项式按照字母降幂排列： ． 12．已知多项式是五次四项式，且单项式与该多项式的次数相同． (1)求的值； (2)当时，求该多项式的值． 13．已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点； (3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 2 / 28 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$