精品解析：2025年黑龙江省佳木斯市富锦市铁路中学、锦山中学联考中考三模数学试题

2024—2025学年中考第三次模拟考试 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. －3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】∵， ∴最小的数是-3， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完成． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，涉及合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法法则．根据相关法则逐一验证各选项即可． 【详解】解：A． ，故本选项错误； B． ，故本选项错误； C． ，故本选项错误； D． ，故本选项正确． 故选：D 3. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】从左侧看几何体，看到一个正方形，但是由于右侧面上有一条靠近上面的被挡住的棱，所以答案D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从左边看得到的图形是左视图，是解题的关键． 4. 一组数据 3，4，6，7，8，8 的中位数和众数分别是（ ） A. 6 和 8 B. 6.5 和 8 C. 7 和 8 D. 7.5 和 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：原数据已按从小到大排列为3，4，6，7，8，8， 数据个数为6（偶数），中位数为第3和第4个数的平均值， 第3个数是6，第4个数是7，因此中位数为， 观察数据，8出现了两次，出现的次数最多，因此众数为8， 故选：B． 5. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式．将已知点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可求出k的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 故选：A 6. 把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：解不等式组 解得 ∴1＜x≤3 因此，不等式组的解集1＜x≤3表示在数轴上为C． 故选C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）． 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】根据平行线分线段成比例可得， 代入计算可得：， 即可解EC=2， 故选B． 8. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，正多边形的外角，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等． 先利用内角和公式求出边数，再根据外角和定理计算每个外角的度数． 【详解】解：由题意得： 解得： ∴每个外角为： 故选：A． 9. 如图，在中，是直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和． 先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：∵是直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 10. 二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：①；②；③，④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知，，， ∴， ∴，故①错误； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知当时，， 故③错误； ∵抛物线开口向下，时抛物线与x轴相交， ∴时的抛物线位于x轴下方，即， ∴当时， 故④正确． 故选：B． 二、填空题（每题4分，满分24分） 11 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若分式的值为0，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据分子为零，分母不为零列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故答案为：2． 13. 已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是_____． 【答案】4π． 【解析】 【详解】试题分析：直接利用弧长公式求出即可． 试题解析：∵扇形的圆心角为120°，半径为6， ∴扇形的弧长是：=4π． 考点：弧长的计算． 14. 已知和的半径分别为2和3，若，则和的位置关系是______． 【答案】外切 【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差），据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵和的半径分别为2和3，且， ∴和的位置关系是外切， 故答案为：外切 15. 如图，在矩形中，，，点P在边上运动，连结，过点A作，垂足为E，设，，则能反映y与x之间函数关系式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，求反比例函数的解析式，先整理得出，则，又因为，且结合等面积法进行列式，即可作答． 【详解】解：连接 ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵点P在边上运动，连结，过点A作，垂足为E，设，， ∴， ∴． 则； 故答案为： 16. 观察下列等式： 第 1 个等式：； 第 2 个等式：； 第 3 个等式：； …… 请按以上规律，写出第n个等式： ______（n为正整数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，观察已有的式子，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… ∴， 故答案为： 三、解答题 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先化简各式，然后再进行加减计算即可解答． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E， （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 【答案】见解析；AB∥DE且AB=DE． 【解析】 【分析】（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE； （2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到AB=DE． 【详解】证明：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACD， ∵AE∥BC， ∴∠EAC=∠ACD， ∴∠B=∠EAC， ∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∵CE⊥AE， ∴∠ADC=∠CEA=90° 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）AB∥DE，AB=DE，理由如下： 如图所示， ∵AD⊥BC，AE∥BC， ∴AD⊥AE， 又∵CE⊥AE， ∴四边形ADCE是矩形， ∴AC=DE， ∵AB=AC， ∴AB=DE， ∵AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB∥DE，AB=DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，综合运用这些知识是解题的关键． 20. 某校为了了解九年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，结合统计图回答下列问题： （1）这次共抽调了多少人？ （2）若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？ （3）如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？ 【答案】（1）150人；（2） 24％；（3）7人 【解析】 【详解】解：（1）第一组的频率为1-0.96=0.04， 第二组的频率为0.12-0.04=0.08， 故总人数为 12÷0.08=150（人）， 即这次共抽调了150人； （2）第一组人数为150×0.04=6（人）， ∵从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15， ∴第三组人数为12÷4×17=51人， 第四组人数为12÷4×15=45人， 这次测试的优秀率为； （3）前三组人数为6+12+51=69，而中位数是第75和第76个数的平均数， 120是第四组中最小的数值， ∴第75和第76都是120， 所以成绩为120次的学生至少有76-69=7人． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点B的坐标； （3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标） 【答案】（1）反比例函数表达式为：；一次函数的表达式为：；（2）B（﹣3，﹣2）；（3）点 E的坐标为（1，0）或（13，0）． 【解析】 【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D，根据A、C的坐标求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式． （2）求出反比例函数和一次函数的另外一个交点即可． （3）分两种情况：①AE⊥x轴，②EA⊥AC，分别写出E的坐标即可 【详解】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D， ∵C的坐标为（﹣2，0），A的坐标为（n，6）， ∴AD=6，CD=n+2． ∵tan∠ACO=2，∴， 解得：n=1．∴A（1，6）． ∴m=1×6=6． ∴反比例函数表达式为：． 又∵点A、C在直线上， ∴，解得：． ∴一次函数的表达式为：． （2）由得：， 解得：或． ∵A（1，6）， ∴B（﹣3，﹣2）． （3）分两种情况：①当AE⊥x轴时， 即点E与点D重合， 此时E1（1，0）； ②当EA⊥AC时， 此时△ADE∽△CDA， 则， DE==12， 又∵D的坐标为（1，0）， ∴E2（13，0）． 综上所述，E1（1，0），E2（13，0）． 22. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求与之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式； （3）售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）W与x之间的函数解析式为； （3）售价为70元时，利润最大为1800元． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式； （3）将（2）得到的解析式配方成顶点式即可得最值情况． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数解析式为， 将代入得： 解得：， ； 【小问2详解】 解： ； W与x之间的函数解析式为； 【小问3详解】 解：， ∵，， ∴当时，W取得最大值为1800， 售价为70元时，总利润最大为1800元． 23. 如图，已知是的直径，点是上一点，连接，，过点作直线于点，点是上一点，直线交于点，连接，与直线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查是圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是根据相似三角形的判定定理得出∽，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． （1）先根据是直径可得出，再由及相似三角形的判定定理可得出，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案； （2）设，由（1）的结论即可得出关于的一元二次方程，求出的值，进而可得出的长． 【小问1详解】 证明：是直径， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴， 由（1）可知， 则， 解得，（舍去）， ． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D，求解下列问题： （1）求抛物线解析式和D点的坐标； （2）过点D作轴，交直线于点F，求线段的长，并求的面积； （3）能否在抛物线上找到一点Q，使为直角三角形？若能找到，试写出Q点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）2，3 （3），， 【解析】 【分析】（1）可根据A，B的坐标，用交点式求出抛物线的解析式，进而可得出D的坐标； （2）将B点代入，求出F点的坐标，进而得出的长，以及的面积； （3）本题要分三种情况进行讨论． ①当时，此时是圆G的切线，设交y轴于M，那么可通过求直线的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标． ②当时，可过Q作x轴的垂线，设垂足为P，先设出Q点的坐标，然后根据相似三角形和得出的关于，，，的比例关系式，求出Q点的坐标． ③当时，显然此时Q，C重合，因此Q点的坐标即为C点的坐标．综上所述可得出符合条件的Q点的坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入， 解得， ∴解析式为， 则点D的坐标为， 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，把代入， 解得， ∴， ∴， ∴的面积=； 【小问3详解】 解：①点C即在抛物线上， ， ， ． ∵，， ∴， ∴， 这时Q与C点重合点Q坐标为， ②如图②，若，作轴于P，轴于H，则，， ， ∴， ∴， 设点Q坐标， 即， 化简为， 即， 解之为（舍去）或， 由时，， ∴Q坐标：)， ③若，如图③，延长交y轴于M，作轴于E，轴于H， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， 得交点坐标Q为， 即满足题意Q点有三个，，， 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和应用、函数图象交点等知识，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年中考第三次模拟考试 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列各数中，最小数是（ ） A. －3 B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据 3，4，6，7，8，8 的中位数和众数分别是（ ） A. 6 和 8 B. 6.5 和 8 C. 7 和 8 D. 7.5 和 8 5. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 5 6. 把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：①；②；③，④．其中正确的个数是（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题4分，满分24分） 11. 分解因式∶________． 12. 若分式值为0，则的值是______． 13. 已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是_____． 14. 已知和的半径分别为2和3，若，则和的位置关系是______． 15. 如图，在矩形中，，，点P在边上运动，连结，过点A作，垂足为E，设，，则能反映y与x之间函数关系式是________． 16. 观察下列等式： 第 1 个等式：； 第 2 个等式：； 第 3 个等式：； …… 请按以上规律，写出第n个等式： ______（n为正整数）． 三、解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 19. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E， （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 20. 某校为了了解九年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，结合统计图回答下列问题： （1）这次共抽调了多少人？ （2）若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？ （3）如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k≠0）图象与反比例函数（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点B的坐标； （3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标） 22. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求与之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式； （3）售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 如图，已知是的直径，点是上一点，连接，，过点作直线于点，点是上一点，直线交于点，连接，与直线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D，求解下列问题： （1）求抛物线的解析式和D点的坐标； （2）过点D作轴，交直线于点F，求线段的长，并求的面积； （3）能否在抛物线上找到一点Q，使为直角三角形？若能找到，试写出Q点的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $