精品解析：2025年河南省驻马店市正阳县正阳二中、正阳一中中考三模数学试题

2025年中招考试数学模拟试题 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 面积为9的正方形，其边长等于（　　） A. 9的平方根 B. 9的算术平方根 C. 9的立方根 D. 的算术平方根 2. 《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制，则九十合等于（ ） A. 圭 B. 圭 C. 圭 D. 圭 3. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. 18° B. 20° C. 25° D. 30° 6. 某单位招聘一名员工，从专业知识、工作能力、面试成绩三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的权重比依次为．小明经过考核后所得的分数依次为90分、85分、80分，那么小明考核的最后得分是（ ） A. 80分 B. 84分 C. 87分 D. 90分 7. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9人需要步行；若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人名多少？设有辆车，个人，根据题意，列方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 9. 如图，的顶点O是原点，A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象过的顶点C和中心．将绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为( ) A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数的自变量的取值范围是___________． 12. 化简：______． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是__________________． 14. 如图1，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接，，设的长为，，如图2是点从点运动到点时，随变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是______． 15. 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于_____. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算及解不等式组 （1） （2） 17. 近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各名司机月收入情况：（单位：千元）甲公司司机：4，5，9，10，4，5，5，5，4，9．乙公司司机：4，5，7，8，6，7，6，5，6，6．整理数据，画出统计表和统计图如下： 甲公司网约车司机收入频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 10千元 人数 3 4 2 1 乙公司网约车司机收入分布统计图 根据以上信息，分析数据如下表： 网约车公司 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元 甲公司 6 5 5 乙公司 6 6 （1）请求出的值． （2）______，______，圆心角______． （3）林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数、众数和方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并给他的叔叔提供建议． 18. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）若，求二氧化碳密度的变化范围． 19. 宝轮寺塔，位于河南省三门峡市陕州风景区．宝轮寺塔始建于隋文帝仁寿元年（601年），故称仁寿建塔．为供奉舍利由尼姑道秀主持建筑，塔体为木塔．金大定十七年（1177年），僧人智秀重建宝轮寺塔（砖塔）．因其塔内回声类似蛤蟆的叫声，俗称“蛤蟆塔”．某数学兴趣小组为了测量宝轮寺塔的高度，小组成员张扬同学用无人机航拍进行测量．如图，无人机在处测得宝轮寺塔顶端的俯角为，从点朝塔顶的方向水平前进9米到达处，测得宝轮寺塔顶端的俯角为．已知无人机的飞行高度为38米，求宝轮寺塔的高度（结果保留整数，参考数据：，，，） 20. 停车楔（如图①）是一种固定汽车轮胎的装置，如图②是轮胎和停车楔的示意图．当汽车停于水平地面上时，将停车楔置于轮胎后方即可防止车辆倒退，此时紧贴轮胎，边与地面重合且与轮胎相切于点A．为了更好地研究这个停车楔与轮胎的关系，小南在示意图②上，连接并延长交于点D，连接．已知． （1）求证：； （2）小南通过查阅资料了解到，此停车楔的高度（即点C到直线的距离）为，支撑边与底边的夹角，求轮胎的直径． 21. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动． 问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． （1）操作判断 当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明； （2）深入探究 连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值． （3）解决问题 若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出两点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中招考试数学模拟试题 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 面积为9的正方形，其边长等于（　　） A. 9的平方根 B. 9的算术平方根 C. 9的立方根 D. 的算术平方根 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：正方形的面积为9， 其边长． 故选：B． 【点睛】本题考查的是算术平方根，解题的关键在于熟练掌握算术平方根的定义，算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根． 2. 《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制，则九十合等于（ ） A. 圭 B. 圭 C. 圭 D. 圭 【答案】D 【解析】 【分析】根据“抄、撮、勺、合”均为十进制，将九十合进行转化求解即可． 【详解】解：由题意，得：九十合等于圭； 故选D． 【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，为整数，是解题的关键． 3. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式可判定A，积的乘方与幂的乘方可判定B，合并同类项可判断C，利用幂的乘方可判定D即可； 【详解】解：A.，故选项A计算错误，不符合题意； B. ，故选项B计算错误，不符合题意； C. ，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，故选项D计算正确，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了幂的运算公式、完全平方公式、合并同类项，准确分析判断是解题的关键． 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. 18° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 6. 某单位招聘一名员工，从专业知识、工作能力、面试成绩三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的权重比依次为．小明经过考核后所得的分数依次为90分、85分、80分，那么小明考核的最后得分是（ ） A. 80分 B. 84分 C. 87分 D. 90分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，将各科分数乘以对应的权重比例，再求和即可得到最终得分． 【详解】解：由题意可知，权重比为，总权重为，则各部分的权重分别为、、， 计算小明的最后得分：分， 故选：B． 7. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9人需要步行；若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人名多少？设有辆车，个人，根据题意，列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设有辆车，个人，根据每辆车都坐2人，则9人需要步行可得方程，根据每辆车都坐3人，则两辆车是空的可得方程，据此建立方程组即可． 【详解】解：设有辆车，个人， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：设AG与BF交点为O， ∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO， ∴∠BAO=∠FAO， ∴△ABO≌△AFO（SAS）， ∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º， ∵AB=5， ∴， ∵AF∥BE， ∴∠FAO=∠BOE， 又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴AO=EO， ∴AE=2AO=8， 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 9. 如图，的顶点O是原点，A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象过的顶点C和中心．将绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用点D是的中点求出点B的坐标和反比例函数解析式，再由得到点C的横坐标，代入反比例函数解析式求得点C的坐标，再根据点D是的中点求出点A的坐标，再根据旋转的周期性得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴点D是的中点，点D是的中点， 又∵ ∴， 将点代入得： ∴ ∴反比例函数的解析式是． ∵ ∴点C的横坐标是4， 当时，， ∴ 又∵点D是的中点，， ∴ ∵绕原点O逆时针旋转，每次旋转， ∴点A的坐标每4次旋转作为一个循环， ∵，第三次旋转之后点A的坐标是 ∴第次旋转结束时，点A的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的图象与性质，旋转的性质等知识，利用数形结合思想和掌握旋转的周期性是解题的关键． 10. 如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过作于，于，由平分，可得，推出四边形是正方形，，设，则，证明，则，可解得，得，最后根据勾股定理可得解． 【详解】解：如图，过作于，于， ∴，， ∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数的自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键． 12. 化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式加法运算，约分，因式分解，根据异分母分式加法运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率． 【详解】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示， 根据题意，作出树状图如下， 由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中符合条件的可能性有2种， ∴小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是． 故答案为：． 14. 如图1，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接，，设的长为，，如图2是点从点运动到点时，随变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题的函数图象，如图，连接，由对称的性质可得， 所以，当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，根据图可计算， 如图， 作辅助线，构建直角三角形，计算的长可解答，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：如图，连接，，交于， ∵在菱形中点，点关于对称， ∴， ∴， 当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，如图，当时，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由图知：， 如图，连接交于，连接，过点作于， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即图象最低点的纵坐标是， 故答案为：． 15. 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于_____. 【答案】. 【解析】 【分析】根据相似三角形的判断得到△A'EP～△D'PH，由三角形的面积公式得到S△A'EP，再由折叠的性质和勾股定理即可得到答案. 【详解】∵A'E∥PF ∴∠A'EP=∠D'PH 又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90° ∴∠A'=∠D' ∴△A'EP～△D'PH 又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P ∴A'P= D'P 设A'P=D'P=x ∵S△A'EP：S△D'PH=4：1 ∴A'E=2D'P=2x ∴S△A'EP= ∵ ∴ ∴A'P=D'P=2 ∴A'E=2D'P=4 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算及解不等式组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握相关的运算法则和不等式的求解方法。 分别计算算术平方根、零次幂和乘法，再进行加减运算； 分别解出两个不等式的解集，再求它们的公共部分。 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：解不等式，得． 解不等式，得． 原不等式组的解集为． 17. 近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各名司机月收入情况：（单位：千元）甲公司司机：4，5，9，10，4，5，5，5，4，9．乙公司司机：4，5，7，8，6，7，6，5，6，6．整理数据，画出统计表和统计图如下： 甲公司网约车司机收入频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 10千元 人数 3 4 2 1 乙公司网约车司机收入分布统计图 根据以上信息，分析数据如下表： 网约车公司 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元 甲公司 6 5 5 乙公司 6 6 （1）请求出的值． （2）______，______，圆心角______． （3）林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数、众数和方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并给他的叔叔提供建议． 【答案】（1）； （2），，； （3）因为两家公司司机的月收入平均数一样，乙公司的中位数、众数大于甲公司，且乙公司司机月收入的方差小，收入更稳定，所以建议他的叔叔去乙公司做网约车司机．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了统计图，平均数、中位数、众数，读懂题意，获取信息是解题的关键． （）根据算术平均数的计算公式可得的值； （）根据中位数的定义可得的值，用平均月收入千元总数即可求出的值，由用乘平均月收入千元所占比可得圆心角的度数； （）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：甲公司网约车司机收入从小到大排序后，中位数排在第，个司机的平均数， ∴（千元）， 乙公司网约车司机收入千元所占比， ， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：因为两家公司司机的月收入平均数一样，乙公司的中位数、众数大于甲公司，且乙公司司机月收入的方差小，收入更稳定， 所以建议他的叔叔去乙公司做网约车司机．（答案不唯一） 18. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）若，求二氧化碳密度的变化范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可完成； （2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围． 【小问1详解】 解：∵密度与体积V是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：观察函数图象可知，随V的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时， 即二氧化碳密度的变化范围是． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 19. 宝轮寺塔，位于河南省三门峡市陕州风景区．宝轮寺塔始建于隋文帝仁寿元年（601年），故称仁寿建塔．为供奉舍利由尼姑道秀主持建筑，塔体为木塔．金大定十七年（1177年），僧人智秀重建宝轮寺塔（砖塔）．因其塔内回声类似蛤蟆的叫声，俗称“蛤蟆塔”．某数学兴趣小组为了测量宝轮寺塔的高度，小组成员张扬同学用无人机航拍进行测量．如图，无人机在处测得宝轮寺塔顶端的俯角为，从点朝塔顶的方向水平前进9米到达处，测得宝轮寺塔顶端的俯角为．已知无人机的飞行高度为38米，求宝轮寺塔的高度（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】27米 【解析】 【分析】作，交的延长线于点，作于点，则，，在中，根据可求出，进而可求出宝轮寺塔的高度． 【详解】作，交的延长线于点，作于点， 四边形为矩形． ． 同理，可得， 在中， ． 在中， ，， ． 解之，得． （米）． 答：宝轮寺塔的高度约为27米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题． 20. 停车楔（如图①）是一种固定汽车轮胎的装置，如图②是轮胎和停车楔的示意图．当汽车停于水平地面上时，将停车楔置于轮胎后方即可防止车辆倒退，此时紧贴轮胎，边与地面重合且与轮胎相切于点A．为了更好地研究这个停车楔与轮胎的关系，小南在示意图②上，连接并延长交于点D，连接．已知． （1）求证：； （2）小南通过查阅资料了解到，此停车楔的高度（即点C到直线的距离）为，支撑边与底边的夹角，求轮胎的直径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理和切线的性质得出，继而得出，再根据平行线的性质证明即可； （2）过点C作，垂足为H，先求出，点C到所在直线的距离为15，再求出，是等边三角形即可求解． 【小问1详解】 如图1所示：连接， 根据题意可知，为的直径，是直径所对的圆周角， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图2所示：过点C作于H点， ∵， ∴， ∵， 又∵点C到所在直线的距离为， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴轮胎直径． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点，并添加适当辅助线是解题的关键． 21. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】（1） （2） （3）没有超速 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． 【小问3详解】 解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动． 问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． （1）操作判断 当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明； （2）深入探究 连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值． （3）解决问题 若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出两点之间的距离． 【答案】（1） 四边形是菱形； 理由：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出，进而证明，，得出四边形是菱形； （2）延长至点，使，连接，依题意，，证明，得出，即可求解． （3）延长至点，使，连接，过点作于点，可得是三角形是中位线，证明，则，，进而得出，，可得点在上，根据等边三角形的性质勾股定理求得，，进而分点在的左边和右边，分别求得，根据求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，延长至点，使，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 延长至点，使，连接，过点作于点， ∵是的中点， ∴是三角形是中位线 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $