精品解析：2024年甘肃省定西市安定区城区学校联考九年级中考三模数学试题

公园路中学2023—2024学年度第二学期第三次月考 九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 5的倒数是（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，根据乘积是1的两个数互为倒数即可得解． 【详解】解：∵， ∴5的倒数是， 故选：B 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键． 5. 如图，在长方形中，点是上一点，连接，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则折痕的长度为（ ） A. B. 10 C. D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠性质，，，从而由长方形性质知，，根据，得到，在中，利用勾股定理得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，从而在中，利用勾股定理得到，从而得到答案． 【详解】解：由折叠性质可知，， 在长方形中，， ， ， 在中，利用勾股定理得到， 设，则， 在中，利用勾股定理得到，即，解得， ， 在中，利用勾股定理得到， 故选：C． 【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，涉及长方形性质、折叠性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 6. 若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案． 【详解】∵直线（是常数，）经过第一、第三象限， ∴， ∴的值可为2， 故选：D． 【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键． 7. 如图，在⊙О中，弦AB=2，点C是圆上一点且∠ACB=45°，则⊙О的直径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由圆周角定理可得∠O=90°，然后可得△AOB是等腰直角三角形，进而问题可求解． 【详解】解：∵∠ACB=45°， ∴∠O=2∠ACB =90°， ∵OA=OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∵AB=2， ∴，即， ∴⊙О的直径为4； 故选D． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 8. 如图，、、，是六边形的四个外角，延长交于点若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，多边形的外角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“多边形的外角和是”等知识点是解题的关键． 先利用多边形的外角和求出的度数，再利用三角形的内角和定理得结论． 【详解】解：多边形的外角和恒为， 即， ∵ ∴． ∵， ∴． 故选：C． 9. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键． 10. 如图，在钝角中（为钝角），，，，在其内部作一个矩形，使矩形的一边在边上，顶点M，P分别在边，上．设矩形的一边，矩形的面积为y，则y与x的函数关系式可用函数图象表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及其性质，二次函数的图象，解直角三角形等知识，过点A作于H，先在中，利用正弦和余弦定义求出，，然后在中，利用勾股定理求出，然后证明，，可求出，，然后利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点A作于H， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式的函数图象表示为开口向下的抛物线，顶点坐标为 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若﹣x4ya﹣1与x2by是同类项，则a+b的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求得a、b的值，然后求解． 【详解】解：根据题意得：a﹣1＝1，2b＝4， 解得a＝2，b＝2， ∴a+b＝2+2＝4． 故答案为：4 【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 12. 不等式组的解集是，则a的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出a的取值范围即可． 【详解】解：由，得： ， ∵不等式组 的解集是， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集确定规则是关键． 13. 分解因式3x3-12x=________ 【答案】3x(x+2)(x-2) 【解析】 【详解】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解． 解答：解：3x3-12x =3x（x2-4）--（提取公因式） =3x（x-2）（x+2）． 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 15. 如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线长定理得到，．即可求出的周长．熟练掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵分别切于A、B． ∴ ∵过点C的切线分别交于点E、F． ∴． ∴的周长 ． 故答案为： 16. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F，连接交于点G．若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 证明，得出，，求出，的长，证明，得出，则可得出答案． 【详解】解：， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算． 【详解】原式 ， ． 【点睛】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为． 【点睛】此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先将除法转化为乘法进行计算，再根据分式的加减计算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 20. 在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）如图①中，找格点C，使得AB＝BC，∠ABC＝90°； （2）在图②中找点D作∠DAB使得tan∠DAB＝． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格即可找格点，使得，； （2）根据网格找点作，由，可得，所以，可得，进而可得． 【小问1详解】 如图①中，格点即为所求； 【小问2详解】 在图②中，点即为所求． 根据勾股定理得：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图、等腰直角三角形的性质及解直角三角形，解决本题的关键是得到． 21. 如图，点F在线段上，点E，G在线段上，． （1）求证：； （2）若于点H，平分，，求∠1的度数． 【答案】（1）见解析 （2）∠1的度数为 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质可得，再结合已知可得，然后利用平行线的判定，即可解答； （2）根据垂直定义可得，再利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，垂线的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 22. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？ 【答案】该玩具销售单价应定为元或元，售出玩具为件或件 【解析】 【详解】试题分析：设该玩具销售单价应定为x元，则售出玩具[600-10（x-40）]件，根据单件利润×销售数量=总利润即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 试题解析：设该玩具的销售单价应定为元 根据题意，得 解得 当时，件，当时，件. 答：该玩具的销售单价定为元时，售出500件；或售价定为元时售出200件. 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 已知中，． （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，连接交于点，，，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质的综合，掌握矩形、菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，对角相等，结合对角的和为可得，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求证； （2）根据两组对边平行的四边形是平行四边形可得是平行四边形，根据矩形的性质可得，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求证． 【小问1详解】 证明：∵四边形的平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 证明：∵，，即， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 24. 为了锻炼身体，增强体质，公园路中学将举行2024年度中学生艺术展演暨第23届体育运动会，体育组想了解同学们最喜爱的体育项目，由此设计了一份调查问卷，问卷要求每人必选且只能选一种最喜爱的体育项目，现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）这次共调查了______人，并补齐条形统计图． （2）在扇形统计图中，表示“铅球”的扇形圆心角是多少度？ （3）小李和小文都想从“跳高”、“短跑”、“铅球”中任选一种项目进行比赛，请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选择同一种比赛项目的概率． 【答案】（1），图见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用条形统计图中“短跑”的人数除以扇形统计图中“短跑”的百分比可得本次调查的人数，再分别求出铅球和长跑的人数即可补全条形统计图． （2）用选择“铅球”的人数，除以总人数，再乘以即可得到表示“铅球”的扇形圆心角． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一种比赛项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：这次共调查的人数为（人） 故答案为：150； 选择长跑的人数为：（人） 选择铅球的人数为：（人）， 补全条形统计图如图： 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，表示“铅球”的扇形圆心角度数是 【小问3详解】 解：将“跳高”、“短跑”、“铅球”分别记为A，B，C， 画树状图如下： 由树状图可得，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种比赛项目的结果有3种， 所以，两人恰好选择同一种比赛项目的概率为 25. 如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 【答案】（1）60°；（2）5． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOD的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r−2）2＋42＝r2，再解方程即可得出结果． 【详解】解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∵OD⊥AB， ∴＝，， ∴∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2， ∵OD⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝×8＝4， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r2， 解得：r＝5， 即⊙O的半径长为5． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 26. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2）；（3），证明见解析； 【解析】 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键． 27. 如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）若，求P点坐标． （3）当点P运动到什么位置时，三角形的面积最大？求出此时P点的坐标和三角形的最大面积． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的性质． （1）把，代入，求出a和c的值，即可得出二次函数表达式； （2）根据，，得出点P的纵坐标为3，求出时自变量的值即可； （3）先用待定系数法求出直线的函数表达式为，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，设，则，求出，再根据，得出，最后根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴点P的纵坐标为3， 把代入得：， 解得：（舍去），， ∴； 【小问3详解】 解：设直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 过点P作y轴的平行线，交直线于点Q， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，三角形的面积最大， 此时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 公园路中学2023—2024学年度第二学期第三次月考 九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 5的倒数是（ ） A. 5 B. C. D. 2 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在长方形中，点是上一点，连接，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则折痕的长度为（ ） A. B. 10 C. D. 15 6. 若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图，在⊙О中，弦AB=2，点C是圆上一点且∠ACB=45°，则⊙О的直径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 8. 如图，、、，是六边形的四个外角，延长交于点若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在钝角中（为钝角），，，，在其内部作一个矩形，使矩形的一边在边上，顶点M，P分别在边，上．设矩形的一边，矩形的面积为y，则y与x的函数关系式可用函数图象表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若﹣x4ya﹣1与x2by是同类项，则a+b的值为_____． 12. 不等式组的解集是，则a的取值范围是________． 13. 分解因式3x3-12x=________ 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 15. 如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为_______． 16. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F，连接交于点G．若，，则的长为______． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 化简：． 20. 在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）如图①中，找格点C，使得AB＝BC，∠ABC＝90°； （2）在图②中找点D作∠DAB使得tan∠DAB＝． 21. 如图，点F在线段上，点E，G在线段上，． （1）求证：； （2）若于点H，平分，，求∠1的度数． 22. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？ 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 已知中，． （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，连接交于点，，，求证：四边形为菱形． 24. 为了锻炼身体，增强体质，公园路中学将举行2024年度中学生艺术展演暨第23届体育运动会，体育组想了解同学们最喜爱的体育项目，由此设计了一份调查问卷，问卷要求每人必选且只能选一种最喜爱的体育项目，现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）这次共调查了______人，并补齐条形统计图． （2）在扇形统计图中，表示“铅球”的扇形圆心角是多少度？ （3）小李和小文都想从“跳高”、“短跑”、“铅球”中任选一种项目进行比赛，请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选择同一种比赛项目的概率． 25. 如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 26. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 27. 如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）若，求P点坐标． （3）当点P运动到什么位置时，三角形的面积最大？求出此时P点的坐标和三角形的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $