精品解析：吉林省长春市十一高中2024-2025学年高一下学期第三学程考试数学试题

长春市十一高中2024-2025学年度高一下学期第三学程考试 数学试题 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法、乘法运算，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，可得，所以 所以5. 故选：B 2. 空间中，设、是两条直线，、是两个平面，下列命题中，正确的是（ ） A. 对于空间中的直线，若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若直线上存在两点到平面的距离相等，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；利用平面的法向量的定义可判断B；利用线面位置关系可判断CD. 【详解】对于A，当，，，时，只有相交时才有，故A错误； 对于B，若，，则分别是平面的一个法向量， 又，则，则，故B正确； 对于C，若，，，则与可以相交，故C错误； 对于D，若直线上存在两点到平面的距离相等，则或与相交，故D错误. 故选：B. 3. 若个样本，，，，的平均数是，方差为，则对于样本，，，，的平均数与方差分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】D 【解析】 【分析】设，得到，根据题意，结合平均数和方差的性质，即可求解. 【详解】设，可得，则 根据题意，可得个样本的平均数是，方差为，即， 所以样本的平均数为，方差为， 即样本，，，，的平均数与方差分别是和. 故选：D. 4. 如图，在直三棱柱中，，AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线和平面所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件建立空间直角坐标系，设，列出点坐标，求出平面的法向量，利用线面夹角的向量公式求解即可. 【详解】由题意，以C为坐标原点，以CA，CB，为，，轴建立空间坐标系，如下图所示： 令，则，，，， 故，， 设为平面的一个法向量，则，即 令，则，，从而， 设直线和平面所成角为， 则， 故，从而. 故选：D. 5. 为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（ ） A. 老年男性志愿者人数为90 B. 老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数 C. 青年女性志愿者人数为72 D. 中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个年龄层的人数，结合等高堆积条形图即可结合选项逐一求解. 【详解】由图1可知300名主播中，青年人有人， 中年人有人，老年人有人， 对于A,由图2可知样本老年男性志愿者人数为人，故A错误； 对于B,由图2可知老年女性志愿者人数为人； 中年女性志愿者有人；故B错误， 青年女性志愿者有人，故C正确， 中年男性志愿者人数为，青年男性志愿者人数，故D错误， 故选：C 6. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用解等腰梯形可求得棱台的高，从而利用台体体积公式即可求解. 【详解】因为是正四棱台，，， 侧面以及对角面为等腰梯形， 故，， ，所以， 所以该四棱台的体积为， 故选：B. 7. 如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积. 【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为， 正六棱柱的底面面积为， 如图所示，正六棱台中，， 过点分别作垂直于底面于点， 连接相交于点，则分别为的中点， 过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高， 其中，，， 由勾股定理得，故， 所以正六棱台的斜高为， 故正六棱台的侧面积为， 又正六棱台的下底面面积为， 所以该花灯的表面积为． 故选：A． 8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角;当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且，若P为的费马点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求出A，结合题设易知点P一定在的内部，再利用余弦定理、向量的数量积求出结果． 【详解】由，及正弦定理得， 因为，所以，消去得． 因为，故或， 而根据题意，故不成立， 所以，又因为，代入得，所以． 由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于， 结合题设易知点P一定在的内部． 由余弦定理可得， 解得 ， 所以， 所以 ． 故选：A. 【点睛】思路点睛：解题的思路是由正弦定理求出A，结合题设易知点P一定在的内部，再利用余弦定理、向量的数量积求出答案． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B. 直方图中的值为0.020 C. 估计全校学生成绩的中位数为87 D. 估计全校学生成绩的分位数约为90 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图计算区间的频率，即可判断A，根据频率和为1，计算的值，判断B，根据中位数和百分位数公式，判断CD. 【详解】A.由图可知，成绩在区间内的频率为，人，故A错误； B.由图可知，，得，故B错误； C.前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在第4组， 所以，得，故C正确； D. 样本数据的分位数在第5组，，得，故D错误. 故选：C 10. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，，则的形状一定是直角三角形 B. 若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C. 平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形 D. 在中，若，则P点的轨迹经过的内心 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量的概念和线性运算和向量的数量积的运算律逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以是直角三角形，故A正确； 对于B，依题意如图，但，故选项B错误； 对于C，由，可得， 所以，所以， 所以，所以四边形ABCD是矩形，故C正确； 对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角， 故点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正三棱柱中，、分别是棱，的中点，连接，，，是线段的中点，是线段上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与平面所成的角为 C. 三棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为 D. 若，则过，，三点作平面，截正三棱柱所得截面图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，要证明两平面平行，需证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可，即证明平面；对于选项B，首先找出直线与平面所成角，然后确定其角度的大小即可；对于选项C，根据三棱锥和三棱柱的体积公式进行求解即可；对于选项D，先确定平面截正三棱柱的截面图形，然后根据垂直关系和线段关系求解即可. 【详解】对于选项A： 取中点，连接. 则在中，，所以. 在中，，所以. 又平面，不在平面内， 所以平面，平面， 又，所以平面平面.所以A正确； 对于选项B： 由A知平面与平面平行，所以直线与平面所成的角也是直线与平面所成的角.因为正三棱柱，所以， 又，所以平面. 所以直线与平面所成的角为，所以B错误； 对于选项C： 因为平面，，所以平面. 因为是的四等分点，是的中点， 所以. 所以三棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为： ，所以C正确； 对于选项D： 连接并延长交于点，连接即是平面截正三棱柱的截面图形. 因为正三棱柱，所以. 因为平面，平面，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，， 在中，，所以. 所以根据勾股定理. 所以，所以D正确. 故选：ACD. 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是两个相互独立事件，且，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式与和事件的概率公式计算即得. 【详解】因是两个相互独立事件，则也相互独立，即， 因，则， 则 . 故答案为：. 13. 已知一组均为正整数的数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是13，8，26，8，11，8，若这组数据的平均数、中位数、众数满足，现从已知的6个数据中任意抽一个记为y，则的概率为_____________． 【答案】或 ． 【解析】 【详解】设丢失的数据为x，则七个数据的平均数，众数．若，则中位数为8，此时，解得（舍去）；若，则中位数为x，此时，解得；若，则中位数为11，此时，解得．故丢失的数据或．当时，，此时的概率为；当时，，此时的概率为 14. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接和交于点，先证明平面，再结合几何关系求出球的半径和球的体积公式可得. 【详解】如图正八面体，连接和交于点， ，， ，， 又和为平面内相交直线， 平面， 为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为， 正八面体的表面积为， 正八面体的棱长为， ， 因为点为正八面体的中心，其六个顶点看作正方体各个面的中心点， 所以由勾股定理可得，解得， ， 则， ， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知向量，其中 （1）若，求k的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求得的坐标，再根据求解； （2）先求得，的坐标，再由求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 ， ， 所以， 所以向量在向量的投影向量为. 16. 如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明：因为分别是的中点，所以， 因为，所以，则，，即， 又因为，平面，所以平面， 故平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由已知先证明平面，然后由面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接，过点作，垂足为，连接，得出二面角的平面角为，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 因为平面，直线与平面所成的角为 所以，即， 因为，，所以，是等腰直角三角形， 可得，所以，即为等边三角形， 则点为中点，， 在中，，在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 【点睛】 17. 在中，内角所对的边分别是， （1）若，求角； （2）若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；②. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解. （2）①由已知可得AD是的平分线，利用三角形面积公式列式计算；②利用正弦定理，结合三角恒等变换及正弦函数性质求出范围. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理得，而， 所以． 【小问2详解】 ①由，得AD是的平分线， 由（1）知，，得，在中，， 即，则， 所以. ②在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得， 则，由，得， 因此， 由，得，则， 所以的取值范围为. 18. 某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. （1）设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. （2）求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】（1）设出事件，①根据独立事件概率乘法公式运算求解；②分析可知，结合独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法运算求解； （2）由已知，整理得，即可得当时，概率最小，求解可得. 【小问1详解】 ①设“甲答对一道题”为事件，则， 则甲答对一道题的概率为； ②设“甲答对两道题”为事件，“乙答对一道题”为事件， “乙答对两道题”为事件，“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则， ， ， ， 故甲、乙一共答对三道题的概率为； 【小问2详解】 由题知，， 设“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则 ， 当时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为. 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.，，为球面上三点，设表示以为圆心且过，的圆，表示以为圆心且过，的圆，表示以为圆心且过，的圆，由圆，，的劣弧，，围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为（为球半径），已知. （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若平面三角形为直角三角形，，延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据垂直可得，即可代入公式求解. （2）根据球的性质可得线线垂直，进而可证明平面，即可建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用向量的夹角公式，得，结合换元以及基本不等式即可求解的最大值得解. 【小问1详解】 若平面两两垂直，有， 所以球面三角形面积为． 【小问2详解】 由是球的直径，得，且，平面， 则平面，又平面，则，而，平面， 于是平面，由直线与平面所成的角分别为，得， 由，得， 以C为坐标原点，直线分别为x，y轴，过点C作的平行线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 则， 设平面法向量，则，取，得， 设平面法向量，则，取，得， 因此 ， 令，则， 于是， 当且仅当时取等号，取最大值，为最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2024-2025学年度高一下学期第三学程考试 数学试题 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 空间中，设、是两条直线，、是两个平面，下列命题中，正确的是（ ） A. 对于空间中的直线，若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若直线上存在两点到平面的距离相等，则 3. 若个样本，，，，的平均数是，方差为，则对于样本，，，，的平均数与方差分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 4. 如图，在直三棱柱中，，AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线和平面所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 5. 为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（ ） A. 老年男性志愿者人数为90 B. 老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数 C. 青年女性志愿者人数为72 D. 中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数 6. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角;当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且，若P为的费马点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B. 直方图中的值为0.020 C. 估计全校学生成绩的中位数为87 D. 估计全校学生成绩的分位数约为90 10. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，，则的形状一定是直角三角形 B. 若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C. 平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形 D. 在中，若，则P点的轨迹经过的内心 11. 如图，在正三棱柱中，、分别是棱，的中点，连接，，，是线段的中点，是线段上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与平面所成的角为 C. 三棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为 D. 若，则过，，三点作平面，截正三棱柱所得截面图形的面积为 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是两个相互独立事件，且，，则________. 13. 已知一组均为正整数的数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是13，8，26，8，11，8，若这组数据的平均数、中位数、众数满足，现从已知的6个数据中任意抽一个记为y，则的概率为_____________． 14. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知向量，其中 （1）若，求k的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 16. 如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值. 17. 在中，内角所对的边分别是， （1）若，求角； （2）若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 18. 某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. （1）设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. （2）求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.，，为球面上三点，设表示以为圆心且过，的圆，表示以为圆心且过，的圆，表示以为圆心且过，的圆，由圆，，的劣弧，，围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为（为球半径），已知. （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若平面三角形为直角三角形，，延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $