专题 1.4 全等三角形的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 1.4 全等三角形的判定 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）三角形全等的判定方法——边边边（SSS） 1 【题型1】直接利用“SSS”证明三角形全等 2 【题型2】构造条件利用“SSS”证明三角形全等 4 【题型3】利用“SSS”证明三角形全等与三角形性质综合求值证明 6 知识点（二）三角形全等的判定方法——边角边（SAS） 8 【题型4】直接利用“SAS”证明三角形全等 8 【题型5】构造条件利用“SAS”证明三角形全等 10 【题型6】利用“SAS”证明三角形全等与三角形性质综合求值证明 12 知识点（三）三角形全等的判定方法——角边角（ASA） 15 知识点（四）三角形全等的判定方法——角角边（AAS） 15 【题型7】利用“ASA”或“AAS”直接证明三角形全等 16 【题型8】利用“ASA”或“AAS”间接证明三角形全等 17 【题型9】利用“ASA”或“AAS”证明三角形全等与全角形全等综合 20 知识点（五）三角形全等的判定方法的选择 22 【题型10】选择适合的方法和常用途径证明三角形全等 22 【题型11】结合尺规作图证明三角形全等 26 二．同步练习 28 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 28 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 43 3. 直通中考（选择题4题，填空题2题，解答题4题） 61 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）三角形全等的判定方法——边边边（SSS） （1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 【题型1】直接利用“SSS”证明三角形全等 【例题1】 （24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 解：如图，连接    甲：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故甲的作法正确； 乙：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故乙的作法正确． 故选A． 【变式1】（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 【变式2】已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形． 【答案】3 【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证． 解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB， ∴△ADB≌△ACB； ∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO， ∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB ∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO． ∴图中共有3对全等三角形． 故答案为3． 书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来 【题型2】构造条件利用“SSS”证明三角形全等 【例题2】 （2025·云南西双版纳·二模）如图，四点共线，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形判定即可证明． 解：证明：， ， ， 在和中， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（或等） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理；要运用“”来证明三角全等，根据条件，添加的条件需要使得三条边对应相等即可． 解：，， 要运用“”来证明， 可以添加的条件需要使得即可， 故添加的条件是：， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，，，则 °． 【答案】/130度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，理解相关知识是解答关键． 连接，利用“”易得，根据全等三角形的性质易得，根据三角形的内角和定理得到的度数来求解． 解：连接，如下图 在和中 ， ， ，， ， ． ， ． ． 故答案为：． 【题型3】利用“SSS”证明三角形全等与三角形性质综合求值证明 【例题3】 （23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，点A、E、B、D在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先得到，再根据边边边证明全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等，以及平行线的判定即可证明． 解：（1）证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴，              ∴． 【变式1】（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可得解． 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A．28° B．54° C． D．82° 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 解： 即 在和中， 故选C． 知识点（二）三角形全等的判定方法——边角边（SAS） （1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 【题型4】直接利用“SAS”证明三角形全等 【例题4】（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，交于点E，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定，直接根据“”进行证明即可． 解：证明：在和中， ， ． 【变式1】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）同学们在学习完全等三角形之后，体会到了全等具有转化等线段的作用．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，只需测量（）就可得到A、B间的距离． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质. 证明，得到即可． 解：观察图形发现：，，， ∴． ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，，，则，理由是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握证明两三角形全等是解题的关键． 解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 【题型5】构造条件利用“SAS”证明三角形全等 【例题5】 （24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 【变式1】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要全等三角形的判定，由O是的中点，可得，再有对顶角相等，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 解：∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a，再在第一个三角形中计算的度数，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 解：设第一个三角形中a的对角为， 由两个三角形全等，根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a， 故， 根据题意，得， 故答案为：． 【题型6】利用“SAS”证明三角形全等与三角形性质综合求值证明 【例题6】 （23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证： （1）点在的平分线上； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，证明，根据性质可得，然后通过角平分线的判定方法即可求证； （）由（）可知，得，又，然后通过线段和差即可求证． 解：（1）证明：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2）证明：由（）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】（2025·浙江台州·二模）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据，可以知道，再用邻补角定义求解即可． 解：如图 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∵， 故选：A． 【变式2】（20-21八年级上·全国·课后作业）如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝ ． 【答案】120° 【分析】先证明得到，再利用以及三角形的内角和定理、邻补角的性质可得答案． 解： 在与中， 故答案为： 【点拨】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，邻补角的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． （3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 知识点（三）三角形全等的判定方法——角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 知识点（四）三角形全等的判定方法——角角边（AAS） （1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）重点强调：三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【题型7】利用“ASA”或“AAS”直接证明三角形全等 【例题7】 （24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，．求证：． 【答案】见分析 【分析】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理． 利用判定全等即可． 解：证明：在和中 ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，根据图中的角度和边长，能判断这两个三角形全等的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及全等三角形的判定，先观察图形，运用三角形内角和算出，则，即运用证明图中的两个三角形是全等三角形，即可作答． 解：依题意， 则，， 即得出两组角分别相等，夹边相等， 故两个三角形是全等三角形， 故选：B 【变式2】（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题转化为数学问题解答是关键． 显然第③中有完整的三个条件，用可得到现要的三角形与原三角形全等． 解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用可得三角形全等，故应带第③块． 故答案为：③． 【题型8】利用“ASA”或“AAS”间接证明三角形全等 【例题8】 （24-25七年级下·四川成都·期中）如图，于点D，于点E，与交于点O． （1）试说明：； （2）试说明：； （3）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由角角边即可证明； （2）由得，利用角边角即可证明； （3）由得，而，由此即可求解． 解：（1）证明：∵，， ∴ 在与中 ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 即； ∵， ∴； （3）解：∵， ∴； ∴， ∴． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·二模）如图，且，点在上．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由平行线的性质可得，最后再利用证明，由全等三角形的性质即可得解． 解：， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（2025·云南昆明·模拟预测）如图，点，，，在一条直线上，，．请加一个条件 使得，并写出证明过程． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题关键．由平行线的性质可得出．再根据三角形全等的判定定理添加一个条件即可． 解：添加的条件是． 证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴； 添加的条件是． 证明：∵， ∴． 在和中，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 【题型9】利用“ASA”或“AAS”证明三角形全等与全角形全等综合 【例题9】 （24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知：如图，在中，，，交于点，于点，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查同角的余角相等，全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 由，，得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得到，，进而即可证明． 解：证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的性质． 根据题意证明得出，根据邻补角互补得出,根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质得到，，即可解决问题． 解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 知识点（五）三角形全等的判定方法的选择 （1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS HL （2）如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【题型10】选择适合的方法和常用途径证明三角形全等 【例题10】 （24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． （1）你选择添加的选项是______（填序号）； （2）添加条件后，请证明． 【答案】（1）①或②或③；（2）见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， （1）添加①或②或③均可证明全等； （2）由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等． 解：（1）解：选择①或②或③ （2）选择①，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择②，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在与中，，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． （1）你选的条件为______、______，结论为______； （2）证明你的结论． 【答案】（1）①；③；②（或①；②；③）；（2）详见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据全等三角形的判定选择即可； （2）根据选择的条件进行证明． 解：（1）解：解法一：选的条件是：①，③，结论是②； 解法二：选的条件是：①，②，结论是③； （2）解：解法一证明： ， ， 在和中， ， ， ． 解法二证明： ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在中，点D在上，点E在上，且． （1）请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】（1），（答案不唯一）；（2），理由见分析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 （1）根据已知条件，在和中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可（也可添加）； （2）由得，，进而可得，即可证明． 解：（1）解：添加的条件是，依据是； 在和中， ； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ，即， 在和中， ． 【题型11】结合尺规作图证明三角形全等 【例题11】 （24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，． （1）在图1中，尺规作图：作直线（保留作图痕迹．不写作法）； （2）如图2，在（1）的条件下，延长至点，使得，过点作交直线于点，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查尺规作图—作平行线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）根据内错角相等，两直线平行，过点作一个角等于，即可； （2）证明，即可得证． 解：（1）由题意，作图如下： （2）证明：， （两直线平行，同位角相等）， ， 在和中， ， （全等三角形的对应边相等）． 【变式1】（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键． 由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 解：由作图方法可知， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：． 二．同步练习​ 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是四边形的对角线，若，，容易证明，依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由证明，即可得出结论． 解：在和中， ， ， 故选：． 2．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 解：在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 3．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）如图，，要证明，则需添加下列条件中的一个，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法（、、、、）逐一判断即可． 解：已知，， 补充，无法证明， 补充，根据证明， 补充，根据证明， 补充，根据证明， 故选：A． 4．（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 解：连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意可证，可得，根据三角形内角和可得，再根据是的外角即可求解． 解：在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵是的外角，即， ∴ 故选：D ． 6．（24-25八年级上·北京·期中）数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，尺寸如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，那么你认为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积．过点作交于点，过点作的延长线，交于点，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，结合题意可得这两个三角形是等底等高的三角形，故面积相等，即可求解． 解：如图：过点作交于点，过点作的延长线，交于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 故， 即． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，．根据三角形全等的判定方法进行解答即可． 解：①中有两个完整的角和一条完整的边，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形； ②中有两条完整的边和一个完整的角，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形； ③中只有一个完整的角，因此不能画出和原来完全一样的三角形； 综上分析可知，①和②可以， 故答案为：①②． 8．（2025·福建·模拟预测）在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，延长到E，使得，连接，可证明，得到，根据三角形三边的关系可求出的取值范围，进而可得的取值范围． 解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·河南新乡·开学考试）有一座小山，现要在小山的A，B两端开一条隧道，如图，施工队要知道A，B之间的距离，于是先在平地上取一可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接．经测量，的长度分别为，则A，B之间的距离为 m． 【答案】800 【分析】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 利用“”证明，然后根据全等三角形的性质得． 解：在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：800． 10．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，的平分线交点P，点E是上一点，且．若，则 °．    【答案】 【分析】根据题意可证，设，则，根据三角形的内角和定理即可建立方程求解． 解：∵ ∴ ∵分别平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴ 解得： 故答案为： 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的内角和定理．掌握相关结论是解题关键． 11．（2025八年级下·广西·专题练习）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想是解题关键． 分两种情况进行讨论，①，②，根据题意得出和即可求解． 解： 四边形是长方形， ，， ， 或， 或． ①如图，当时， 根据题意，得：，， ，解得：； ②如图，当时， 根据题意，得：，， ，解得：； 当或时，与全等． 故答案为：或． 12．（24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ； ．        B．         C．         D． 【答案】 D C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，倍长中线法证明三角形全等是解题的关键； （1）如图中，延长到点，使，连接，利用证明； （2）根据全等三角形的性质推出，再根据，可得结论； 解：（1）解：延长到点，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：D； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：C； 三、解答题 13．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，已知，，，．求证：．（提示：连接、、） 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接、、，证明得到，再证明得到，据此可证明． 解：证明：如图所示，连接、、， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，，，，．连接，点D恰好在上． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形外角性质． （1）利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质和三角形外角性质计算即可． 解：（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：∵，，， ， ． 15．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，C，E，F分别是直线上的三点，且，请提出对三条线段之间数量关系的合理猜想，并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】本题考查平角，三角形的内角和，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由题意推出，再证，继而得答案． 解：．理由： ，， ，， ． 在和中， ． ，． ． 16．（24-25八年级上·重庆忠县·期末）如图所示，在中，点为的中点，点在边上，与交于点，连接，已知，．证明： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查全等三角形，三角形的内角和等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和的应用，根据题意，构造全等三角形，进行解答，即可． （1）根据三角形的内角和，求出，根据等量代换，则，再根据三角形的内角和，即可； （2）过点作，与的延长线交于点，根据全等三角形的判定和性质，可得，推出，，再根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，根据，即可证明． 解：（1）解：证明如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴． （2）解：证明如下： 过点作，与的延长线交于点， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，已知中，点D在上，，使不一定成立的条件是（   ） A．平分 B． C．D是的中点 D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 解：A．平分， ， 在和中， ， ， 故A正确，不符合题意； B．， ， 在和中， ， ， 故B正确，不符合题意； C．D是的中点， ， 在和中， ， ， 故C正确，不符合题意； D．无法证明， 故选：D 2．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，，，判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，发现隐含条件是解题的关键． 由已知条件可得、，再结合隐含条件即可解答． 解：在和中， 已知，，， 所以运用判定． 故选：D． 3．（24-25七年级上·山西太原·期末）如图，已知四边形与四边形，小华在，上分别取点D，，使．在，上分别取点E，，使．为判断与的大小关系．应比较（   ） A．线段与的长 B．线段与的长 C．线段与的长 D．线段与的长 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 连接，当时，可以依据“”判定和全等，则，进而得当时，，当时，，据此即可得出答案． 解：连接，如图所示： 当时，，理由如下： 在和中， ， ， ， ∴要判断与的大小关系，判断线段与的长即可， 当时，， 当时，， 当时，． 故选：B． 4．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，任意画一个的，再分别作的两条边的角平分线和，、相交于点P，连接，下列结论中错误的有（   ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，A正确；由可知，过点P作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，B正确，由可证，可得，即可判断C，故可求解． 解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 过点P作于N，于G，于H， 又∵、分别是与的角平分线， ∴， ∴是的平分线， 故B选项正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， 若，， 则， 故C选项错误，符合题意； 由②知， 即P到、的距离相等， ∴， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，，是的平分线，且．若，四边形的面积为，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，延长，交于点，证，得；再证，得，可推出点到的距离等于点到的距离，设其为；根据即可求解 解：延长，交于点，如图所示： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离，设其为； ∵ ， ∴， 即， ∴， 故选：C 6．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为（   ）秒． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定的应用，一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定的应用是解题的关键； 根据题意，分、或、讨论，即可求解； 解：当与全等时， ， 、或、， ， ∴当点由点到点，即时， 则， 解得：； 当点由点到点，即时， ， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或； 故选：B 7．（24-25八年级上·上海·假期作业）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有   A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、．做题时要由易到难，不重不漏．，，，，，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 解：，， ， ， ， ； ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ； ， ， ，， ，， 故选：C． 二、填空题 8．（2022·江苏盐城·一模）锐角与锐角，若，，，则与是否全等．填是或否 ． 【答案】否 【分析】以E为圆心，EF长为半径画弧，交DF于，由图即可判定． 解：如图所示：以E为圆心，EF长为半径画弧，交DF于， 和中，，，， 由图可知和不全等， 故答案为：否． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 9．（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，于D，E是上一点，连接并延长交于F，若，，，．则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，通过证明三角形全等得出对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．证明，可得，，然后证明，根据列式计算即可． 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质和已知条件证明，再证明得到，据此可得答案． 解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，是边上的高，在左侧作，点B为延长线上一点，连接，使得，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.如图，过作于，记的交点为，可得，，证明，，可得，再进一步求解即可. 解：如图，过作于，记的交点为， ∵是边上的高，在左侧作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 12．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点． （1）若，则 ；（用含的代数式表示 （2）当点运动 s时，． 【答案】 α 2或5 【分析】（1）先证明，由对顶角性质得到，则； （2）①当点E在射线上移动时，证明，则，得到，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，即可得到答案；②当点E在射线上移动时，作点作交直线于点，，证明，则，得到，点从点B出发，在直线上以的速度移动，即可得到答案． 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：（1）∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）①如图，当点E在射线上移动时， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点在射线上移动时，作点作交直线于点，， ∴， ∵, ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴移动了：（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动或时，； 故答案为：2或5． 三、解答题 13．（24-25七年级下·广东深圳·期末）已知，如图，，相交于点，且． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑） （2）若，求证： 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）利用尺规作垂直平分的方法求解即可； （2）由（1）得，垂直平分，得到，，然后得到，推出，等量代换得到，即可证明． 解：（1）如图所示， （2）由（1）得，垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点拨】此题考查了尺规作垂直平分线，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是角平分线，与相交于点F，，垂足分别为M，N． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）求出，根据角平分线定义，得，，得，； （2）连接，判定也是角平分线，∴，证明 ，得，即得． 解：（1）解：∵在中，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图，连接， ∵F是角平分线交点， ∴也是角平分线， ∴， ∵ 由（1）知，， ，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了三角形角平分线．熟练掌握角平分线定义和性质，三角形内角和定理，直角三角形角性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解题关键． 15．（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，，过点作直线． （1）如图1，当点，位于直线的同侧时，过点作于点，过点作于点，与全等吗？请说明理由； （2）如图2，当点，位于直线的异侧时，过点作于点，过点作于点，试探究线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）由，得，证得，根据等角的余角相等得到，根据可证明； （2）证明，得出，则可得出结论． 解：（1）解：全等，理由如下： 于D，于N，（已知）， （垂直定义）， （三角形内角和定理）， ，（已知） ，（平角定义） ，（同角的余角相等） 在和中， ， ． （2）； 理由：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，余角和补角的性质等知识点，熟练证明三角形全等是解题的关键． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，，点B，E，C，F在同一条直线上，若，则的长度为 ； 【问题拓展】 （2）如图，在中，，延长到点E，过点E作交的延长线于点F，延长到点G，过点G作交的延长线于点H，且． ①如图2，请判断线段与线段是否相等，并说明理由； ②如图3，连接交于点D．若，求的长． 【答案】（1）2；（2）①，见分析；②5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）由全等三角形的性质即可得出答案． （2）①证明，由全等三角形的性质即可得出． ②由全等三角形的性质得出，再证明，再由全等三角形的性质即可得出． 解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴ （2）①，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 3. 直通中考（选择题4题，填空题2题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 4．（2020·贵州毕节·中考真题）如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作CE⊥AD于点E，证明≌即可解决问题． 解：过点C作CE⊥AD于点E，则CE//AB， ，且PD=PC， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 在和中， ， ∴≌， ， 故选：D． 【点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，作辅助线CE是解答此题的关键． 二、填空题 5．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是 【答案】（或或或） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 解：∵，， ∴，， ①添加条件为：， 在和中， ， ∴； ②添加条件为：， 在和中， ， ∴； ③添加条件为：， ∴， 在和中， ， ∴； ④添加条件为： ， 在和中， ， ∴； ∴这个条件可以是（或或或）, 故答案为：（或或或）． 6．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则 度． 【答案】15 【分析】根据，，判断OB是的角平分线，即可求解． 解：由题意，，，， 即点O到BC、AB的距离相等， ∴ OB是的角平分线， ∵ ， ∴． 故答案为：15． 【点拨】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键． 三、解答题 7．（2025·湖北·中考真题）如图，平分．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据角平分线得到，再由证明，即可得到． 解：证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，．求证：． 【答案】详见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键。根据证明即可得出结论。 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 9．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由，，可得，证明，进而结论得证． 解：证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.4 全等三角形的判定 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）三角形全等的判定方法——边边边（SSS） 1 【题型1】直接利用“SSS”证明三角形全等 2 【题型2】构造条件利用“SSS”证明三角形全等 2 【题型3】利用“SSS”证明三角形全等与三角形性质综合求值证明 3 知识点（二）三角形全等的判定方法——边角边（SAS） 4 【题型4】直接利用“SAS”证明三角形全等 4 【题型5】构造条件利用“SAS”证明三角形全等 5 【题型6】利用“SAS”证明三角形全等与三角形性质综合求值证明 6 知识点（三）三角形全等的判定方法——角边角（ASA） 7 知识点（四）三角形全等的判定方法——角角边（AAS） 7 【题型7】利用“ASA”或“AAS”直接证明三角形全等 8 【题型8】利用“ASA”或“AAS”间接证明三角形全等 8 【题型9】利用“ASA”或“AAS”证明三角形全等与全角形全等综合 9 知识点（五）三角形全等的判定方法的选择 10 【题型10】选择适合的方法和常用途径证明三角形全等 10 【题型11】结合尺规作图证明三角形全等 11 二．同步练习 12 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 12 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 17 3. 直通中考（选择题4题，填空题2题，解答题4题） 21 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）三角形全等的判定方法——边边边（SSS） （1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 【题型1】直接利用“SSS”证明三角形全等 【例题1】 （24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【变式1】（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形． 书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来 【题型2】构造条件利用“SSS”证明三角形全等 【例题2】 （2025·云南西双版纳·二模）如图，四点共线，，，．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 【变式2】（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，，，则 °． 【题型3】利用“SSS”证明三角形全等与三角形性质综合求值证明 【例题3】 （23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，点A、E、B、D在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A．28° B．54° C． D．82° 知识点（二）三角形全等的判定方法——边角边（SAS） （1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 【题型4】直接利用“SAS”证明三角形全等 【例题4】（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，交于点E，，．求证：． 【变式1】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）同学们在学习完全等三角形之后，体会到了全等具有转化等线段的作用．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，只需测量（）就可得到A、B间的距离． A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，，，则，理由是 ． 【题型5】构造条件利用“SAS”证明三角形全等 【例题5】 （24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【变式1】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为 ． 【题型6】利用“SAS”证明三角形全等与三角形性质综合求值证明 【例题6】 （23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证： （1）点在的平分线上； （2）． 【变式1】（2025·浙江台州·二模）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21八年级上·全国·课后作业）如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝ ． （3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 知识点（三）三角形全等的判定方法——角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 知识点（四）三角形全等的判定方法——角角边（AAS） （1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）重点强调：三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【题型7】利用“ASA”或“AAS”直接证明三角形全等 【例题7】 （24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，．求证：． 【变式1】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，根据图中的角度和边长，能判断这两个三角形全等的方法是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是 ． 【题型8】利用“ASA”或“AAS”间接证明三角形全等 【例题8】 （24-25七年级下·四川成都·期中）如图，于点D，于点E，与交于点O． （1）试说明：； （2）试说明：； （3）若，求的长． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·二模）如图，且，点在上．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·云南昆明·模拟预测）如图，点，，，在一条直线上，，．请加一个条件 使得，并写出证明过程． 【题型9】利用“ASA”或“AAS”证明三角形全等与全角形全等综合 【例题9】 （24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知：如图，在中，，，交于点，于点，．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 知识点（五）三角形全等的判定方法的选择 （1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS HL （2）如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【题型10】选择适合的方法和常用途径证明三角形全等 【例题10】 （24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． （1）你选择添加的选项是______（填序号）； （2）添加条件后，请证明． 【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在与中，，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． （1）你选的条件为______、______，结论为______； （2）证明你的结论． 【变式2】（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在中，点D在上，点E在上，且． （1）请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【题型11】结合尺规作图证明三角形全等 【例题11】 （24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，． （1）在图1中，尺规作图：作直线（保留作图痕迹．不写作法）； （2）如图2，在（1）的条件下，延长至点，使得，过点作交直线于点，求证：． 【变式1】（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 二．同步练习​ 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，是四边形的对角线，若，，容易证明，依据是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 3．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）如图，，要证明，则需添加下列条件中的一个，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·北京·期中）数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，尺寸如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，那么你认为（   ） A． B． C． D．不能确定 二、填空题 7．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是 （填序号）． 8．（2025·福建·模拟预测）在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，延长到E，使得，连接，可证明，得到，根据三角形三边的关系可求出的取值范围，进而可得的取值范围． 解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·河南新乡·开学考试）有一座小山，现要在小山的A，B两端开一条隧道，如图，施工队要知道A，B之间的距离，于是先在平地上取一可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接．经测量，的长度分别为，则A，B之间的距离为 m． 10．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，的平分线交点P，点E是上一点，且．若，则 °．    11．（2025八年级下·广西·专题练习）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等． 12．（24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ； ．         B．          C．          D． 三、解答题 13．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，已知，，，．求证：．（提示：连接、、） 14．（24-25七年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，，，，．连接，点D恰好在上． （1）求证：；（2）求的度数． 15．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，C，E，F分别是直线上的三点，且，请提出对三条线段之间数量关系的合理猜想，并说明理由． 16．（24-25八年级上·重庆忠县·期末）如图所示，在中，点为的中点，点在边上，与交于点，连接，已知，．证明： （1）； （2）． 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，已知中，点D在上，，使不一定成立的条件是（   ） A．平分 B． C．D是的中点 D． 2．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，，，判定的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山西太原·期末）如图，已知四边形与四边形，小华在，上分别取点D，，使．在，上分别取点E，，使．为判断与的大小关系．应比较（   ） A．线段与的长 B．线段与的长 C．线段与的长 D．线段与的长 4．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，任意画一个的，再分别作的两条边的角平分线和，、相交于点P，连接，下列结论中错误的有（   ） A． B．平分 C． D． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，，是的平分线，且．若，四边形的面积为，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为（   ）秒． A．或 B．或 C．或 D．或 7．（24-25八年级上·上海·假期作业）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有   A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 二、填空题 8．（2022·江苏盐城·一模）锐角与锐角，若，，，则与是否全等．填是或否 ． 9．（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，于D，E是上一点，连接并延长交于F，若，，，．则的面积是 ． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则 ． 11．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，是边上的高，在左侧作，点B为延长线上一点，连接，使得，若，则 ． 12．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点． （1）若，则 ；（用含的代数式表示 （2）当点运动 s时，． 三、解答题 13．（24-25七年级下·广东深圳·期末）已知，如图，，相交于点，且． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑） （2）若，求证： 14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是角平分线，与相交于点F，，垂足分别为M，N． （1）求的度数； （2）求证：． 15．（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，，过点作直线． （1）如图1，当点，位于直线的同侧时，过点作于点，过点作于点，与全等吗？请说明理由； （2）如图2，当点，位于直线的异侧时，过点作于点，过点作于点，试探究线段，，的数量关系，并说明理由． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，，点B，E，C，F在同一条直线上，若，则的长度为 ； 【问题拓展】 （2）如图，在中，，延长到点E，过点E作交的延长线于点F，延长到点G，过点G作交的延长线于点H，且． ①如图2，请判断线段与线段是否相等，并说明理由； ②如图3，连接交于点D．若，求的长． 3. 直通中考（选择题4题，填空题2题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 4．（2020·贵州毕节·中考真题）如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是 6．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则 度． 三、解答题 7．（2025·湖北·中考真题）如图，平分．求证：． 8．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，．求证：． 9．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 10．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$