专题1.3 全等三角形（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题1.3 全等三角形 教学目标 1.理解全等图形和全等三角形的概念，明确全等图形的形状和大小完全相同，全等三角形是能够完全重合的两个三角形。 1. 2.掌握全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等、对应角相等。 1. 能准确识别全等图形和全等三角形，通过观察、比较等方法找出全等三角形的对应顶点、对应边和对应角。 1. 3.能够运用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决相关的几何问题 教学重难点 1.重点 （1）全等图形和全等三角形的概念。理解全等图形和全等三角形的本质特征是形状和大小完全相同，能够完全重合，这是后续学习全等三角形性质和判定的基础。 1. （2）全等三角形的性质。即全等三角形的对应边相等、对应角相等，这是解决全等三角形相关问题的关键依据。 1. （3）准确找出全等三角形的对应边和对应角。掌握对应边和对应角的找法，如根据全等三角形的对应顶点来找对应边和对应角，或者根据图形的位置关系和特征来找对应边和对应角。 2.难点 （1）全等三角形性质的应用。能够灵活运用全等三角形的性质进行推理和计算，解决一些综合性的几何问题，需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。 1. （2）理解全等三角形的对应关系。在复杂的图形中，准确识别全等三角形的对应顶点、对应边和对应角，尤其是当三角形的位置发生变化（如翻转、旋转、平移等）时，正确找出对应关系对学生来说有一定的难度。 1. （3）从实际问题中抽象出全等图形和全等三角形的模型。将生活中的实际问题转化为数学问题，运用全等三角形的知识进行解决，需要学生具备较强的建模能力和应用意识 知识点01 全等图形 1.全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 2.全等多边形的性质 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 【即学即练】 1．下列4个图形中的全等图形是（   ）        A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 知识点02 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 （四）全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 ②全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 【即学即练】 1．如图，，， (1)求的度数 (2)若，，求四边形的周长 题型01图形的全等 【典例1】下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各组的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列各组图形中，不是全等形的是（    ） A． B． C． D． 题型02全等三角形的概念 【典例2】下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 【变式1】在下列数学符号中，表示“两条直线互相垂直”的符号是（    ） A．∠ B． C．⊥ D．≌ 【变式2】如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A．B． C． D． 【变式3】如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 题型03利用全等三角形的性质求角度 【典例3】如图，与相交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，，若，，，则的度数为 °． 题型04利用全等三角形的性质求值求边长/周长 【典例4】如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】如图，若，，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为 ． 一、单选题 1．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则（    ） A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．如图， ，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 3．如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，，点F在上，交于点D．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，若，四个点、、、在同一直线上，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 6．如图，，下列等式不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，点E在上，与相交于点F，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 二、填空题 9．如图，四边形四边形，若，，，则 10．蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，，其中，则 ．    11．如图，，，，，则的长为 ． 12．如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 13．如图，已知，且点，点，则点的坐标为 ． 14．如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是 ． 三、解答题 15．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的顶点，，均落在格点上．请利用一把无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中作一条线段，使这条线段与平行； (2)在图2中作一个不与，，三点共点的三角形，使这个三角形全等于． 16．如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 17．如图，．求的长和的度数． 18．如图，已知，点E在上，与相交于点F． (1)若的周长为，，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 全等三角形 教学目标 1.理解全等图形和全等三角形的概念，明确全等图形的形状和大小完全相同，全等三角形是能够完全重合的两个三角形。 1. 2.掌握全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等、对应角相等。 1. 能准确识别全等图形和全等三角形，通过观察、比较等方法找出全等三角形的对应顶点、对应边和对应角。 1. 3.能够运用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决相关的几何问题 教学重难点 1.重点 （1）全等图形和全等三角形的概念。理解全等图形和全等三角形的本质特征是形状和大小完全相同，能够完全重合，这是后续学习全等三角形性质和判定的基础。 1. （2）全等三角形的性质。即全等三角形的对应边相等、对应角相等，这是解决全等三角形相关问题的关键依据。 1. （3）准确找出全等三角形的对应边和对应角。掌握对应边和对应角的找法，如根据全等三角形的对应顶点来找对应边和对应角，或者根据图形的位置关系和特征来找对应边和对应角。 2.难点 （1）全等三角形性质的应用。能够灵活运用全等三角形的性质进行推理和计算，解决一些综合性的几何问题，需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。 1. （2）理解全等三角形的对应关系。在复杂的图形中，准确识别全等三角形的对应顶点、对应边和对应角，尤其是当三角形的位置发生变化（如翻转、旋转、平移等）时，正确找出对应关系对学生来说有一定的难度。 1. （3）从实际问题中抽象出全等图形和全等三角形的模型。将生活中的实际问题转化为数学问题，运用全等三角形的知识进行解决，需要学生具备较强的建模能力和应用意识 知识点01 全等图形 1.全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 2.全等多边形的性质 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 【即学即练】 1．下列4个图形中的全等图形是（   ）        A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形．根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A．不是全等图形，故此选项不合题意； B．不是全等图形，故此选项不符合题意； C．是全等图形，故此选项符合题意； D．不是全等图形，故此选项不合题意． 故选：C． 知识点02 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 （四）全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 ②全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 【即学即练】 1．如图，，， (1)求的度数 (2)若，，求四边形的周长 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答本题的关键． （1）由全等三角形的性质得，求出，，然后根据三角形内角和即可求出的度数． （2）由全等三角形的性质得，，然后根据周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴四边形的周长． 题型01图形的全等 【典例1】下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等形的识别，利用全等图形的概念 “两个图形能够完全重合，就是全等图形”是解答本题的关键． 本题观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等图形”的定理即可得到答案． 【详解】解：A选项两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； B选项两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：A 【变式1】下列各组的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意． 故选：D． 【变式2】下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形定义直接选择即可． 【详解】解：由题意得，与题中图片形状、大小都相同的全等图形的是D， 故选：D． 【变式3】下列各组图形中，不是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，A、B、C选项的两个图形都可以完全重合，所以是全等图形， D选项中不可能完全重合，所以不是全等形． 故选C． 题型02全等三角形的概念 【典例2】下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可． 【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键． 【变式1】在下列数学符号中，表示“两条直线互相垂直”的符号是（    ） A．∠ B． C．⊥ D．≌ 【答案】C 【分析】根据各种数学符号的形状和名称进行判断即可． 【详解】解：“∠”是角的符号；“”是平行的符号；“⊥”垂直的符号；“≌”全等符号； 故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂线，掌握各种数学符号的形状和表示的意义是正确判断的前提． 【变式2】如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解： ， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 【变式3】如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 题型03利用全等三角形的性质求角度 【典例3】如图，与相交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：由全等三角形的性质可得． 故选：A． 【变式1】如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：图中的两个三角形全等 ． 故选：D． 【变式2】如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据全等三角形对应角相等可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【变式3】如图，，若，，，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．首先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质得到，，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型04利用全等三角形的性质求值求边长/周长 【典例4】如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键． 根据全等三角形的性质得到，由即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：D ． 【变式1】如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差；由全等三角形的性质得，由线段的和差得，即可求解；掌握全等三角形的性质，能熟练利用线段的和差表示出所求的线段是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：B． 【变式2】如图，若，，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【变式3】如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，进而求得，根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴的周长为 故答案为：． 一、单选题 1．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则（    ） A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有． 【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形， 所以， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找清相互重合的对应边． 2．如图， ，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全等三角形性质推出，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数． 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握掌握全等三角形的对应角相等． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据得到，得到，从而解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，，点F在上，交于点D．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理．根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5．如图，若，四个点、、、在同一直线上，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，由线段的和差得，即可求解；掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 解得：； 故选：A． 6．如图，，下列等式不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，，再逐个判断即可．本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【详解】解：∵， ，，，， ， ， ∴选项A、选项B、选项C都是正确的 即只有选项D不一定正确，符合题意； 故选：D． 7．如图，点E在上，与相交于点F，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理，利用全等三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得的度数，再利用三角形外角和内角的关系可得答案． 【详解】解：，，， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：A． 8．如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，求三角形的面积．由全等三角形面积相等、对应边相等，可得，，进而可得． 【详解】解： ，，是的高， ， ， ，， ， ， 故选B． 二、填空题 9．如图，四边形四边形，若，，，则 【答案】 【分析】本题考查全等图形，四边形的内角和，根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得的度数，进一步可得的度数．解题的关键是掌握全等图形的性质：全等图形的对应边相等，对应角相等． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，，其中，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等图形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；全等图形对应角相等．先求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵蜂房的顶部由三个全等的四边形围成， ∴， 故答案为：． 11．如图，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，即可得出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 12．如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故答案为：． 13．如图，已知，且点，点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，坐标与图形的性质，先根据点、的坐标求出、的长度，然后根据全等三角形对应边相等的性质求出、的长度，再根据点在第二象限写出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标是． 故答案为：． 14．如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查全等三角形性质，代数式表示．根据题意利用与全等分两种情况讨论，①当，时，再分别表示出线段的代数式列式计算即可；②当，时，再分别表示出线段的代数式列式计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵与全等， ①当，时， ∵点在线段上以的速度由点A向点B运动， ∴， ∵点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：； ②当，时， ∵点在线段上以的速度由点A向点B运动， ∴， ∵，， ∴， ∵点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴， ∴，解得：， 综上所述：的值是2或3， 故答案为：2或3． 三、解答题 15．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的顶点，，均落在格点上．请利用一把无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中作一条线段，使这条线段与平行； (2)在图2中作一个不与，，三点共点的三角形，使这个三角形全等于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，全等三角形的概念； （1）根据网格的特点将平移至，即可求解； （2）根据平移的方法作出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，（答案不唯一） （2）解：如图所示，即为所求，（答案不唯一）； 16．如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 17．如图，．求的长和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理、外角的性质等知识，掌握全等三角形的性质，等边对等角是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，由可得的长，由三角形内角和定理，三角形外角的性质可得，，根据即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 18．如图，已知，点E在上，与相交于点F． (1)若的周长为，，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，，可得，根据，计算求解即可； （2）由，，可得，，则，由，可求，进而可求． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$