精品解析： 浙江省宁波市镇海区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

镇海区2024学年第二学期期末质量检测试卷 初二 数学 考生须知： 1．全卷共三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上． 3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列标志中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合． 根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 二次根式中字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握被开方数为非负数，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，得，解此不等式即可确定x的取值范围． 【详解】∵二次根式有意义， ∴． 解不等式，得． 应选项D． 3. 将函数的图像向右平移3个单位，所得的二次函数解析式是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是关键． 依据题意，由函数的图象向右平移3个单位，从而根据“左加右减”的平移规律即可判断得解 【详解】解∶由题意，函数的图象向右平移3个单位， ∴根据“左加右减”的平移规律可得，平移后二次函数解析式是． 故选∶ A． 4. 某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分和方差如表所示，则这三名同学中数学成绩最稳定的是（ ） 统计量 甲 乙 丙 93 93 93 14 18 11 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据方差判断稳定性，解题关键是掌握方差的性质：方差越小，数据波动越小，越稳定． 根据方差的性质，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，比较甲、乙、丙三人的方差即可得出结论． 【详解】解：由表格可知，甲、乙、丙三名同学的平均分均为93，说明三人的平均水平相同，方差反映成绩的波动情况，方差越小，成绩越稳定．甲的方差为14，乙的方差为18，丙的方差为11．因为11＜14＜18，所以丙的方差最小，成绩最稳定． 故选：C． 5. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】因为4<7<9，根据不等式的性质得到，即可得到答案． 【详解】∵4<7<9 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数的本质就是确定这个无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方，一般情况下常见整数的平方都应牢记，这样面对一个无理数，就能快速准确地进行估算． 6. 用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题关键．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设， 故选：D． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，继而得到关于的方程求解． 【详解】解：方程中，，，． 判别式． 由题意，即： ， 解得：． 故选：A． 8. 在菱形中，，点、分别在边、上，连结、，则添加下列条件后，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质，证明是等边三角形，是等边三角形，，，即可判断． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形时菱形， ∴， ∵， ∴，即，故A选项不符合题意； 如图，上取点，使得， ∵， ∴，但不一定相等，故B选项符合题意； ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D选项不符合题意； 故选：B． 9. 反比例函数的图像上有，两点，下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当且时， C. 当时， D. 当且时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数性质，结合点的坐标表达式，分析不同t值下和的符号及大小关系． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴反比例函数图象分布再第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， A、当时，点M、N都在第二象限，，则，该选项说法错误，不符合题意； B、当且时，无法确定点N所在象限，有可能大于0，该选项说法错误，不符合题意； C、当时，点M、N都在第二象限，，则，该选项说法正确，符合题意； D、当且时，无法确定点所在象限，该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在正方形中，对角线、交于点，延长到，连结，过点作，分别交、于点、，连结，则下面哪个图形的面积与的面积相等（ ） A. 四边形 B. C. 四边形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设交于点P，过点E作，垂足分别为点M，N，则，根据角平分线性质可得，，再证明，可得，，从而得到，，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点P，过点E作，垂足分别为点M，N，则， 在正方形中，， ∴， 在中，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 一个正多边形的每个外角都等于，那么它是_____边形． 【答案】正十 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，理解任何多边形的外角和都是是关键． 利用正多边形的每一个外角都要相等，且外角和为，用外角和除以一个外角的度数，即可求得多边形的边数． 【详解】解： 故答案为：正十. 12. 已知一样本数据4，4，5，6，的平均数为5，则数的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数．根据平均数的计算方法解答即可． 【详解】解：∵数据4，4，5，6，的平均数为5， ∴， 解得：． 故答案为：6 13. 若点与点关于坐标原点对称，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【详解】解：∵点与关于坐标原点对称， ∴，即 故答案为：． 14. 某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为____元时，网店该商品每天盈利最多． 【答案】80 【解析】 【分析】直接利用每件利润×销量=总利润，进而得出每天盈利与x的关系式，配方即可得出答案． 【详解】解：设当销售单价为x元时，每天盈利为y元， 则y=（x-50）[100-2（x-60）] =-2x2+320x-11000 =-2（x-80）2+1800， ∵-2＜0， ∴当x=80时，y有最大值，且为1800， 答：当销售单价为80元时，每天获取的利润最大，最大利润是1800元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 15. 在平面直角坐标系中，一副三角尺如图放置，，点在轴的正半轴上，点、在反比例函数的图象上．若轴，，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含度角的直角三角形，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想结合解决问题是关键．过点作轴交轴于点，延长交轴于点，则四边形是矩形，利用度角所对的直角边等于斜边一半以及勾股定理，得出，， ，，设，表示出点、的坐标，再代入反比例函数解析式，求出的值，确定点坐标，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴交轴于点，延长交轴于点， 由题意可知，，，， ， 轴， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ，， ，， 设，则， ，， 点、在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点、分别在线段、上，且，连结，若平分，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，直角三角形勾股定理的应用．根据题意，结合图形，得到，在中利用勾股定理求出，在中利用勾股定理求出，从而得到结果． 【详解】解：过点B作于H点，过B作，交的延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（第17-21每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解答本题的关键 原式根据多项式乘以多项式运算法则去括号后，再合并即可． 【详解】解： 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解可得； （2）先将方程整理为一般形式，再利用公式法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解： ， ， ∴ ，． 19. 如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是关键． （1）根据三角形中位线定理证明，由已知即可证明结论； （2）求出，，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵，． ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 20. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长约，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了部分学生参加“航空航天”知识测试，并将测试成绩（百分制）整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩/分 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中___________，并补全条形统计图； （2）被抽取的学生成绩的中位数落在___________组（填A，B，C，D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数． 【答案】（1），图见解析 （2） （3）估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数为720名 【解析】 【分析】本题考查了统计表、条形统计图、中位数、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用1减去其他四组所占的百分比即可得的值，先根据的条形统计图和统计表信息求出此次调查抽取的总人数，再乘以组所占百分比可得组的人数，据此补全条形统计图即可得； （2）根据中位数的定义求解即可得； （3）利用该校学生总人数乘以成绩在80分以上（包括80分）的人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 此次调查抽取的总人数为（名）， 则组的人数为（名）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：将被抽取的学生成绩按从小到大进行排序后，第100个数和第101个数的平均数即为中位数， ∵，， ∴排在第100个数和第101个数均在组， ∴被抽取的学生成绩的中位数落在组， 故答案为：． 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数为720名． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，． （1）求的值和一次函数的表达式； （2）根据函数图像，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），一次函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式， （1）将代入求出的值，确定，再将、代入后求解即可得一次函数解析式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集即可； 利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图像交于点，， ∴， ∴，， ∴， ∵一次函数的图像经过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或． 22. 如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）若花圃的面积为，求花圃的一边的长； （2）花圃面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）10米 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解； （2）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解． 【小问1详解】 解：设的长为米，则米 由题意可得：， 解得：，， ，即：， ， ∴的长为10米； 【小问2详解】 花圃的面积不能达到．理由如下： 设的长为米， 由题意可得：， 化简得， △， 方程无解， 花圃的面积不能达到． 23. 已知抛物线（，为常数）经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，，当时，，且，为两个连续偶数，求的值； （3）该抛物线与直线（为常数且）相交于，两点，且在的左侧．若在范围内，的取值恰好有3个整数值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，确定直线经过定点是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由二次函数性质可得当时，；当或时，；即可求出， 或，最后根据，为两个连续偶数确定具体的值即可； （3）先求出直线经过定点，再判断在抛物线上，即可得到直线与抛物线一个交点为，则或，据此分情况讨论，再根据在范围内，的取值恰好有3个整数值确定的取值范围． 【小问1详解】 解：将，代入中， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， ∵开口向下， ∴当时，；当或时，； ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴或， ∵，为两个连续偶数， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴直线经过定点， ∵当时， ∴在抛物线上， ∵抛物线与直线（为常数且）相交于，两点， ∴或， 当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值，则， 当时，，直线经过点时，，解得； 当时，，直线经过点时，，解得； ∴当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值； 同理当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值，； ∵， ∴当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值． 24. 如图1，已知正方形的边长为，点是正方形内一动点，且，连结、、，并延长交于． （1）求证：； （2）若时， ①如图2，求的长度； ②如图3，延长至点，使得，连结．求与四边形的面积比； （3）在图1中，在运动过程中，当的值最小时，求的长．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析； （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对对等角和三角形内角和定理证明，，从而可得，再根据邻补角求出结论； （2）过点作，垂足为，取中点，连接、、，构造垂直全等模型，可得，进而证明是等腰直角三角形；再证明，得，再利用中位线性质和证明是直角三角形，利用角的转换证明，从而可得，由此得出， ②设，利用三角形内角和倒角得出，进而证明，是等腰直角三角形，由此得出，再利用等积变换得出，，由此即可解题； （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，构造同（2）图可知：，由垂线段最短可知，由此得出最小，此时，即、重合，再构造（2）图形，先求出，等腰直角三即可解题． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， 【小问2详解】 如解图2，过点作，垂足为，取中点，连接、、， ∵，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即是等腰直角三角形； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵由得， ∴， ∴四边形面积 ∴与四边形的面积比， 【小问3详解】 如解图3-1，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 同理（2）可得：，， ， ∵， ∴时，最小，此时，即、重合，如解图3-2， ∵，，， ∴， ∴，， 延长至点，使得，连结． 同理（2）②可得： ，是等腰直角三角形； ∴ ，即， ∴ 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形性质和判定、等腰三角形判定和性质、三角形中位线性质、勾股定理、等积变换等，解题关键是利用等腰三角形三线合一性质构造垂直全等模型，从而转化线段关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇海区2024学年第二学期期末质量检测试卷 初二 数学 考生须知： 1．全卷共三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上． 3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列标志中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次根式中字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图像向右平移3个单位，所得的二次函数解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分和方差如表所示，则这三名同学中数学成绩最稳定的是（ ） 统计量 甲 乙 丙 93 93 93 14 18 11 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 5. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 在菱形中，，点、分别在边、上，连结、，则添加下列条件后，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数的图像上有，两点，下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当且时， C 当时， D. 当且时， 10. 如图，在正方形中，对角线、交于点，延长到，连结，过点作，分别交、于点、，连结，则下面哪个图形的面积与的面积相等（ ） A. 四边形 B. C. 四边形 D. 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 一个正多边形的每个外角都等于，那么它是_____边形． 12. 已知一样本数据4，4，5，6，的平均数为5，则数的值为__________． 13. 若点与点关于坐标原点对称，则的值为__________． 14. 某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为____元时，网店该商品每天盈利最多． 15. 在平面直角坐标系中，一副三角尺如图放置，，点在轴的正半轴上，点、在反比例函数的图象上．若轴，，则的值为__________． 16. 如图，在中，，，，点、分别在线段、上，且，连结，若平分，则的长为__________． 三、解答题（第17-21每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分） 17 计算： 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 20. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长约，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了部分学生参加“航空航天”知识测试，并将测试成绩（百分制）整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩/分 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中___________，并补全条形统计图； （2）被抽取的学生成绩的中位数落在___________组（填A，B，C，D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数． 21. 如图，一次函数与反比例函数图像交于点，． （1）求的值和一次函数的表达式； （2）根据函数图像，直接写出不等式的解集． 22. 如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）若花圃的面积为，求花圃的一边的长； （2）花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 23. 已知抛物线（，为常数）经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，，当时，，且，为两个连续偶数，求的值； （3）该抛物线与直线（为常数且）相交于，两点，且在的左侧．若在范围内，的取值恰好有3个整数值，求的取值范围． 24. 如图1，已知正方形的边长为，点是正方形内一动点，且，连结、、，并延长交于． （1）求证：； （2）若时， ①如图2，求长度； ②如图3，延长至点，使得，连结．求与四边形的面积比； （3）在图1中，在运动过程中，当的值最小时，求的长．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$