第10章 整式的加减（复习讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

第10章 整式的加减（复习讲义） 1.整式概念理解：清晰辨别单项式、整式，精准掌握单项式的系数、次数，以及整式的项数、次数等关键概念。能迅速判断给定代数式是否为整式，并准确剖析其构成要素。 2.同类项辨别与合并：依据同类项的定义，快速且准确地识别同类项。熟练运用合并同类项法则，对多项式进行合并同类项操作，实现化简目的。 3.去括号与添括号法则运用：深刻理解去括号和添括号法则，在整式运算中，无论是去括号还是添括号，都能确保符号变化的正确性。 4.整式加减运算：以合并同类项和去括号法则为基石，熟练、准确地进行整式的加减运算。无论是简单的整式加减，还是较为复杂的混合运算，都能条理清晰地逐步计算，得出正确结果。 知识点01单项式及相关概念 1.单项式  由数和字母的积组成的代数式叫作单项式 . 单个的字母或数也是单项式 . 2. 单项式的系数与次数 (1) 系数： 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数 . (2) 次数： 一个单项式中，所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数 . 知识点02整式（多项式） 有限个单项式求和得到的代数式叫作整式.整式也叫作多项式。例如，3t²-t-4是由 3t²、-t 和一4这三个单项式求和得到的整式.单项式也是整式 知识点03同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项 . 常数项与常数项是同类项 . 2. 判断同类项的方法 (1)同类项必须同时满足“ 两个相同”：① 所含字母相同；②相同字母的指数也分别相同，两者缺一不可 . (2) 是不是同类项有“ 两个无关”：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关，如3mn与-nm是同类项 (3) 同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项 . 知识点04合并同类项 1.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项 . 2.合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 . 3. 合并同类项的一般步骤 (1) 找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记)； (2) 运用加法交换律、加法结合律将多项式中的同类项结合； (3) 利用合并同类项法则合并同类项； (4) 写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式). 知识点05整式的项与次数 1.整式的项： 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。合并同类项后，整式有几项，就称为几项式。特别地，只含有一项就是单项式 . 2.整式的次数： 各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数。 知识点06整式的升幂（降幂）排列 将多项式按某个字母降幂(升幂)排列时，要注意各项移动时要连同它们前面的符号一起移动.因为常数项的次数为0，所以将多项式按某个字母降幂排列时，一般将其放在多项式的最后，反之，则放在最前面. 知识点07去括号 1. 去括号法则 (1)如果括号前面是“ +”号，去括号时把括号连同它前面的“ +” 号去掉，括号内的各项都不改变符号. (2)如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都改变符号. 2.去多层括号的方法 先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号 . 有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号 . 3.添括号法则 (1) 所 添 括 号 前 面 是“ +”号，括 到 括 号 内 的 各 项 都 不 改变符号； (2) 所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号 . 知识点08整式加减 1. 整式加减的运算法则  一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 . 2. 整式的化简求值的步骤 一化： 利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代： 把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算： 依据有理数的运算法则进行计算 . 特别解读 1. 整式加减的结果要最简：(1)不能有同类项；(2)含字母项的系数不能出现带分数，带分数要化成假分数； (3)一般不含括号. 2. 整式加减的结果一般按照某一字母的升幂或降幂排列. 题型一 单项式相关概念 【例1-1】（24-25七年级上·上海·期中）下列代数式，，，，，，中，单项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例1-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）单项式的系数是 ，次数是 ． 【例1-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）已知是一个七次单项式，则 ． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列代数式，，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（24-25七年级上·上海·期中）单项式的系数是 ． 【变式1-3】（22-23七年级上·上海青浦·期中）写出一个系数为，且含字母和的3次单项式 ． 题型二 整式相关概念 【例2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）在代数式，，，0，，，，中，整式的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．是整式 B．是二次四项式 C．的各项系数都是 D．的常数项是 【例2-3】（24-25七年级上·上海松江·期中）将整式按降幂排列： ． 【例2-4】（24-25七年级上·上海松江·期中）请写出一个整式，使其同时满足以下三个条件：①只含有字母：②不含常数项；③是一个三次二项式．那么该整式可以是 ． 【变式2-1】（22-23七年级上·上海黄浦·期中）对于式子说法正确的是（　　） A．是一次二项式 B．是二次二项式 C．是整式 D．不是整式 【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期中）下列说法错误的是（   ） A．是三次四项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是四次二项式 【变式2-3】（22-23七年级上·上海长宁·期中）在代数式：①，②，③，④，⑤中，是整式的是 ．（填相应序号） 【变式2-4】（24-25七年级上·上海宝山·期末）整式的常数项是 ． 【变式2-5】（24-25七年级上·上海·期中）将整式按升幂排列： ． 题型三 整式的规律探索 【例3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图是一回形图，其回形通道的宽和的长均为，回形线与射线交于，．若从点到点的回形线为第圈（长为），从点到点的回形线为第圈，，依此类推，则第圈的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，用长度相等的小木棒按一定规律摆放成图案，图案①中有6根小木棒，图案③中有16根小木棒，⋯，那么第n个图案中小木棒的根数为 ．（用含字母n的式子表示） 【变式3-2】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的． (1)观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 图形的周长 18 (2)推测第n个图形中，正方形的个数为______，图形的周长为______（都用含n的代数式表示）． 题型四 合并同类项 【例4】（24-25七年级上·上海崇明·期中）合并同类项： ． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）合并同类项： ． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）合并同类项： ． 题型五 整式的加减 【例5-1】（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 【例5-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知减去整式，所得的差是，则等于 【变式5-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）计算： ． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海崇明·期中）比少的整式是 ． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）一个整式与的和等于，则这个整式是 ． 【变式5-4】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： ． 题型六 整式的加减的应用 【例6-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如图1，把一个长为、宽为的长方形（），沿虚线剪开，将其与阴影部分所表示的小正方形一起拼接成如图2所示的正方形，则下列说法错误的是（    ） A．图1所示的长方形周长 B．图2所示的大正方形方形周长 C．图2阴影部分所表示的小正方形边长 D．图2空白部分的周长 【例6-2】（24-25七年级上·上海·期末）已知，比较M与N的大小关系：M N．（在横线上填写“>”“<”或“＝”） 【例6-3】（24-25七年级上·上海·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下： 一次性购物 标价低于200元 标价低于500元但不低于200元 标价大于或等于500元 优惠方法 不予优惠 九折优惠 其中标价500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)若一名顾客在该超市一次性购物标价x元，当x低于500元但不低于200元时，他实际付款_______元；当x大于或等于500元时，他实际付款_________元．（用含x的式子表示） (2)若一名顾客一次购物标价合计1000元，他实际付款多少元？ 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为a，长方形的长和宽分别为b和c，且，请用代数式表示阴影部分三角形的面积 ． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； ；；；； (1)请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交换位置，原来两位数与新的两位数的差是_________________________； (2)你能用所学知识解释这个规律吗？ 解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为，原来两位数可表示为，则新的两位数的十位数字为，个位数字为，新两位数可表示为__________，(在下面空白处，请继续完成解释该规律的理由) 题型七 整式加减中的化简求值 【例7-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【例7-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知整式，，当时，求： 【变式7-1】先化简，再求值：， 其中， ． 【变式7-2】先化简，再求值：，其中，． 题型八 整式加减中的无关型问题 【例8-1】已知代数式合并同类项后不含，项，求的值． 【例8-2】课堂上李老师出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式写完后让王红同学顺便给出一组，的值，老师自己说答案，当王红说完“，”后，李老师不假思索，立刻就说出答案“3”．同学们觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误．”亲爱的同学你相信吗？你能说出其中的道理吗？ 【例8-3】已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【变式8-1】某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【变式8-2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2． (1)求代数式的值； (2)若多项式中不含项，求k的值． 题型九 带有字母的绝对值化简问题 【例9-1】已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 【例9-2】计算及化简： (1) (2)有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 【变式9-1】若都是不为零的数，则的结果为（      ） A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或 【变式9-2】下列说法正确的有（   ） ①已知是有理数，，，则的值为； ②若为非零有理数，且，则的值为或； ③已知，则的最大值是，最小值是； ④若且，则式子． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式9-3】已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）在，，，，，这些代数式中，单项式的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）整式的次数和一次项系数分别为（   ） A．4， B．2， C．3， D．2，5 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列说法中，错误的是（      ） A．单项式、多项式统称为整式 B．是二次四项式 C．和是同类项 D．不能写成 4．（24-25七年级上·上海普陀·期中）下列单项式中能与合并成一项的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．是整式 B．的一次项系数是 C．的次数是 D．不是单项式 6．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（    ） A．的次数是3 B．的常数项是 C．是二次二项式 D．是按的升幂排列的 二、填空题 7．（24-25七年级上·上海·期中）将整式按y降幂排列是 ． 8．（24-25七年级上·上海普陀·期中）整式的三次项系数是 ． 9．（24-25七年级上·上海·期中）若单项式与的和仍是单项式，则等于 ． 10．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，用黑白两色正方形瓷砖铺设地面，则第个图案中黑色瓷砖数为 块 三、解答题 11．已知多项式． (1)把多项式按降幂排列； (2)把多项式按降幂排列． 12．合并同类项： (1)； (2)． 13．先化简，再求值：，其中， 能力提升进阶练 一、单选题 1．一串数字如下：1，，5，，9，…如此下去，则第个数字与第个数字的和等于（　　） A． B． C．2 D． 2．（23-24七年级上·上海·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．0和都是单项式 B．与不是同类项 C．不是代数式 D．与都是多项式 3．（24-25七年级上·上海·期中）如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25七年级上·上海·期中）已知单项式的次数是 ． 5．（24-25七年级上·上海宝山·期中）多项式的最高次项是 ． 6．如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是 ． 三、解答题 7．已知：． (1)当时， 求的值； (2)计算：； 8．已知两个整式 A 和B ，． (1)求A与B的和； (2)先化简，再求值：若 ，求的值． 9.定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数（填一个含的代数式）． (2)若，，且与是关于2的平衡数，若为正整数，求非负整数的值． 10.已知有理数， 且． (1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来； (2)化简：。 11.已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求代数式B的表达式； (2)若的值与无关，求的值． 12.某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款_____元； (2)若顾客在该超市一次性购物元，当小于500元但不小于200元时，他实际付款元，当大于或等于500元时，他实际付款_____元；（用含的式子表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的式子表示：两次购物王老师实际付款多少元？ 13.下面是小华同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应的问题． ……① ……② ……③ (1)以上化简步骤中，第________步开始出现错误，错误的原因是________________； (2)请写出该整式化简的正确过程． 14.阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似的，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是___________． （2）已知，求的值． 拓展探索： （3）已知，，．求的值． 15.小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（列式即可） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________（列式即可） (3)当，时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 整式的加减（复习讲义） 1.整式概念理解：清晰辨别单项式、整式，精准掌握单项式的系数、次数，以及整式的项数、次数等关键概念。能迅速判断给定代数式是否为整式，并准确剖析其构成要素。 2.同类项辨别与合并：依据同类项的定义，快速且准确地识别同类项。熟练运用合并同类项法则，对多项式进行合并同类项操作，实现化简目的。 3.去括号与添括号法则运用：深刻理解去括号和添括号法则，在整式运算中，无论是去括号还是添括号，都能确保符号变化的正确性。 4.整式加减运算：以合并同类项和去括号法则为基石，熟练、准确地进行整式的加减运算。无论是简单的整式加减，还是较为复杂的混合运算，都能条理清晰地逐步计算，得出正确结果。 知识点01单项式及相关概念 1.单项式  由数和字母的积组成的代数式叫作单项式 . 单个的字母或数也是单项式 . 2. 单项式的系数与次数 (1) 系数： 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数 . (2) 次数： 一个单项式中，所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数 . 知识点02整式（多项式） 有限个单项式求和得到的代数式叫作整式.整式也叫作多项式。例如，3t²-t-4是由 3t²、-t 和一4这三个单项式求和得到的整式.单项式也是整式 知识点03同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项 . 常数项与常数项是同类项 . 2. 判断同类项的方法 (1)同类项必须同时满足“ 两个相同”：① 所含字母相同；②相同字母的指数也分别相同，两者缺一不可 . (2) 是不是同类项有“ 两个无关”：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关，如3mn与-nm是同类项 (3) 同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项 . 知识点04合并同类项 1.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项 . 2.合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 . 3. 合并同类项的一般步骤 (1) 找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记)； (2) 运用加法交换律、加法结合律将多项式中的同类项结合； (3) 利用合并同类项法则合并同类项； (4) 写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式). 知识点05整式的项与次数 1.整式的项： 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。合并同类项后，整式有几项，就称为几项式。特别地，只含有一项就是单项式 . 2.整式的次数： 各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数。 知识点06整式的升幂（降幂）排列 将多项式按某个字母降幂(升幂)排列时，要注意各项移动时要连同它们前面的符号一起移动.因为常数项的次数为0，所以将多项式按某个字母降幂排列时，一般将其放在多项式的最后，反之，则放在最前面. 知识点07去括号 1. 去括号法则 (1)如果括号前面是“ +”号，去括号时把括号连同它前面的“ +” 号去掉，括号内的各项都不改变符号. (2)如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都改变符号. 2.去多层括号的方法 先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号 . 有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号 . 3.添括号法则 (1) 所 添 括 号 前 面 是“ +”号，括 到 括 号 内 的 各 项 都 不 改变符号； (2) 所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号 . 知识点08整式加减 1. 整式加减的运算法则  一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 . 2. 整式的化简求值的步骤 一化： 利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代： 把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算： 依据有理数的运算法则进行计算 . 特别解读 1. 整式加减的结果要最简：(1)不能有同类项；(2)含字母项的系数不能出现带分数，带分数要化成假分数； (3)一般不含括号. 2. 整式加减的结果一般按照某一字母的升幂或降幂排列. 题型一 单项式相关概念 【例1-1】（24-25七年级上·上海·期中）下列代数式，，，，，，中，单项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是熟练单项式的定义．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，由此判断即可． 【详解】解：代数式，，，，，，中， 单项式有：，，，，共4个． 故选：D． 【例1-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 / 7 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【详解】解：单项式的系数是，次数是． 故答案为：，7． 【例1-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）已知是一个七次单项式，则 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了单项式的次数．根据单项式的次数得到，即可求出答案． 【详解】解：∵是一个七次单项式， ∴， 解得 故答案为： 【变式1-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列代数式，，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的定义：数字与字母的乘积叫做单项式，单独的一个数字或字母也叫做单项式．根据单项式的定义求解． 【详解】解：代数式，，，，，中，单项式有，，， 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海·期中）单项式的系数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的系数，掌握单项式的系数的定义是解题的关键．直接根据单项式的系数的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【详解】解：单项式的系数是； 故答案为： 【变式1-3】（22-23七年级上·上海青浦·期中）写出一个系数为，且含字母和的3次单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】根据单项式的系数与次数的含义即可求解．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：依题意，一个系数为，且只含有字母，的3次单项式为：， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了单项式的系数与次数，熟记概念是解题的关键． 题型二 整式相关概念 【例2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）在代数式，，，0，，，，中，整式的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：在代数式，，，0，，，，中，整式有，，0，，，，，共7个， 故选：C． 【例2-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．是整式 B．是二次四项式 C．的各项系数都是 D．的常数项是 【答案】D 【详解】解：A、不是整式，原说法错误，不符合题意； B、是三次四项式，原说法错误，不符合题意； C、，各项系数分别为和，原说法错误，不符合题意； D、的常数项是， 故选：D． 【例2-3】（24-25七年级上·上海松江·期中）将整式按降幂排列： ． 【答案】 【详解】解：将整式按降幂排列：， 故答案为：． 【例2-4】（24-25七年级上·上海松江·期中）请写出一个整式，使其同时满足以下三个条件：①只含有字母：②不含常数项；③是一个三次二项式．那么该整式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了多项式的项和次数的概念，根据题意写出一个只含有字母a，且a的最高次为3，且不含常数项的二项多项式即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的整式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-1】（22-23七年级上·上海黄浦·期中）对于式子说法正确的是（　　） A．是一次二项式 B．是二次二项式 C．是整式 D．不是整式 【答案】D 【详解】解：分母中含有字母，不是多项式，不是整式， 故A，B，C都不符合题意，D符合题意； 故选D． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期中）下列说法错误的是（   ） A．是三次四项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是四次二项式 【答案】C 【详解】解：A、是三次四项式，正确，不符合题意； B、是二次二项式，正确，不符合题意； C、是三次三项式，原说法错误，符合题意； D、是四次二项式，正确，不符合题意， 故选：C． 【变式2-3】（22-23七年级上·上海长宁·期中）在代数式：①，②，③，④，⑤中，是整式的是 ．（填相应序号） 【答案】① ② ④ ⑤ 【知识点】整式的判断 【分析】根据整式的定义进行求解即可． 【详解】解：①是整式； ②是整式； ③不是整式； ④是整式； ⑤是整式； ∴整式一共有4个， 故答案为：① ② ④ ⑤ ． 【变式2-4】（24-25七年级上·上海宝山·期末）整式的常数项是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式，根据多项式中不含未知数的项是常数项解题即可． 【详解】解：整式的常数项是， 故答案为：． 【变式2-5】（24-25七年级上·上海·期中）将整式按升幂排列： ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查多项式，根据含r的项中r的指数从低到高的顺序排列即可． 【详解】解：将整式按升幂排列为， 故答案为：． 题型三 整式的规律探索 【例3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图是一回形图，其回形通道的宽和的长均为，回形线与射线交于，．若从点到点的回形线为第圈（长为），从点到点的回形线为第圈，，依此类推，则第圈的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由已知图形可得第圈的长为，据此解答即可求解，由图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：第1圈的长：， 第圈的长：， 第圈的长：， ， ∴第圈的长为， 当时，， ∴第圈的长为， 故选：． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，用长度相等的小木棒按一定规律摆放成图案，图案①中有6根小木棒，图案③中有16根小木棒，⋯，那么第n个图案中小木棒的根数为 ．（用含字母n的式子表示） 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小棒的根数依次增加5是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中小木棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1个图案中小木棒的根数为：， 第2个图案中小木棒的根数为：， 第3个图案中小木棒的根数为：， …， 所以第n个图案中小木棒的根数为根． 故答案为：． 【变式3-2】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的． (1)观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 图形的周长 18 (2)推测第n个图形中，正方形的个数为______，图形的周长为______（都用含n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形规律探索，由起始的几个实例归纳出图形个数与图序号之间的联系是解题的关键． （1）按顺序，每次增加5个正方形，周长每次增加10； （2）由（1）探知，正方形的个数为，周长为． 【详解】（1）解：按顺序，每次增加5个正方形，小正方形个数图①，图②，图③； 按顺序，周长每次增加10；周长图①，图②，图③； 填表得： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 13 18 图形的周长 18 28 38 （2）解：由（1）第n（n为正整数）个图形中正方形的个数为，周长为． 故答案为：，． 题型四 合并同类项 【例4】（24-25七年级上·上海崇明·期中）合并同类项： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）合并同类项： ． 【答案】/ 【知识点】合并同类项 【分析】该题主要考查了合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项法则． 根据合并同类项法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）合并同类项： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 合并同类项求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 题型五 整式的加减 【例5-1】（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】本题考查了去括号、合并同类项，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的关键．根据去括号、合并同类项的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【例5-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知减去整式，所得的差是，则等于 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意得到，然后利用整式的加减运算法则去括号求解即可． 【详解】解：由题意， ， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）计算： ． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式加减运算法则，先去括号，再合并同类项，即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海崇明·期中）比少的整式是 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据题意列出关系式，去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）一个整式与的和等于，则这个整式是 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练会整式的加减运算进行转换是解决问题的关键． 根据整式加减运算法则进行计算即可解答。 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 【变式5-4】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型六 整式的加减的应用 【例6-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如图1，把一个长为、宽为的长方形（），沿虚线剪开，将其与阴影部分所表示的小正方形一起拼接成如图2所示的正方形，则下列说法错误的是（    ） A．图1所示的长方形周长 B．图2所示的大正方形方形周长 C．图2阴影部分所表示的小正方形边长 D．图2空白部分的周长 【答案】C 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，正方形的判定和性质，拼图的几何意义，熟练掌握拼图的意义是解题的关键． 设小正方形的边长为x，则剪下的小长方形的长为n，宽为x，较大长方形的另一边为，结合图2，大长方形的长为，阴影部分的宽为，上端来自剪下的大长方形宽为，根据矩形的性质，正方形的判定和性质，计算判断即可． 【详解】解：设小正方形的边长为x，则剪下的小长方形的长为n，宽为x，较大正方形的边长为，结合图2，大正方形的长为或， ∴， ∴， 图1所示的长方形周长，故A选项正确，不符合题意； ， 图2所示的大正方形方形周长，故B选项正确，不符合题意； 图2阴影部分所表示的小正方形边长，故C选项错误，符合题意； 图2空白部分的周长，故D选项正确，不符合题意； 故选C． 【例6-2】（24-25七年级上·上海·期末）已知，比较M与N的大小关系：M N．（在横线上填写“>”“<”或“＝”） 【答案】＜ 【知识点】整式的加减运算、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式的加减及作差法比较大小，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用作差法比较大小即可得解． 【详解】 即， 故答案为：< 【例6-3】（24-25七年级上·上海·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下： 一次性购物 标价低于200元 标价低于500元但不低于200元 标价大于或等于500元 优惠方法 不予优惠 九折优惠 其中标价500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)若一名顾客在该超市一次性购物标价x元，当x低于500元但不低于200元时，他实际付款_______元；当x大于或等于500元时，他实际付款_________元．（用含x的式子表示） (2)若一名顾客一次购物标价合计1000元，他实际付款多少元？ 【答案】(1)； (2)他实际付款850元 【知识点】列代数式、整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查列代数式、整式加减的实际应用、代数式求值，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）当x低于500但不低于200时，根据九折优惠计算即可；当x大于或等于500时，根据其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠计算即可； （2）根据（1）中代数式，将代入对应代数式中求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，若一名顾客在该超市一次性购物标价x元， 当x低于500元但不低于200元时，他实际付款元； 当x大于或等于500元时，他实际付款元． 故答案为：；； （2）解：∵， ∴当时，， 答：实际付款850元． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为a，长方形的长和宽分别为b和c，且，请用代数式表示阴影部分三角形的面积 ． 【答案】 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式以及整式的加减运算，根据阴影部分三角形的面积，分别求出面积可得得出答案． 【详解】解：阴影部分三角形的面积 ， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； ；；；； (1)请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交换位置，原来两位数与新的两位数的差是_________________________； (2)你能用所学知识解释这个规律吗？ 解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为，原来两位数可表示为，则新的两位数的十位数字为，个位数字为，新两位数可表示为__________，(在下面空白处，请继续完成解释该规律的理由) 【答案】(1)原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍 (2)，理由见解析 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式进行总结即可； （2）由（1）规律表示新的两位数，再利用整式加减法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ， …， ∴把一个两位数的十位数字与个位数字交换位置，新的两位数与原来两位数的差等于原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍； 故答案为：原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍； （2）解：∵原来两位数的十位数字为，个位数字为， ∴由（1）中规律得新两位数可表示为：； ． 题型七 整式加减中的化简求值 【例7-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减的化简求值；从内往外依次去括号，再合并同类项，最后代值计算即可．注意每去一层括号，要合并同类项后，再去括号，减少运算量． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 【例7-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知整式，，当时，求： 【答案】186 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算出，再代入，，根据整式的加减计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 当时，原式． 【变式7-1】先化简，再求值：， 其中， ． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减，掌握去括号法则、合并同类项法则是解题的关键．利用去括号法则、合并同类项法则化简后，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时原式． 【变式7-2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型八 整式加减中的无关型问题 【例8-1】已知代数式合并同类项后不含，项，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减中的无关型问题、合并同类项 【分析】本题考查的是合并同类项，代数式求值的有关知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 首先合并同类项，然后求出，最后再代入计算即可． 【详解】解：原式， 由题意，得， 解得， 所以． 【例8-2】课堂上李老师出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式写完后让王红同学顺便给出一组，的值，老师自己说答案，当王红说完“，”后，李老师不假思索，立刻就说出答案“3”．同学们觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误．”亲爱的同学你相信吗？你能说出其中的道理吗？ 【答案】相信，道理见解析 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据结果为常数进行分析说明．本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 【详解】解：相信，道理如下： ． ∵结果为常数3， ∴原式的结果与字母a，b的取值无关， ∴李老师能够准确地说出代数式的值为3． 【例8-3】已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）利用整式加减的运算法则计算即可； （2）由（1）得，，结合题意得，解出的值即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得，， 的值与y的取值无关， ， 解得：， x的值为． 【变式8-1】某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式加减的实质是去括号、合并同类项是解答此题的关键． （1）根据列出代数式，去括号合并同类项即可； （2）先根据列出代数式，去括号合并同类项求出结果，再根据的值与x的取值无关，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ； （2） ， 的值与x的取值无关， ， 【变式8-2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2． (1)求代数式的值； (2)若多项式中不含项，求k的值． 【答案】(1)4或 (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式加减中的无关型问题、相反数的定义、倒数 【分析】本题考查了代数式求值，相反数，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据相反数，倒数，绝对值的意义可得，，，然后分两种情况进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后根据题意可得，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2， ，，， 当时，； 当时，； 代数式的值为4或； （2）解：，， ， 多项式中不含项， ， 解得：， 的值为． 题型九 带有字母的绝对值化简问题 【例9-1】已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，整式的加减运算，根据数轴正确得出式子正负是解题关键．由数轴可得，，，再去绝对值符号化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ，，， ， 故选：B． 【例9-2】计算及化简： (1) (2)有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，有理数与数轴，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据数轴可得，则，据此去绝对值后，根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 【变式9-1】若都是不为零的数，则的结果为（      ） A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算 【分析】本题考查化简绝对值，涉及代数式化简求值，根据的正负性，分情况讨论去绝对值后化简即可得到答案，由正负分类讨论去绝对值是解决问题的关键． 【详解】解：情况1：当时， ，，， 则； 情况2：当时， ，，， 则； 情况3：当时， ，，， 则； 情况4：当时， ，，， 则； 综上所述，的结果为或， 故选：B． 【变式9-2】下列说法正确的有（   ） ①已知是有理数，，，则的值为； ②若为非零有理数，且，则的值为或； ③已知，则的最大值是，最小值是； ④若且，则式子． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的性质，由可得同时为正数或两负一正，进而由，，代入计算即可判断①；由得同时为负数或两正一负，分别计算即可判断②；分和化简代数式，进而求出最大值和最小值即可判断③；由得或，再分别计算可判断④，综上即可求解，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 【详解】解：①∵， ∴，，， 又∵， ∴同时为正数或两负一正， 当同时为正数时， ； 当两负一正时， ； ∴的值为或，故①错误； ②∵， ∴同时为负数或两正一负， 当同时为负数时， ； 当两正一负时， ， ∴的值为或，故②正确； ③当时， ， 此时最大值为，最小值为； 当时， ； ∴时，的最大值是，最小值是，故③正确； ④当时，则或， 当时，，与矛盾，不合题意； 当时，，， ∴，或，， ∴，， ∴，故④正确； 综上，说法正确的有个， 故选：． 【变式9-3】已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 【答案】(1) (2)，， (3) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算、利用数轴比较有理数的大小、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和整式的加减； （1）根据数轴上，左边的数小于右边的数即可解答； （2）根据有理数的加法，减法，乘法法则判断符号，即可求解． （3）根据点在数轴上的位置和绝对值化简解答即可． 【详解】（1）解：根据数轴可得：； （2）解：由数轴可知，，，且， ∴，，； 故答案为：，，； （3）解：由数轴可知，，，且， ∴，， ∴ ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）在，，，，，这些代数式中，单项式的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握单项式的定义，根据定义，进行解答，即可． 【详解】单项式的定义：由数或者字母的积组成的式子叫做单项式， ∴，是单项式；，是多项式；，是分式； ∴单项式的个数为：个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）整式的次数和一次项系数分别为（   ） A．4， B．2， C．3， D．2，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的系数，次数，根据多项式次数的概念，“多项式中最高项的次数是多项式的次数”，进行解答即可． 【详解】解：多项式的次数和一次项系数分别为2，． 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列说法中，错误的是（      ） A．单项式、多项式统称为整式 B．是二次四项式 C．和是同类项 D．不能写成 【答案】B 【分析】本题考查同类项、整式、单项式与多项式统称为整式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；熟练掌握相关定义是解题关键.根据整式、多项式的项与次数、代数式及单项式的系数的定义解答即可. 【详解】A.单项式与多项式统称为整式，正确，故该选项不符合题意， B. 是二次三项式，原说法错误，故该选项符合题意， C. 和是同类项，正确，该选项不符合题意， D. 不能写成，正确，故该选项不符合题意. 故选:B. 4．（24-25七年级上·上海普陀·期中）下列单项式中能与合并成一项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的判断及合并，所含字母相同，且相同字母的指数也相同的几个单项式称为同类项，同类项可以合并；根据同类项的定义判断即可． 【详解】解：，，与不是同类项，不能合并； 与是同类项，能合并． 故选：C． 5．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．是整式 B．的一次项系数是 C．的次数是 D．不是单项式 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式的次数和系数，多项式的项数及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义． 根据整式、单项式和多项式的概念逐一作出判断即可． 【详解】解：A、是多项式，多项式是整式，故本选项正确； B、的一次项系数是，故本选项错误； C、的次数是，故本选项错误； D、单独的一个数或一个字母也是单项式，故是单项式，故本选项错误． 故选：A． 6．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（    ） A．的次数是3 B．的常数项是 C．是二次二项式 D．是按的升幂排列的 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 【详解】解：A．的次数是3，正确； B．的常数项是，正确； C．是二次二项式，正确；     D．是按的升幂排列的，故原说法不正确； 故选D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·上海·期中）将整式按y降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的排列问题，按照y的次数从高到低重新排列多项式即可得到答案． 【详解】解：将整式按y降幂排列是， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海普陀·期中）整式的三次项系数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是多项式的项的概念，组成多项式的单项式叫做多项式的项，掌握“多项式的项的含义”是解题的关键．先把多项式化为，再确定整式的三次项为，从而可得答案． 【详解】解：将整式化为， 则整式的三次项为，系数为， 整式的三次项系数是， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海·期中）若单项式与的和仍是单项式，则等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查合并同类项，根据单项式的和仍为单项式，得到两个单项式是同类项，进而求出的值，再进行乘法运算即可． 【详解】解：由题意，得：单项式与是同类项， ∴， ∴； 故答案为：6． 10．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，用黑白两色正方形瓷砖铺设地面，则第个图案中黑色瓷砖数为 块 【答案】 【分析】本题考查图形类变化规律，结合图形进行分析，注意前后两个图形之间的联系，找出规律是解题关键．观察图形可得白色瓷砖块数的规律为：第一个图案黑色瓷砖块数为4，以后每个图案比前一个图案多2块黑色瓷砖，即可得答案． 【详解】解：观察图形发现： 第1个图案中有黑色瓷砖块数为4，而 第2个图案中黑色瓷砖块数为6，而， 第3个图案中黑色瓷砖块数为8，而， …… 第n个图案中黑色瓷砖数为． 故答案为：． 三、解答题 11．已知多项式． (1)把多项式按降幂排列； (2)把多项式按降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． （1）按照a的指数从大到小排列即可； （2）按照b的指数从大到小排列即可； 【详解】（1）解：多项式按a的降幂排列是； （2）解：多项式按b的降幂排列的是． 12．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并法则是关键； （1）按照同类项合并法则进行即可； （2）按照同类项合并法则进行即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减，根据题意，先化简，再把，代入化简的整式，进行计算，即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．一串数字如下：1，，5，，9，…如此下去，则第个数字与第个数字的和等于（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为，第个数为，则第个数字为，第个数字为，然后求和作答即可． 【详解】解：∵1，，5，，9，…， ∴可推导一般性规律为，第个数为， ∴第个数字为，第个数字为， ∴第个数字与第个数字的和等于， 故选：B． 2．（23-24七年级上·上海·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．0和都是单项式 B．与不是同类项 C．不是代数式 D．与都是多项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式、单项式、同类项和多项式等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式；由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，一个数字或字母也是单项式；如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项；几个单项式的和（或者差），叫做多项式．根据相关知识逐项分析判断即可． 【详解】解：A 、0和都是单项式，该说法正确，不符合题意； B、与相同字母的指数不相同，故不是同类项，该说法正确，不符合题意； C、代数式中不能含有等号，故不是代数式，该说法正确，不符合题意； D、 不是单项式，不是多项式，原说法不正确，符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的运动规律，根据计算可得每次运动后点距原点的距离是上一个点距原点距离的一半，据此即可求解，根据计算找到点的运动规律是解题的关键． 【详解】解：第一次跳动到的中点处，得， 第二次从跳到的中点处，得， 第三次从点跳到的中点处，得， ， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 4．（24-25七年级上·上海·期中）已知单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式次数的概念，熟练掌握单项式次数的定义是解题的关键； 根据单项式次数的定义即可求解 【详解】解：单项式的次数为； 故答案为： 5．（24-25七年级上·上海宝山·期中）多项式的最高次项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的项的定义，多项式的次数，根据多项式的项的定义即可得出答案，掌握多项式的项的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴多项式的最高次项是：， 故答案为：． 6．如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究．观察图表可知，第n行第一个数是，所以，第45行第一个数是，所以，第行，第列的数是． 【详解】解：观察图表可知，第n行第一个数是， ∴第行，第列的数是第一个数是， 下一个数出现在第行，第列为 ∴第行，第列的数是． 故答案为：． 三、解答题 7．已知：． (1)当时， 求的值； (2)计算：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则． （1）根据题意列出算式，去括号、合并同类项化简后，再代入计算即可； （2）根据题意列出算式，去括号、合并同类项化简即可． 【详解】（1）解：， ； （2） ． 8．已知两个整式 A 和B ，． (1)求A与B的和； (2)先化简，再求值：若 ，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值；熟记去括号，合并同类项的法则是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，即可得到答案； （2）先求出，把，代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵，， ∴． 9.定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数（填一个含的代数式）． (2)若，，且与是关于2的平衡数，若为正整数，求非负整数的值． 【答案】(1)，； (2)1或3或0 【分析】（1）根据平衡数的定义即可求出； （2）根据，，且与是关于2的平衡数，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到结果； 本题考查整式的加减、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． 【详解】（1）解： 根据平衡数的定义，， 与是关于2的平衡数； ， 与是关于2的平衡数； 故答案为：，； （2），，且与是关于2的平衡数， ， 即：， ， 为正整数，为非负整数， 当时，，或时，，或时，， 或或， 综上所述，故非负整数的值为1或3或0． 10.已知有理数， 且． (1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来； (2)化简：。 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值， （1）根据，且，即可求解； （2）先判断的正负号，即可化简． 【详解】（1）解：，， ， 在数轴上将三个数表示如下： （2）解：， ， ． 11.已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求代数式B的表达式； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）根据代入计算即可； （2）由的值与无关得，得出y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：由题意得：， 的值与x无关， ， 解得：， ． 12.某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款_____元； (2)若顾客在该超市一次性购物元，当小于500元但不小于200元时，他实际付款元，当大于或等于500元时，他实际付款_____元；（用含的式子表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的式子表示：两次购物王老师实际付款多少元？ 【答案】(1)530 (2) (3)两次购物王老师实际付款元 【分析】此题考查了代数式求值，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）按照优惠方案计算即可； （2）等量关系为：折超过500的购物款折； （3）两次购物王老师实际付款第一次购物款折折（总购物款第一次购物款第二次购物款折，把相关数值代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：（元； 故答案为：530； （2）解：若顾客在该超市一次性购物元， 当大于或等于500元时， 他实际付款（元； 故答案为： ； （3）解：因为，所以， 元． 答：两次购物王老师实际付款元． 13.下面是小华同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应的问题． ……① ……② ……③ (1)以上化简步骤中，第________步开始出现错误，错误的原因是________________； (2)请写出该整式化简的正确过程． 【答案】(1)②，去括号时没变号 (2)见解析 【分析】此题主要考查了整式的加减，正确去括号、合并同类项是解题关键． （1）直接去括号，进而合并同类项，即可得出答案； （2）利用整式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：化简步骤中，第②步开始出现错误， 错误的原因是：去括号时没变号； 故答案为：②，去括号时没变号； （2）解： ． 14.阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似的，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是___________． （2）已知，求的值． 拓展探索： （3）已知，，．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． （1）仿照题意把当做一个整体，利用合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，把整体代入求解即可； （3）根据，把所给的条件式整体代入求解即可． 【详解】解：（1） ， ； 故答案为：； （2）∵， ∴ ， ， ； （3），，， ， ， ， ， ． 15.小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（列式即可） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________（列式即可） (3)当，时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了代数式求值和列代数式． （1）将两个四分之一的圆面积相加即是窗帘的面积，用长方形的面积减去窗帘的面积即是射进阳光的面积； （2）将一个半圆和两个四分之一圆面积相加即是窗帘的面积，组成用长方形面积减去一个半圆和两个四分之一圆的面积即为射进阳光的面积； （3）将（2）（1）的结论作差，再将，代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：四分之一圆的半径为， ∴窗帘的面积为：， ∴窗户能射进阳光的面积为：， 故答案为：；； （2）解：由题意知：半圆和四分之一圆的半径为， ∴窗帘的面积为：， ∴图2窗户能射进阳光的面积为：； 故答案为：；； （3）解： ， 将代入，可得： 原式， 答：两图中窗户能射进阳光的面积相差． 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$