精品解析：吉林省农安县第十中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

高二数学期末考试试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算. 【详解】由已知，，所以, 故选：B. 2. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】结合存在量词和全称量词判断的真假，再判断各选项.. 【详解】当时，，所以为真命题， 当时，，所以为假命题， 所以为假命题，为真命题， 所以只有C正确， 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】， 但满足，不满足， 因此应为充分不必要条件， 故选：A. 4. 展开式中的系数是（ ） A. 15 B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理求解. 【详解】，的系数为， 故选：A. 5. 5天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x（单位：℃）的数据如下表： x 5 7 8 9 11 y 9 m 15 17 20 由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】用中心点坐标代入计算. 【详解】由，， 所以，解得. 故选：B. 6. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为，则E对于M的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对求导即得. 【详解】因为 所以， 故选：D. 7. 如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将目标事件合理拆分，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意得，我们第一次抛掷正方体骰子，为奇数的概率为， 此时第二次抛掷正四面体骰子，的概率为， 而两次抛掷骰子相互独立，故为奇数时的概率为， 我们，第一次抛掷正方体骰子，为偶数的概率为， 此时第二次抛掷正八面体骰子，的概率为， 而两次抛掷骰子相互独立，故为偶数时的概率为， 而为奇数时和为偶数时互斥， 由互斥事件加法公式得的概率为，故C正确. 故选：C 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，然后利用导数解不等式. 【详解】设，因为， 所以，所以单调递减， 又，所以的解集为， 即的解集为， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是增函数 B. 有且仅有1个零点 C. 的图象关于原点对称 D. 既有极大值又有极小值 【答案】AB 【解析】 【分析】先求出，再利用判别式判断得到其正负，进而判断A，先求出，再结合的单调性判断B，证明判断C，利用是增函数得到其无极值判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 而，则，即是增函数，故A正确， 对于B，由题意得，结合已知得是增函数， 则有且仅有1个零点，故B正确， 对于C，因为， 所以，即， 可得的图象不关于原点对称，故C错误， 对于D，因为是增函数，所以无极值，故D错误. 故选：AB 10. 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由分布列概率和为1求得，再根据分布列求得期望与方差，然后由期望与方差的性质求得的期望与方差. 【详解】由得， 所以，， 所以，， 故选：AC. 11. 某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则当时，最大 C. 若，则当时，最小 D. 若，则当时，最大 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的概率性质判断A；利用条件概率、全概率公式探讨的关系，再赋值计算判断B，C，D即可. 【详解】对于A，，，，故A正确； 当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， ， 当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中至少要赢局，则； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于或恰好赢了局， 所以； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于， 可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”， 与事件“在后续的局比赛中恰好赢了局”的差事件， 所以， 则 ， 即， 易得，则我们讨论的正负即可， 对于B，若，则，当时，， 即，则当时，最大，故B正确， 对于C，若，则，当时，， 即，则当时，最小，故C正确， 对于D，若，则， 当时，，此时， 当时，，此时， 则当时，最大，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从正态分布，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】由题意，， 故答案为：2. 13. 函数在上的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，按分类，结合基本不等式求出值域. 【详解】当时，； 当时，令，，则， ，当且仅当，即时取等号，此时， 所以所求值域为. 故答案为： 14. 若要用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积取最小值时，该圆锥形容器的高为______m. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥体积公式结合勾股定理得到，然后表示出表面积为，再利用三元基本不等式求出表面积最小时的底面半径，最后结合勾股定理计算高即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高度为， 由圆锥体积公式得， 可得，得到，化简得， 由侧面积公式得， 所以，即， 当且仅当，即时取等号， 此时由勾股定理得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了100名大学生，得到的数据如表所示： 性别 篮球运动 合计 喜欢 不喜欢 男 40 10 50 女 25 25 50 合计 65 35 100 （1）求该校喜欢篮球运动的大学生中性别为男的频率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？ 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）； （2）有的把握认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联. 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率公式计算； （2）计算出，与临界值比较可得. 【小问1详解】 由题意所求频率为 【小问2详解】 ， 根据小概率值的独立性检验，有的把握认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联. 16. 3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. （1）若数学小组成员站在第一排，求不同的排法种数； （2）若数学小组成员站在第二排，求不同的排法种数； （3）若甲、乙均站在第二排且不相邻，求不同的排法种数. 【答案】（1）144 （2）576 （3）720 【解析】 【分析】（1）先排第一排数学小组成员，再排第二排语文小组成员，然后由乘法原理计算； （2）选一个语文小组成员与3个数学小组成员排在第二排，还有3个语文小组成员排在第一排，然后由乘法原理计算； （3）其余5人全排列（其中3人在前排，2人在后排），然后甲、乙两人插入后排，然后由乘法原理计算. 【小问1详解】 先排第一排数学小组成员，再排第二排语文小组成员，方法数为； 【小问2详解】 选一个语文小组成员与3个数学小组成员排在第二排，还有3个语文小组成员排在第一排，排法为； 【小问3详解】 其余5人全排列（其中3人在前排，2人在后排），然后甲、乙两人插入后排，方法数为. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）当时，若的最大值为4，求的值. 【答案】（1） （2）单调递增区间是，单调递减区间是. （3） 【解析】 【分析】（1）先求出切点，再结合导数的几何意义求出斜率，最后得到切线方程即可. （2）先求出，进而结合因式分解法判断，再利用余弦函数的性质求解单调区间即可. （3）先利用换元法得到，再针对参数范围讨论的单调性，进而结合最大值为4建立方程，求解的值即可. 【小问1详解】 当时，， 而，则切点为，可得， 由斜率的几何意义得斜率为，故切线方程为. 【小问2详解】 因为， 所以， 故， 令，则， 因为，所以，， 可得，令，， 令，， 故的单调递增区间是， 单调递减区间是. 【小问3详解】 令，则可化为， 而，由题意得，故， 令，解得，下面我们讨论和的大小关系， 当时，解得，此时在上单调递减， 此时的最大值为， 令，则， 此时，故恒成立，则在上单调递增， 则，可得的最大值不可能为，故排除， 当时，解得，令，， 令，，故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 得到，解得. 18. 某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额5%的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案. （1）若甲的消费金额为288元，他选择方案二且抽到的代金券总额为8元的概率为，求p； （2）若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为X元，当最大时，求p； （3）若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案. 【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据独立性乘法公式得到方程，求解即得； （2）根据二项分布的均值和期望公式求得，然后由二次函数性质求解； （3）对消费金额进行合理分段讨论. 【小问1详解】 甲的消费金额为288元，他选择方案二，抽奖2次，抽到的代金券总额为8元的概率为，解得； 【小问2详解】 设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以．. ， 所以时，取得最大值，所以； 【小问3详解】 ①当消费金额（单位：元）在时，不能参与方案二，只能选择方案一． ②当消费金额（单位：元）在时，设消费金额为， 当时，由（2）得，方案二的代金券总额的数学期望， 方案一的代金券总额为，此时， 当消费金额（单位：元）为时，选择方案一、方案二都可以， 当消费金额（单位：元）在，且不为时，选择方案一. 所以当消费金额（单位：元）大于0，且不为时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）为时，选择方案一、方案二都可以. 19. 已知函数. （1）若对恒成立，求a的取值集合. （2）设，，，.证明：①；②，. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）注意到，据此令，然后验证满足题意及不满足题意可得答案； （2）①利用（1）中结论，整理后可证明不等式；②将（1）中结论加强为：，时，，证明后利用结论结合题意可完成证明. 【小问1详解】 由题. 令，此时， 令， 则， 则在上递减，在上递增，， 又，则， 从而在上递减，在上递增，则，满足题意； 下面说明不满足题意； 若，则，从而在上单调递减，则当时，不满足题意，则. 令， 则，对于方程， 判别式为，设方程两根为， 则， 若，因，则， 则当时，，即在上单调递增. 又，则存在， 使，则，， 则在上单调递增，则不满足题意，则. 当，时，，. 则在上递减，在上递增， . 对于方程，由求根公式，若，则. 注意到，，， 则存在使，其中， 则，从而在上递减， 则当时，，不满足题意； 当，类似于以上分析，， 因，结合，，在上递增， 则存在，使. 则，从而在上递增， 则当，，不满足题意. 综上可得a的取值集合为； 【小问2详解】 ①由（1）有，其中. 又，，，， 则； ②类似于①，设， 设， 注意到，令， 下证：，当时，. 令， 则 . 令， 则， 对于方程， 判别式为：. 则方程总有两相异实根，设方程两根为，由韦达定理： . 若，则， 则当，则在上递增， 又，则，， 从而此时在上递减，在上递增，从而； 若，则，注意到， ，则，从而， 从而在上递减，在上递增， 注意到，. 则，， 从而此时在上递减，在上递增，从而； 综上，对，时，. 则， 从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末考试试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 展开式中的系数是（ ） A. 15 B. C. 30 D. 5. 5天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x（单位：℃）的数据如下表： x 5 7 8 9 11 y 9 m 15 17 20 由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 12 6. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为，则E对于M的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是增函数 B. 有且仅有1个零点 C. 的图象关于原点对称 D. 既有极大值又有极小值 10. 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则当时，最大 C. 若，则当时，最小 D. 若，则当时，最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从正态分布，若，则______. 13. 函数在上的值域为______. 14. 若要用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积取最小值时，该圆锥形容器的高为______m. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了100名大学生，得到的数据如表所示： 性别 篮球运动 合计 喜欢 不喜欢 男 40 10 50 女 25 25 50 合计 65 35 100 （1）求该校喜欢篮球运动的大学生中性别为男的频率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？ 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. （1）若数学小组成员站在第一排，求不同的排法种数； （2）若数学小组成员站在第二排，求不同的排法种数； （3）若甲、乙均站在第二排且不相邻，求不同的排法种数. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）当时，若的最大值为4，求的值. 18. 某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额5%的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案. （1）若甲的消费金额为288元，他选择方案二且抽到的代金券总额为8元的概率为，求p； （2）若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为X元，当最大时，求p； （3）若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案. 19. 已知函数. （1）若对恒成立，求a的取值集合. （2）设，，，.证明：①；②，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $