精品解析：吉林省农安县第十中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

高二数学期末考试试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 展开式中的系数是（ ） A. 15 B. C. 30 D. 5. 5天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x（单位：℃）的数据如下表： x 5 7 8 9 11 y 9 m 15 17 20 由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 12 6. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为，则E对于M的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是增函数 B. 有且仅有1个零点 C. 的图象关于原点对称 D. 既有极大值又有极小值 10. 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则当时，最大 C. 若，则当时，最小 D. 若，则当时，最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从正态分布，若，则______. 13. 函数在上的值域为______. 14. 若要用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积取最小值时，该圆锥形容器的高为______m. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了100名大学生，得到的数据如表所示： 性别 篮球运动 合计 喜欢 不喜欢 男 40 10 50 女 25 25 50 合计 65 35 100 （1）求该校喜欢篮球运动的大学生中性别为男的频率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？ 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. （1）若数学小组成员站在第一排，求不同的排法种数； （2）若数学小组成员站在第二排，求不同的排法种数； （3）若甲、乙均站在第二排且不相邻，求不同的排法种数. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）当时，若的最大值为4，求的值. 18. 某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额5%的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案. （1）若甲的消费金额为288元，他选择方案二且抽到的代金券总额为8元的概率为，求p； （2）若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为X元，当最大时，求p； （3）若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案. 19. 已知函数. （1）若对恒成立，求a的取值集合. （2）设，，，.证明：①；②，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末考试试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算. 【详解】由已知，，所以, 故选：B. 2. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】结合存在量词和全称量词判断的真假，再判断各选项.. 【详解】当时，，所以为真命题， 当时，，所以为假命题， 所以为假命题，为真命题， 所以只有C正确， 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】， 但满足，不满足， 因此应为充分不必要条件， 故选：A. 4. 展开式中的系数是（ ） A. 15 B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理求解. 【详解】，的系数为， 故选：A. 5. 5天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x（单位：℃）的数据如下表： x 5 7 8 9 11 y 9 m 15 17 20 由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】用中心点坐标代入计算. 【详解】由，， 所以，解得. 故选：B. 6. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为，则E对于M的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对求导即得. 【详解】因为 所以， 故选：D. 7. 如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将目标事件合理拆分，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意得，我们第一次抛掷正方体骰子，为奇数的概率为， 此时第二次抛掷正四面体骰子，的概率为， 而两次抛掷骰子相互独立，故为奇数时的概率为， 我们，第一次抛掷正方体骰子，为偶数的概率为， 此时第二次抛掷正八面体骰子，的概率为， 而两次抛掷骰子相互独立，故为偶数时的概率为， 而为奇数时和为偶数时互斥， 由互斥事件加法公式得的概率为，故C正确. 故选：C 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，然后利用导数解不等式. 【详解】设，因为， 所以，所以单调递减， 又，所以的解集为， 即的解集为， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是增函数 B. 有且仅有1个零点 C. 的图象关于原点对称 D. 既有极大值又有极小值 【答案】AB 【解析】 【分析】先求出，再利用判别式判断得到其正负，进而判断A，先求出，再结合的单调性判断B，证明判断C，利用是增函数得到其无极值判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 而，则，即是增函数，故A正确， 对于B，由题意得，结合已知得是增函数， 则有且仅有1个零点，故B正确， 对于C，因为， 所以，即， 可得的图象不关于原点对称，故C错误， 对于D，因为是增函数，所以无极值，故D错误. 故选：AB 10. 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由分布列概率和为1求得，再根据分布列求得期望与方差，然后由期望与方差的性质求得的期望与方差. 【详解】由得， 所以，， 所以，， 故选：AC. 11. 某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则当时，最大 C. 若，则当时，最小 D. 若，则当时，最大 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的概率性质判断A；利用条件概率、全概率公式探讨的关系，再赋值计算判断B，C，D即可. 【详解】对于A，，，，故A正确； 当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， ， 当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中至少要赢局，则； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于或恰好赢了局， 所以； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于， 可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”， 与事件“在后续的局比赛中恰好赢了局”的差事件， 所以， 则 ， 即， 易得，则我们讨论的正负即可， 对于B，若，则，当时，， 即，则当时，最大，故B正确， 对于C，若，则，当时，， 即，则当时，最小，故C正确， 对于D，若，则， 当时，，此时， 当时，，此时， 则当时，最大，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从正态分布，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】由题意，， 故答案为：2. 13. 函数在上的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，按分类，结合基本不等式求出值域. 【详解】当时，； 当时，令，，则， ，当且仅当，即时取等号，此时， 所以所求值域为. 故答案为： 14. 若要用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积取最小值时，该圆锥形容器的高为______m. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥体积公式结合勾股定理得到，然后表示出表面积为，再利用三元基本不等式求出表面积最小时的底面半径，最后结合勾股定理计算高即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高度为， 由圆锥体积公式得， 可得，得到，化简得， 由侧面积公式得， 所以，即， 当且仅当，即时取等号， 此时由勾股定理得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了100名大学生，得到的数据如表所示： 性别 篮球运动 合计 喜欢 不喜欢 男 40 10 50 女 25 25 50 合计 65 35 100 （1）求该校喜欢篮球运动的大学生中性别为男的频率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？ 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率公式计算； （2）计算出，与临界值比较可得. 【小问1详解】 由题意所求频率为 【小问2详解】 ， 根据小概率值的独立性检验，有的把握认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联. 16. 3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. （1）若数学小组成员站在第一排，求不同的排法种数； （2）若数学小组成员站在第二排，求不同的排法种数； （3）若甲、乙均站在第二排且不相邻，求不同的排法种数. 【答案】（1）144 （2）576 （3）720 【解析】 【分析】（1）先排第一排数学小组成员，再排第二排语文小组成员，然后由乘法原理计算； （2）选一个语文小组成员与3个数学小组成员排在第二排，还有3个语文小组成员排在第一排，然后由乘法原理计算； （3）其余5人全排列（其中3人在前排，2人在后排），然后甲、乙两人插入后排，然后由乘法原理计算. 【小问1详解】 先排第一排数学小组成员，再排第二排语文小组成员，方法数为； 【小问2详解】 选一个语文小组成员与3个数学小组成员排在第二排，还有3个语文小组成员排在第一排，排法为； 【小问3详解】 其余5人全排列（其中3人在前排，2人在后排），然后甲、乙两人插入后排，方法数为. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）当时，若的最大值为4，求的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出切点，再结合导数的几何意义求出斜率，最后得到切线方程即可. （2）先求出，进而结合因式分解法判断，再利用余弦函数的性质求解单调区间即可. （3）先利用换元法得到，再针对参数范围讨论的单调性，进而结合最大值为4建立方程，求解的值即可. 【小问1详解】 当时，， 而，则切点为，可得， 由斜率的几何意义得斜率为，故切线方程为. 【小问2详解】 因为， 所以， 故， 令，则， 因为，所以，， 可得，令，， 令，， 故的单调递增区间是， 单调递减区间是. 【小问3详解】 令，则可化为， 而，由题意得，故， 令，解得，下面我们讨论和的大小关系， 当时，解得，此时在上单调递减， 此时的最大值为， 令，则， 此时，故恒成立，则在上单调递增， 则，可得的最大值不可能为，故排除， 当时，解得，令，， 令，，故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 得到，解得. 18. 某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额5%的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案. （1）若甲的消费金额为288元，他选择方案二且抽到的代金券总额为8元的概率为，求p； （2）若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为X元，当最大时，求p； （3）若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案. 【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据独立性乘法公式得到方程，求解即得； （2）根据二项分布的均值和期望公式求得，然后由二次函数性质求解； （3）对消费金额进行合理分段讨论. 【小问1详解】 甲的消费金额为288元，他选择方案二，抽奖2次，抽到的代金券总额为8元的概率为，解得； 【小问2详解】 设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以．. ， 所以时，取得最大值，所以； 【小问3详解】 ①当消费金额（单位：元）在时，不能参与方案二，只能选择方案一． ②当消费金额（单位：元）在时，设消费金额为， 当时，由（2）得，方案二的代金券总额的数学期望， 方案一的代金券总额为，此时， 当消费金额（单位：元）为时，选择方案一、方案二都可以， 当消费金额（单位：元）在，且不为时，选择方案一. 所以当消费金额（单位：元）大于0，且不为时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）为时，选择方案一、方案二都可以. 19. 已知函数. （1）若对恒成立，求a的取值集合. （2）设，，，.证明：①；②，. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）注意到，据此令，然后验证满足题意及不满足题意可得答案； （2）①利用（1）中结论，整理后可证明不等式；②将（1）中结论加强为：，时，，证明后利用结论结合题意可完成证明. 【小问1详解】 由题. 令，此时， 令， 则， 则在上递减，在上递增，， 又，则， 从而在上递减，在上递增，则，满足题意； 下面说明不满足题意； 若，则，从而在上单调递减，则当时，不满足题意，则. 令， 则，对于方程， 判别式为，设方程两根为， 则， 若，因，则， 则当时，，即在上单调递增. 又，则存在， 使，则，， 则在上单调递增，则不满足题意，则. 当，时，，. 则在上递减，在上递增， . 对于方程，由求根公式，若，则. 注意到，，， 则存在使，其中， 则，从而在上递减， 则当时，，不满足题意； 当，类似于以上分析，， 因，结合，，在上递增， 则存在，使. 则，从而在上递增， 则当，，不满足题意. 综上可得a的取值集合为； 【小问2详解】 ①由（1）有，其中. 又，，，， 则； ②类似于①，设， 设， 注意到，令， 下证：，当时，. 令， 则 . 令， 则， 对于方程， 判别式为：. 则方程总有两相异实根，设方程两根为，由韦达定理： . 若，则， 则当，则在上递增， 又，则，， 从而此时在上递减，在上递增，从而； 若，则，注意到， ，则，从而， 从而在上递减，在上递增， 注意到，. 则，， 从而此时在上递减，在上递增，从而； 综上，对，时，. 则， 从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $