2.1等式性质与不等式性质（培优教学课件）数学人教A版2019必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质 第二章 一元二次函数、方程和不等式 人教A版2019必修第一册·高一 前情回顾 思考：以前，我们已经通过具体实例归纳出了一些(不)等式的性质， 你还记得哪些等式和不等式的性质呢？ 等式性质 文字表述 性质1 性质2 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，等式仍然成立 等式的两边同乘(或除以)一个非零数，等式仍然成立 说说你还记得的不等式的相关性质？ 章节导读 2.1 等式性质与不等式性质 2.2 基本不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 比较大小与重要不等式 不等式的性质 三个二次的关系 分式不等式 恒成立问题 基本不等式 基本不等式的应用 学 习 目 标 1 2 3 通过数轴理解不等式，掌握实数大小比较基本事实. 理解并掌握作差法比较两数（式）大小. 能理解重要不等式，以及不等式的相关性质. 读教材 阅读课本P37-P43，5分钟后完成下列问题： 1. 如何比较两数的大小？学过的不等式性质有哪些？ 我们一起来探究“等式性质与不等式性质 ”吧！ 2. 重要不等式与哪些常见公式有关？ 新课引入 高与矮 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、重与轻、长与短、高与矮、远与近、升与降、涨与跌、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示。 学习过程 01 03 02 目录 1 比较两数(式)的大小 3 题型训练 2 重要不等式、不等式性质 新知探究1 思考：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应 不小于2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 新知探究1 思考：常见的不等关系下列，你能用文字语言和符号语言表述吗？ 文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于 符号 语言     > ≥ < ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ 思考：在初中，怎么用数轴比较两个实数的大小关系呢？有其他方法吗？ x 0 1 2 3 －1 －2 4 5 －3 －4 C B A 实数与数轴上的点一一对应,且从左到右依次增大。 新知探究1 探究1：你能比较下列两个式子的大小吗？采用什么方法？ (1)比较和的大小 (2)比较和2的大小 解：(1)因为(所以 (2)因为(所以 采用作差后与0比较大小来判断两式的大小。 新知1 1. 两实数大小关系的基本事实： 比较两数(式)的大小 A B b x （B） A （b） x B A b x 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 作差法 典例分析 例1 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)？ 解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x 辆、y 辆，则 典例分析 例2 一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用 不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个 两位数的十位数字和个位数字)？ 又a∈N*，∴a＝5，∴b＝7，∴所求的两位数为57. 典例分析 例3 比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小？ 解：因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6) =(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0， 所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6). 典例分析 例4 若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，比较x与y的大小关系？ 解：因为x－y=(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4) =(a2－2a－15)－(a2－2a－8) =－7<0， 所以x<y. 学习过程 01 03 02 目录 1 比较两数(式)的大小 3 题型训练 2 重要不等式、不等式性质 新知探究2 探究2：如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是 根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 新知探究2 当且仅当a=b时，等号成立. 不等关系：大正方形面积大于或等于四个三角形面积？ 新知2 重要不等式 2. 重要不等式： 利用完全平方公式： 重要不等式： 一般地，，有 当且仅当时，等号成立. 新知探究2 探究3 在初中阶段我们学习了不等式的基本性质，你还记得吗？ 1.不等号的两边同时加上(或减去)同一个数，不等号开口方向不变。 2.不等号的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号开口方向不变。 3.不等号的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号开口方向改变。 还有其他性质吗 新知2 不等式的性质 3. 不等式的性质： 1、性质1（可加性） 如果 a > b , 那么 a±c > b±c 2、性质2（可乘性） ① 如果 a > b，c＞0, 那么 ac > bc 或 ②如果 a > b，c＜0, 那么 ac ＜ bc 或 3、性质3 （传递性) 如果 a ＞ b , b ＞ c , 那么 a ＞ c 4、性质4（对称性） 5、性质5 （可移性） 新知2 不等式的性质 3. 不等式的性质： 6、性质6（同向可加性） 如果 a＞b , c＞d ,那么 a+c ＞b+d 7、性质7（同向同正可乘性） 如果 那么 8、性质8（同向同正可乘方性） 如果 , 那么 9、性质9（同正可开方性） 如果 , 那么 10、性质10（同号可倒性） 如果 , 那么 典例分析 例1 与a>b等价的不等式是（ ） A.|a|>|b| B.a2>b2 C. >1 D.a3>b3 解：可利用赋值法.令a＝1，b＝－2， 故A，B，C都不正确. D 典例分析 例2 已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是( ) 解：当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立； 同理可证D不成立. C 典例分析 例3 若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是( ) A.－3<a－|b|≤3 B.－3<a－|b|<5 C.－3<a－|b|<3 D.1<a－|b|<4 解：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0. 又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3. 故选C. C 学习过程 01 03 02 目录 1 比较两数(式)的大小 3 题型训练 2 重要不等式、不等式性质 不等式与比较大小问题 题型1 题型探究 例1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式为____________. 解：依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200. 例2.一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为____________. 10y＋x>70 解：∵该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x>70. 5x＋4y≤200 不等式与比较大小问题 题型1 题型探究 例3 有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如 果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数？ ∵x∈N*，∴x＝10,11或12，学生人数分别为59,63,67. 故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人. 不等式与比较大小问题 题型1 题型探究 例4 设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（ ） A.M>N B.M＝N C.M<N D.与x有关 A 例5 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小？ ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. 不等式性质的应用 题型2 题型探究 ∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0， ，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0. 不等式性质的应用 题型2 题型探究 例7 已知1<a<6,3<b<4，则a－b的取值范围是___________， 的取值范围是________. －3<a－b<3 解：∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3， 即－3<a－b<3. 不等式性质的应用 题型2 题型探究 例8 有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d， 已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，求这四个小球由重到轻 的排列顺序？ 解：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)， 即a>c. ∴b<d. 又a＋c<b，∴a<b. 综上可得，d>b>a>c. 课堂小结 1. 两实数大小关系的基本事实： 作差法 A B b x （B） A （b） x B A b x 2. 重要不等式： 一般地，，有 当且仅当时，等号成立. 3. 不等式的性质： 感谢聆听! 解：由题意知解得＜a＜. 满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，＝－<1， A. a>b⇒ac2>bc2 B. >⇒a>b C.⇒> D.⇒> ab<0，a>b⇒<，即>，C成立； 解：设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，由题意得：解得<x<. 解：∵M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，∴M>N. 解：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝2＋ >0， 例6.(1)a<b<0，求证：<； (2)已知a>b，<，求证：ab>0. 证明：(1)由于－＝＝， ∴<0，故<. (2)∵<，∴－<0，即<0， <<2 又<<，∴<<，即<<2. $$