精品解析：2025年辽宁省朝阳市北票市中考三模数学试题

2025年北票市九年级中考第三次质量调查 数学试卷 (试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ） A. 0元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A B. C. D. 3. 如图是由5个大小相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球亿千米的行星命名为“苏步青星”，将亿用科学记数法表示为，则（ ） A 8 B. 6 C. 4 D. 2 5. 下列算式，计算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ） A. 连接，则 B. 连接，则 C. 连接，则 D. 连接，则 7. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 如图是甲、乙两人手中的扑克牌，两人随机出一张牌，记甲、乙牌中的数分别为m，n，使得的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为图心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将点向右平移个单位长度得到点，则点的坐标是_____． 12. 因式分解：2a2﹣8=_____． 13. 一元一次不等式的解集是______ 14. 如图，和均为直角三角形，点为中点，若，，，则的长为___________． 15. 已知是的直径，点P是延长线上的一个动点，过P作的切线，切点为C，的平分线交于点D，则等于________． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字） 16. （1）计算：． （2）计算：． 17. 某校开展“垃圾分类，你我有责”主题活动，为更好地进行垃圾分类，准备购进A，B两种品牌的垃圾桶，已知购买3个A品牌垃圾桶和4个B品牌垃圾桶共需费用900元，购买3个A品牌垃圾桶的费用和购买2个B品牌垃圾桶费用相同． （1）求A、B两种品牌垃圾桶的单价各是多少元？ （2）该校决定购进A、B两种品牌垃圾桶共20个，购买的总费用不超过2400元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 18. 为了解某校八、九年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查，已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如下统计图和统计表． 组别 睡眠时间 根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）求统计图中的； （2）抽取的样本中，九年级学生睡眠时间在组的有多少人？ （3）睡眠时间少于小时为严重睡眠不足，则从该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大？ 19. “中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买会员卡？ （2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域） （3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 20. 某课外活动小组准备利用光反射原理来测量居民楼的高度．如图，小组首先利用测角仪从点D处测得居民楼顶端A的仰角为，在测角仪和居民楼之间水平光滑的地面放置一个平面镜，当平面镜位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到居民楼顶端A，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上． （1）求． （2）求居民楼的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 21. 如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 22. 如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点B与点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接，将线段绕O点逆时针旋转90°，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值； （3）如图3，将抛物线在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围． 23. 在数学活动课上，黄老师给出如下问题：在中，，，点D和点B位于直线异侧，且． 【问题初探】 （1）当时，求证：． 数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．易证是等边三角形，易证，将线段之间的数量关系转化为线段之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况，请你解答 ②如图3，点D不在的延长线上时，连接，求证：． 【类比探究】 数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答． （2）当时， ①发现点D在的延长线上时，点D与点C重合（不需要证明）． ②如图4，点D不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【拓展提升】 黄老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答． （3）当，点D不在的延长线上时，连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年北票市九年级中考第三次质量调查 数学试卷 (试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ） A. 0元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键． 根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解． 【详解】解：把收入5元记作元，那么支出5元记作元． 故选B． 2. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 3. 如图是由5个大小相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的定义即可判断． 本题考查了三视图，解题的关键是明确俯视图是从物体的上边观察得到的图形． 【详解】解：根据立体图可知该俯视图是： ． 故选：D． 4. 为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球亿千米的行星命名为“苏步青星”，将亿用科学记数法表示为，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， ∴， 故选：A． 5. 下列算式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、单项式乘多项式的运算法则．由合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、单项式乘多项式的运算法则，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ） A. 连接，则 B. 连接，则 C. 连接，则 D. 连接，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据各选项的要求，先作图，再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：如图，连接，取与格线的交点，则， 而， ∴四边形不是平行四边形， ∴，不平行，故A不符合题意； 如图，取格点，连接， 由勾股定理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，故B符合题意； 如图，取格点， 根据网格图的特点可得：， 根据垂线的性质可得：，，都错误，故C，D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与基本图形的性质是解本题的关键． 7. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是由根的判别式的正负判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：， ， 一元二次方程没有实数根， 故选：D． 8. 如图是甲、乙两人手中的扑克牌，两人随机出一张牌，记甲、乙牌中的数分别为m，n，使得的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率、列举法求概率，根据题意画出树状图，由树状图求得所有可能的结果与的情况，再利用概率公式即可解答； 【详解】解：树状图如下： 所有可能的结果有12种，甲获胜的情况有5种， ∴甲获胜的概率都是， 故选：B 9. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设井深为x尺，则绳子长度可以表示为：或，依题意即可求解． 【详解】解：设井深为x尺，依题意得， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 10. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为图心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法，菱形的性质，勾股定理，根据作图得出是线段的垂直平分线，根据菱形的性质得出，再用勾股定理解求出，解求出． 【详解】解：四边形是菱形，， ， 由作图过程可知是线段的垂直平分线， ，， ， ，菱形中， ， ， 故选D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将点向右平移个单位长度得到点，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标系中的点的平移，熟练掌握坐标系中的点的平移规律是解题的关键．利用向右平移个单位长度，即横坐标加即可求解． 【详解】解：∵将点向右平移个单位长度得到点， ∴点的坐标是，即， 故答案为：． 12. 因式分解：2a2﹣8=_____． 【答案】2（a+2）（a－2）． 【解析】 【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）． 故答案为2（a+2）（a－2）． 考点：因式分解． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 13. 一元一次不等式的解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，和均为直角三角形，点为中点，若，，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意可证，由相似三角形的性质可得，根据点为中点，设，则，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴设，则， ∴，则， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 15. 已知是的直径，点P是延长线上的一个动点，过P作的切线，切点为C，的平分线交于点D，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、角平分线的性质、外角的性质，连接，根据题意，可知，，可推出，即． 【详解】解：如图，连接， ∵，平分， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字） 16. （1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，按照各自的运算法则一一计算即可． （1）先化简二次根式，化简绝对值，再计算乘除法，最后再进行二次根式的混合运算． （2）先计算分式乘除法，再计算分式加减法即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 17. 某校开展“垃圾分类，你我有责”主题活动，为更好地进行垃圾分类，准备购进A，B两种品牌垃圾桶，已知购买3个A品牌垃圾桶和4个B品牌垃圾桶共需费用900元，购买3个A品牌垃圾桶的费用和购买2个B品牌垃圾桶费用相同． （1）求A、B两种品牌垃圾桶的单价各是多少元？ （2）该校决定购进A、B两种品牌垃圾桶共20个，购买的总费用不超过2400元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 【答案】（1）A种品牌垃圾桶的单价是100元，B种品牌垃圾桶的单价是150元 （2）该校此次最多可购买8个B品牌垃圾桶 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设A种品牌垃圾桶的单价是x元，B种品牌垃圾桶的单价是y元，根据购买3个A品牌垃圾桶和4个B品牌垃圾桶共需费用900元，购买3个A品牌垃圾桶的费用和购买2个B品牌垃圾桶费用相同，列出二元一次方程组，即可解答． （2）设该校此次可购买m个B种垃圾桶，则购买个A种垃圾桶，根据购买的总费用不超过2400元，列出一元一次不等式，即可解答． 【小问1详解】 解：设A种品牌垃圾桶的单价是x元，B种品牌垃圾桶的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种品牌垃圾桶的单价是100元，B种品牌垃圾桶的单价是150元； 【小问2详解】 设该校此次可购买m个B种垃圾桶，则购买个A种垃圾桶， 由题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买8个B品牌垃圾桶． 18. 为了解某校八、九年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查，已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如下统计图和统计表． 组别 睡眠时间 根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）求统计图中的； （2）抽取的样本中，九年级学生睡眠时间在组的有多少人？ （3）睡眠时间少于小时为严重睡眠不足，则从该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大？ 【答案】（1） （2）人 （3）八年级：，九年级： 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、可能性，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据扇形统计图可以求得的值； （2）利用条形图求出八年级的学生人数，可得九年级的学生人数，再利用组九年级的百分比即可求解； （3）根据统计图中的数据即可求解． 【小问1详解】 解：， 即； 【小问2详解】 解：八年级的学生人数为（人）， ∵八年级与九年级的学生人数相同， ∴九年级的学生人数为（人）， ∴九年级学生睡眠时间在组的有（人）； 【小问3详解】 解：八年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为：， 九年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为：． 19. “中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买会员卡？ （2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域） （3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 【答案】（1）900 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，，整理求解即可； （3）当，则，根据优惠后油的单价比原价便宜元，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，（元）， 答：实际花了900元购买会员卡； 【小问2详解】 解：由题意知，，整理得， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当，则， ∵， ∴优惠后油的单价比原价便宜元． 【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式． 20. 某课外活动小组准备利用光的反射原理来测量居民楼的高度．如图，小组首先利用测角仪从点D处测得居民楼顶端A的仰角为，在测角仪和居民楼之间水平光滑的地面放置一个平面镜，当平面镜位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到居民楼顶端A，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上． （1）求． （2）求居民楼的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】（1） （2）该居民楼的高度约为7.9米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）首先求出，然后在中，解直角三角形即可求解； （2）如图，过点作，交于点，首先得到，然后由设，，表示出，，然后在中，解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 根据题意，可得． 解：在中，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点． 根据题意，可得． 由（1），可得，设，， 则． 在中，， 解得， ∴（米）． 答：该居民楼的高度约为7.9米． 21. 如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键； 连结，根据，可得，根据，可得，由，可得，进而得出，即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 22. 如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点B与点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接，将线段绕O点逆时针旋转90°，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值； （3）如图3，将抛物线在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，进而得到点的坐标，进而求出点的坐标，转化为二次函数求最值即可； （3）分别求出直线与新图象相切时，以及直线过点时的值，利用平移的思想即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵点横坐标为， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点，则：，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为； 小问3详解】 ∵翻折， ∴轴下方的抛物线的解析式为：， 当与只有一个交点时，此时与新图象只有一个交点， 联立，整理，得：， ∴， ∴， ∴，解得：， 所以与的交点在点的左侧， 将直线向下平移直至经过点之前时，与新图象有2个交点， 当过点时， 即：， ∴， 联立 ，解得：（舍去）或， ∴当过点时，直线与新图象仍有2个交点， 将直线继续向下平移直至直线与只有一个交点时， 联立，整理，得：， ∴，解得：， ∴，解得：， 交点位于点的右侧上方部分， ∴此时直线与新图象仍有2个交点 继续往下平移，与新图象有2个交点， ∴综上：当时，直线与新图象有且只有两个交点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数求最值，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键. 23. 在数学活动课上，黄老师给出如下问题：在中，，，点D和点B位于直线异侧，且． 【问题初探】 （1）当时，求证：． 数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．易证是等边三角形，易证，将线段之间的数量关系转化为线段之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况，请你解答 ②如图3，点D不在的延长线上时，连接，求证：． 【类比探究】 数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答． （2）当时， ①发现点D在的延长线上时，点D与点C重合（不需要证明）． ②如图4，点D不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【拓展提升】 黄老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答． （3）当，点D不在的延长线上时，连接，若，，求的长． 【答案】（1）②，证明见解析；（2）②不成立，；（3）的长为6或 【解析】 【分析】（1）②将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，证明是等边三角形，得，证明，可得，证明，根据勾股定理可得结论； （2）将线段绕点A顺时针旋转，得到线，连接．由旋转得 ，，证明，得，证明，根据勾股定理可得结论； 根据题意知点D有两处，如图3，过点C作，交的延长线于点E，证是等边三角形，得，，根据勾股定理求出，，，，从而根据可求出；如图4，过点C作，垂足为点F，求出，，，根据可求出 【详解】（1）② 证明：如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． 由旋转可得，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∴ 即 ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ （2）② 中的结论不成立， 如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． 由旋转可得，， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ 即 ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． （3）如图3，过点C作，交的延长线于点E， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∵在中，， ∴， 在中， ∴ ∴ 由（1）②得， ∴ 如答图4，过点C作，垂足为点F， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∵在中，， ∴， 在中， ∴ ∴ 由（1）②得， ∴ 答：的长为6或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确作出辅助线构造全等三角形，运用直角三角形的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $