精品解析：2024年辽宁省朝阳市北票市九年级中考三模数学试题

朝阳市北漂市2024年九年级第三次质量调查 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 据第七次全国人口普查表明，截至年，辽宁省总人口数超过万人．其中“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 标志是表明事物特征的识别符号，下列交通标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. -5 B. 5 C. -6 D. 6 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　 A. B. C. D. 8. 下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（ ） 隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤. 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语 A. B. C. D. 9. 下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则；④若，则．其中是真命题的是（ ） A. ②③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是______． 13. 不等式组的所有整数解是____________ 14. 如图，将一个含的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上，过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点.要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移________个单位． 15. 阅读材料，中用元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价，书中问题与方程有密切联系，其记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形中，与分别相切．问题：过点B做圆的切线，切点为E，交于点F，若，且，则的半径为______． 三、计算题（每题5分，共10分） 16 （1）计算：； （2）解方程：． 17. 、两地相距千米，甲车从地出发匀速开往地，乙车同时从地出发匀速开往地，两车相遇时距地．已知乙车每小时比甲车多行驶． （1）求甲、乙两车的速度； （2）若、辆车分别以初速继续在一条长为的道路上相向而行，若经过时两车在没有相遇的条件下相距不超过，求的取值范围． 18. 2024年4月10辽宁省教育厅下发《关于面向39个产粮大县送教活动的通知》后，我市有关部门积极落实文件要求，小亮的班主任李老师承担了向锦州市北镇县送教任务，为了让学生了解锦州市粮食的产量情况，增强节约粮食的意识，送教前李老师给同学们布置了一项调查活动，调查锦州市历年粮食产量的相关情况，小亮同学查阅锦州市统计局公布的相关资料，了解了2018—2023年锦州市粮食总产量及其增长速度的情况，并将数据整理后绘制了如下条形统计图和不完整的折线统计图： （注：，统计图右边的纵轴表示本年粮食总产量比上一年粮食总产量的增长速度） 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）求年全市粮食总产量的中位数； （2）求2023年全市粮食总产量比2022年全市粮食总产量多多少？并将粮食增长速度的折线统计图补充完整； （3）小亮同桌小红说：在年全市粮食总产量中，2019年全市粮食总产量增长速度是最快的，高达，因此可以推断这6年中，2019年全市粮食总产量是最高的．小红的说法是否正确，请说明理由． 19. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． （1）求y与x之间函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 20. 如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）若的半径，，求线段的长． 21. 如图，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，伸缩臂长度可调节，并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是，手机支撑片可绕点B上下转动，，转动角β变动范围是．小明使用该支架进行线上学习，当，且点C离底座的高度不小于时，他才感觉舒适． （1）如图2，当时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求（参考数据：）． （2）如图3，当的情况下，要伸缩到多少厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．（精确到．参考数据） 五、解答题（本题23分） 22. 【定义】 例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离． 【探索】 当与x轴平行时，， 当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________． 【应用】 如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处， （1）___________． （2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 【拓展】 （3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？ 23. 在数学综合实践课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动，这两张矩形纸片的长为，宽为．将两个完全相同的矩形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上． （1）请判断形状，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，将矩形绕点A顺时针旋转（转动的度数小于），边与边相交于点M． ①当旋转度数为，请求出点F到的距离； ②连接，当时，求的度数； （3）从图2开始，将长方形绕点A旋转一周，若边所在直线恰好经过线段的中点O时，连接，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 朝阳市北漂市2024年九年级第三次质量调查 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 据第七次全国人口普查表明，截至年，辽宁省总人口数超过万人．其中“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，根据科学记数法正确表示即可，熟练掌握“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法”是解题的关键． 【详解】解：万， 故选：C． 2. 标志是表明事物特征的识别符号，下列交通标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．是中心对称图形，故该选项符合题意； C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数的意义可知＜0，可知其在第四象限. 【详解】解：∵ ∴点（2，）在第四象限， 故选D 【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的点的特点，解题关键是明确各象限的点的特点，然后可判断.第一象限的点的特点为（+，+），第二象限的点的特点为（-，+），第三象限的点的特点为（-，-），第四象限的点的特点为（+，-）. 4. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从物体上面看到的图形即可解答，注意能看到的线用实线，看不到的线用虚线． 【详解】解：从物体上面看到的图形是：   故选：． 5. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. -5 B. 5 C. -6 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后 得到的解析式为：， 化简得：， ∵平移后得到的是正比例函数的图像， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 7. 如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【详解】解：设菱形的高为h，有三种情况： ①当P在AB边上时，如图1， y=AP•h， ∵AP随x的增大而增大，h不变， ∴y随x的增大而增大， 故选项C不正确； ②当P在边BC上时，如图2， y=AD•h， AD和h都不变， ∴在这个过程中，y不变， 故选项A不正确； ③当P在边CD上时，如图3， y=PD•h， ∵PD随x的增大而减小，h不变， ∴y随x的增大而减小， ∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D， ∴P在三条线段上运动的时间相同， 故选项D不正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD的面积的表达式． 8. 下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（ ） 隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤. 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两”，即可列出关于x或y的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两． ∴或或． 故选：D． 9. 下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则；④若，则．其中是真命题的是（ ） A. ②③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题真假，根据对顶角相等，平行线的判定，等式的性质，不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：对顶角相等，故①为真命题； 同位角相等，两直线平行，故②为真命题； 若，则或，故③为假命题； 若，当时，则，故④为假命题； 故选B． 10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】xy2+2xy+x， =x（y2+2y+1）， =x（y+1）2． 故答案为x（y+1）2． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．根据矩形的性质可得，，进一步可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ∵， ， 故答案为：． 13. 不等式组的所有整数解是____________ 【答案】0，1 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为0，1． 故答案为：0，1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 14. 如图，将一个含的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上，过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点.要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移________个单位． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的图像与性质，求解平移后的抛物线解析式是解题的关键．如图，过作轴于，由抛物线的顶点为，求出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质证明，从而得到的坐标，再写出向下平移个单位后的抛物线的解析式，代入的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图，过作轴于， 抛物线的顶点为， 对称轴为：， ， ， 解得：， 抛物线为：，点， ，， ， ， ， ，， ， ，设抛物线向下平移个单位后过点， 过点， ， 解得：， 故答案为：． 15. 阅读材料，中用元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价，书中问题与方程有密切联系，其记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形中，与分别相切．问题：过点B做圆的切线，切点为E，交于点F，若，且，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质，切线长定理，正方形的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键．设为与的切点，为与的切点，连接，，，根据圆的切线性质，和切线长定理得，，，，，由，得到，设半径为，则，，在中，利用，即可求解． 【详解】解：设为与的切点，为与的切点，连接，，， 是切线，、、是切点， ，，，，， 正方形中，，又， ， ， ， ，，，， 四边形为正方形， 设半径为，则，， 在中，， 解得． 故答案为：． 三、计算题（每题5分，共10分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、解一元二次方程，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式和绝对值、计算乘方，再加减计算即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ，，， ， ， 解得：，． 17. 、两地相距千米，甲车从地出发匀速开往地，乙车同时从地出发匀速开往地，两车相遇时距地．已知乙车每小时比甲车多行驶． （1）求甲、乙两车的速度； （2）若、辆车分别以初速继续在一条长为的道路上相向而行，若经过时两车在没有相遇的条件下相距不超过，求的取值范围． 【答案】（1）甲车的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、不等式的应用，理解题意列分式方程、不等式求解是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/时，乙车的速度为千米/时，根据两车相遇时距地，结合“时间路程速度”列分式方程求解即可，注意分式方程的解要代入原分式方程检验； （2）根据“经过时两车在没有相遇的条件下相距不超过”，列不等式求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设甲车的速度是千米/时，乙车的速度为千米/时， 由题意得：， 解得，， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲车的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：． 18. 2024年4月10辽宁省教育厅下发《关于面向39个产粮大县送教活动的通知》后，我市有关部门积极落实文件要求，小亮的班主任李老师承担了向锦州市北镇县送教任务，为了让学生了解锦州市粮食的产量情况，增强节约粮食的意识，送教前李老师给同学们布置了一项调查活动，调查锦州市历年粮食产量的相关情况，小亮同学查阅锦州市统计局公布的相关资料，了解了2018—2023年锦州市粮食总产量及其增长速度的情况，并将数据整理后绘制了如下条形统计图和不完整的折线统计图： （注：，统计图右边的纵轴表示本年粮食总产量比上一年粮食总产量的增长速度） 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）求年全市粮食总产量的中位数； （2）求2023年全市粮食总产量比2022年全市粮食总产量多多少？并将粮食增长速度的折线统计图补充完整； （3）小亮的同桌小红说：在年全市粮食总产量中，2019年全市粮食总产量增长速度是最快的，高达，因此可以推断这6年中，2019年全市粮食总产量是最高的．小红的说法是否正确，请说明理由． 【答案】（1）中位数为254.45万吨 （2）8.8万吨，补全图形见解析 （3）说法不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数、折线统计图、条形统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用，能从统计图中获取数据是解此题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可得出答案； （2）求出2023年全市粮食总产量比2022年全市粮食总产量多多少，从而得出2023年全市粮食总产量比2022年全市粮食总产量的增长速度，再补全折线统计图即可； （3）根据粮食总产量不但与增长速度有关，还与增长基数有关说明理由即可． 【小问1详解】 解：将年6年全市粮食总产量由小到大排列，最中间的两个数据是253.5， 255.4，则中位数为（万吨）． 因此中位数为254.45万吨． 【小问2详解】 解：2023年全市粮食总产量比2022年全市粮食总产量多（万吨）， 2023年全市粮食总产量比2022年全市粮食总产量的增长速度为， 补全折线统计图如图所示． 第18题图 【小问3详解】 解：小红说法不正确， 理由如下：增长速度最高，只能说明2019年粮食的总产量与2018年粮食的总产量差额，是这6年中每年的粮食的总产量与前一年粮食的总产量差额最大的，2021年，2023年粮食的总产量与2019相比还在增长，即粮食产量均超过2019年，所以小红说法不正确． 19. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）13 （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可； （3）利用销售该消毒用品每天销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：（-5x+150）（x-8）=425， 整理得：， 解得：， ∵8≤x≤15， ∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x<19时，w随x的增大而增大， ∴当x=15时，w有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系， 20. 如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）若的半径，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 则， ， ， ． ； 【小问2详解】 如图，， 为的直径， ． ， ， ， ， 又， ． ， ，， 连接，则，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 如图，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，伸缩臂长度可调节，并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是，手机支撑片可绕点B上下转动，，转动角β变动范围是．小明使用该支架进行线上学习，当，且点C离底座的高度不小于时，他才感觉舒适． （1）如图2，当时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求（参考数据：）． （2）如图3，当的情况下，要伸缩到多少厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．（精确到．参考数据） 【答案】（1）托片底部点C离底座的高度为，不符合小明使用的舒适要求； （2）要伸缩到厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用三角函数是解题关键． （1）过点作于点，于点，利用余弦值，求出，进而得到，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作于点，于点，由题意可知，利用三角函数分别求出，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，于点， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， ， ， ，即托片底部点C离底座的高度为， ， 不符合小明使用的舒适要求； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，于点， 四边形是矩形， ， 点C离底座的高度不小于时，才感觉舒适， 点C离底座的最低高度舒适要求为， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 即要伸缩到厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求． 五、解答题（本题23分） 22. 【定义】 例如，如图1，过点A作交于点B，线段长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离． 【探索】 当与x轴平行时，， 当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________． 【应用】 如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处， （1）___________． （2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 【拓展】 （3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？ 【答案】探索： 应用：（1） （2） 拓展:（3） 【解析】 【分析】探索:先求得，再运用勾股定理求得证得，利用相似三角形性质即可求得答案； 应用：（1）延长交轴于点，则利用解直角三角形可得，把 代入即可求得答案； （2）利用待定系数法可得直线的解析式 设则N(t, 可得，进而可得 ，运用二次函数的性质即可得出答案； 拓展：取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大，运用垂径定理可得再利用解直角三角形即可求得答案. 【详解】探索：∵直线为，如图，设直线与轴分别交于点， 令得 ， ∴ ，即 ， 令 ，得， 解得：， ∴，即 ， ∵ 轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 应用：（1）如图， 延长交轴于点，则， ， ，， ， ， ， 把 代入得:， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）知, 设直线的解析式为则 ， 解得：， ， 如图，设 ，则， ， ， ， ∵轴， ， ， ， ， ∴当 时，取得最大值 ， 答：的最大值为 【拓展】如图， 取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大， ， ， 在 中, ， ， ， 又， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 答：最高应为 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的应用，二次函数最值求法，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，圆的性质，垂径定理等，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键. 23. 在数学综合实践课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动，这两张矩形纸片的长为，宽为．将两个完全相同的矩形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，将矩形绕点A顺时针旋转（转动的度数小于），边与边相交于点M． ①当旋转度数为，请求出点F到的距离； ②连接，当时，求的度数； （3）从图2开始，将长方形绕点A旋转一周，若边所在直线恰好经过线段的中点O时，连接，，请直接写出的面积． 【答案】（1）等腰直角三角形，见解析 （2）①或；② （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，证出，则可得出结论； （2）①作于H，由旋转的性质及直角三角形的性质可得出答案； ②由矩形的性质及直角三角形的性质可得出答案； （3）作于，证明，得出，，分两种情况求出的长，则可得出答案． 【小问1详解】 解：等腰直角三角形， 理由：矩形和矩形是完全相同的矩形， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【小问2详解】 ①作于， ∴ 当旋转时，即， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ②∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 【小问3详解】 当线段与交于点时，作于， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 当的延长线交于点时， 由上可知， ∴， ∴ ， 综上所述：的面积是或 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $