22.1.3二次函数 y=a(x-h)²+k的图象和性质(第1课时)（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十二章 二 次 函 数 22.1.3 二次函数的图象和性质 第一课时 22.1二次函数的图像与性质 学 习 目 标 1 2 3 会用描点法画出二次函数的图象 掌握抛物线 与之间的平移规律。 依据具体问题情境建立二次函数模型来解决实际问题。 4 进一步培养学生的数学抽象意识、数学建模意识和逻辑推理能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 知识回顾 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质 y＝ax2 a>0 a<0 图 象 位置 开口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 1.已知抛物线y=ax2(a＜0)过点A（-2，y1）,B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ） A.y1 ＜ 0 ＜ y2 B.y2 ＜ 0 ＜ y1 C.y1 ＜ y2 ＜ 0 D.y2 ＜ y1 ＜ 0 知识回顾 y O x -2 1 D y2 y1 2.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向上 y轴 （0，0） 增大 减小 导入新课 探究点1 二次函数， 的图象 探究 函数y=2x2+1的表达式与y=2x2的表达式有什么相同和不同? 函数y=2x2+1的表达式与y=2x2的表达式二次项相同，但函数y=2x2+1中有常数项 相同的自变量x对应的函数值相差1 对于相同的自变量x，对应函数值有什么不同? 探究点1 二次函数， 的图象 在同一平面直角坐标系中, 画出二次函数y=2x2, y=2x2+1, y=2x2-1的图象. 说一说 y=2x2+1 的图象与y=2x2的图象开口大小和方向相同吗？ y=2x2-1的图象与y=2x2的图象开口大小和方向相同吗？ 探究点1 二次函数， 的图象 探究 在同一平面直角坐标系中, 画出二次函数y=2x2, y=2x2+1, y=2x2-1的图象. y=2x2的大致图象 猜 想 请同学们按照“列表、描点、连线”的顺序在同一坐标系里画出函数图像 活 动 新知探究 新知探究 探究点1 二次函数， 的图象 列 表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … y = 2x2+1 y = 2x2 y = 2x2 -1 描 点 连 线 三个函数的增减性相同吗？ 三个函数的最值各是多少？ 解： x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 -1 -2 说一说 y=2x2函数当x=0时有最小值，此时y=0 y=2x2+1函数当x=0时有最小值，此时y=1 y=2x2-1函数当x=0时有最小值，此时y=-1 相同 7 新知探究 探究点1 二次函数， 的图象 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 -1 y = 2x2+1 y = 2x2 y = 2x2 -1 -2 说一说 抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 y=2x2 y=2x2+1 y=2x2-1 观察图象，完成下表 向上 向上 向上 （0,0） （0,1） （0,-1） y轴 y轴 y轴 增减性：当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 相同点： 开口方向相同、形状相同，对称轴都是y轴。 不同点： 顶点坐标发生了改变。 新知探究 探究点1 二次函数， 的图象 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 -1 y = 2x2+1 y = 2x2 y = 2x2 -1 -2 x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 抛物线 上的点（x， ） ，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在什么抛物线上？ 说一说 加1 减1 ٭将抛物线 上的点（x， ）纵坐标都加1，相应的点在抛物线的上； ٭将抛物线 上的点（x， ）纵坐标都减1，相应的点在抛物线的上； 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 与抛物线y=2x2 有什么关系？ 把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ； 把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 . 下 y=2x2+1 上 y=2x2-1 探究点1 二次函数， 的图象 说一说 ٭将抛物线 向上（下）平移1个单位长度，得到抛物线（ ）。 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 -2 y = 2x2+1 y = 2x2 y = 2x2 -1 新知探究 典例分析 例1．已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点． (1)分别写出A、B、C三点坐标：A______，B______，C______； (2)在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像示意图； (3)任写出两条该函数图像具备的特征： ① ；② ; (4)怎样通过平移抛物线得到抛物线 ？ 解：（1）令 ∴ 或 ∵A在B左侧 ∴ A点坐标（-2,0）， B点坐标（2,0）， 令得 ∴C点坐标（0,-4） （-2,0） （2,0） （0,-4） A C B 开口向上 当x＞0时，y随x的增大而增大. （4）将抛物线上的点的纵坐标都加4，得到的点(, ) ,这个点在抛物线 上，所以抛物线 向上平移4个单位，得到抛物线 . 探究点2 二次函数的图象 新知探究 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象: 做一做 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 -2 【教材P33练习】 解：列表： x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· ··· 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 ··· ··· 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 ··· 增减性：当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 相同点： 开口方向相同、形状相同，对称轴都是y轴。 不同点： 顶点坐标发生了改变。 探究点2 二次函数的图象 新知探究 议一议 抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？ y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) y = ax2 k k 抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位. 向上 向下 |k| 平移前后图象的开口方向、对称轴不变， 对称轴左右两侧的增减性不变， 顶点的横坐标不变，纵坐标随k变化. 探究点2 二次函数的图象 新知探究 在同一坐标系内画出 y = -2x² + 2，y = -2x² - 1 的图象并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=-2x2+2 … -2.5 0 1.5 2 1.5 0 -2.5 … y=-2x2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … y=-2x2-1 … -5.5 -3 -2.5 -1 -2.5 -3 -5.5 … O 1 -1 2 x y -1 -2 y = -2x2 - 1 y = -2x2 y = -2x2 + 2 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向下 y 轴 (0，2)， (0，−1) 做一做 探究点2 二次函数的图象 新知探究 (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________. (6) 函数的增减性都相同： __________________________ ___________________________. 高 大 y = −1 y = 2 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大， 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 1 O -1 2 x y -1 -2 y = -2x2 y = -2x2 + 2 把抛物线y=-2x2 向 平移2个单位长度，就得到抛物线 ； 把抛物线y=-2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 . 观察图象可以发现 下 y=-2x2-1 上 y=-2x2+2 y = -2x2 - 1 探究点2 二次函数的图象与性质 新知探究 y=ax2+k a＞0 a＜0 图 象 开口方向 对 称 轴 顶点坐标 最 值 增 减 性 注意：k带前面的符号！ 向上 向下 y轴（x=0） （0,k） 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小； 当x＜0时，y随x的增大而增大. y O x y O x 典例分析 例2．已知函数 是关于 的二次函数． (1)求二次函数的解析式； (2)当为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当为何值时，该函数有最小值？ ∴当=1时，该函数有最小值． （1）解： ∵函数是关于x的二次函数 解得：1= -4，2=1 ∴二次函数的解析式为：y=-x2-5 或 y=4x2 （2）解：∵函数图象的开口向下， ∴ ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值 ∴ = -4，或=1 探究点3 二次函数模型解决实际问题 新知探究 例3．某桥洞为抛物线形，水面宽 AB=6米，桥洞顶点C到水面的距离为3米。 (1)求这个桥洞所在抛物线的解析式； (2)若水面再上升1米，求水面的宽度．（结果保留根号） 解：（1）由图得：C(0 , 3) ， ∵AB=6米， ∴OB=AB=3米， ∴B (3 , 0)， 设抛物线的解析式为， 将点B (3,0) 代入得： ， 解得： = ， 抛物线的解析式为． （2）当 时， ， 解得： ， 此时水面的宽度为： （米） 拓展提升 1．如图，一工厂大门为抛物线形，现量得地面的宽度AB=8 米，大门顶端距离地面4米．为了迎接国庆节，需在大门C，D两点处拉一条彩色丝带作装饰，若彩色丝带的宽度忽略不计，且丝带所在的直线与地面平行，当丝带到大门顶端的距离为0.5 米时，求此彩色丝带所需要的长度． 解：以 AB中点为原点，AB 所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系，如图， y O x ∵大门顶端距离地面4米． ∴抛物线顶点坐标为（0,4） ∵AB=8米， ∴点A 的坐标为 （-4,0）， 点 B的坐标为（4,0） ， 设抛物线的解析式为： ， 将（4,0） 代入解析式， 得 ， 解得， ∵丝带到大门顶端的距离为 0.5米， 点C ，D 的纵坐标为: 4-0.5=3.5(米) ， 当3.5米 时， ， 解得 ， ∴CD= （米）， 答：此彩色丝带所需要的长度为 米． ∴抛物线的解析式为 ， 巩固练习 1.已知，在平面直角坐标系中，二次函数的顶点A(0,-4) ，且过点B（-1,1） ． （1）求二次函数解析式; （2）这个函数图象有最高点还是最低点？点的坐标是什么？ 解：（1）由题意得，设二次函数的解析式为 ， 将 B（-1,1）代入得： ， 解得： ， 二次函数解析式为： . （2）∵ ∴这个函数图象的开口向上， 函数图象有最低点，这个点是A(0,-4) 巩固练习 2.若点A（1，y1）、B（2，y2）、 C（-6，y3）是二次函数y＝－x2＋2图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） A． y1 >y2> y3 B． y1 >y3> y2 C． y2 >y1> y3 D． y2 > y3 > y1 A y O x 2 ∵ ∴当x＞0时，y随x的增大而减小 ∵ ∴ ∴当x=±6时，y= y3 ∵二次函数y＝－x2＋2对称轴为y轴 解析： 真题感知 1．（2025上·江苏南京·九年级统考期末）已知二次函数y＝ax2＋c 的图像经过点（-2,8）和（-1,5） ，求a、c的值． 解：将点（-2,8）和（-1,5）代入y＝ax2＋c，得： 解得： 2．（2025上·广东汕尾·九年级阶段考试）已知二次函数 y＝ -x2＋1 ． (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x … -2 -1 0 1 2 … y … -3 0   0   … 1 -3 (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足 ，则 （比较大小）． （1）∵时， y＝0 ； 时， y＝0 ， ∴抛物线的对称轴为: 直线 ，即y 轴， 当时， y＝1 ， ∴抛物线的顶点坐标为(0,1) ， y 轴 (0 , 1) （3）∵ ， ∴抛物线开口向下， 在 y轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∵ ， ∴ ＜ ， ＜ 解： 真题感知 课堂小结 （1）抛物线y=ax2+k图像特征 抛物线y=ax2+k y=ax2+k（a＞0） y=ax2+k（a＜0） 图 象 开口方向 顶点坐标 对称轴 y O x y O x 向上 向下 y轴（x=0） （0,k）（最低点） y轴（x=0） （0,k）（最高点） 对于抛物线y=ax2+k ， 越大，抛物线的开口越小。 课堂小结 （2）二次函数y=ax2+k性质 y O x y O x 当a＞0对称轴两侧左降右升 a＜0 ٭如果a＞0， 当x＜0 时, y随x 的增大而减小， 当 x＞0时，y 随 x的增大而增大； a＞0 当a ＜ 0对称轴两侧左升右降 ٭如果 a＜0 ， 当x＜0 时, y随 x的增大而增大， 当 x＞0时， y随x 的增大而减小. 从二次函数 y=ax2+k的图象可以看出 课堂小结 （3）抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系 y = ax2 y = ax2 + k (k＞0) y = ax2 y = ax2 - k (k＞0) 向上平移 k 个单位 向下平移 k 个单位 上下平移规律： 二次项不变，常数项上加下减. 课后作业 探究性作业 已知 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． （3）直接写出将此函数图象向下平移4个单位得到的函数图象的解析式 解得k = -3； （2）由（1）得二次函数的解析式为y = -x2 ， y = -x2 的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴． （3）函数图象的解析式为y = -x2-4 . 解：（1）由 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得 感谢聆听! $$