第01讲 任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式 目录 01 常考题型过关练 题型01 终边相同的角的集合 题型02 等分角与倍角 题型03 扇形弧长、面积、周长 题型04 三角函数定义 题型05 ①②③ 知一求二 题型06 与分式，多项式求值 题型07 利用诱导公式化简 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 终边相同的角的集合 1．下列各组角终边相同的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．若角，，则符合条件的角的最大负角为（    ） A． B． C． D． 3．下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 4．已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 02 等分角与倍角 5．若为第四象限角，且，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6．已知是锐角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于的正角 D．第一或第二象限角 7．已知角是第三象限角，则是第 象限角. 03 扇形弧长与面积，周长 8．已知扇形的圆心角为2，弧长为，面积为，扇形所在圆的半径为，则取最小值时，半径的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 10．受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（   ） A．2 B． C． D．3 11．（2025·北京昌平·二模）如图，正方形的边长为1，点在直线上．是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，．．．，依次类推，其中点，共线，点，共线，点共线，点共线．则的长度为 ；由上述圆弧组成的曲线与直线恰有7个交点时，曲线长度的最小值为 ． 12．已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为 . 13．如图，在半径为的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过弧度，黑蚂蚁每秒爬过弧度（其中），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，求它们从出发后到第二次相遇黑蚂蚁爬过的路程． 04 三角函数定义 14．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 15．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 16．如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点．若，，，则（   ） A． B． C． D． 17．已知和关于对称，写出一个满足条件的 18．已知角的终边落在上，则 ． 05 ①②③ 知一求二 19．若A是的内角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 20．若，则（   ） A． B． C． D． 21．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 22．已知是关于的方程的两个实根，则的值为 ． 23．已知在中，，则 ． 24．若，则 ． 06 与分式，多项式求值 25．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．已知，则 . 27．已知，则的值为 ． 28．计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2) （i）求的值 （ii）求的值 29．已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 07 利用诱导公式化简 30．已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 31．若，则（    ） A． B． C． D． 32．化简 33．在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求实数及相应的值； (2)当时，化简并求值. 34．化简求值： (1)； (2)； (3)若，求的值． 1．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·三模）已知集合则集合M的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2025·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，写出一个符合题意的 . 5．（2025·北京石景山·一模）如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为 1．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 3．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式 目录 01 常考题型过关练 题型01 终边相同的角的集合 题型02 等分角与倍角 题型03 扇形弧长、面积、周长 题型04 三角函数定义 题型05 ①②③ 知一求二 题型06 与分式，多项式求值 题型07 利用诱导公式化简 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 终边相同的角的集合 1．下列各组角终边相同的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据终边相同的角相差（或）的整数倍，逐项判断可得答案. 【详解】A.∵，不是的整数倍， ∴与终边不相同，选项A错误. B.∵，， ∴与终边相同，选项B正确. C.∵，不是的整数倍， ∴与终边不相同，选项C错误. D.∵，不是的整数倍， ∴与终边不相同，选项D错误. 故选：B. 2．若角，，则符合条件的角的最大负角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负角可得，从而可求最大负角. 【详解】由，得. 又，所以角符合条件的最大负角为. 故选：B. 3．下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知角和选项中的角的度数的差是否为的整倍数即可判断. 【详解】对于A项，因不是的整倍数，故A项错误； 对于B项，因不是的整倍数，故B项错误； 对于C项，因，故C项正确； 对于D项，因不是的整倍数，故D项错误. 故选：C. 4．已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 【答案】(1)，角是第二象限角． (2)，． 【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同， 又，所以角α是第二象限角． （2）因为与角终边相同的角（含角在内）为， 所以由，得． 因为， 所以或． 当时，； 当时，， 故在区间上与角终边相同的角是，． 02 等分角与倍角 5．若为第四象限角，且，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】若为第四象限角，得到范围，进而得到范围及象限. 【详解】为第四象限角，，，则，.又，则为第四象限角， 故选：D. 6．已知是锐角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于的正角 D．第一或第二象限角 【答案】C 【分析】根据是锐角求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】因为是锐角，所以，所以，满足小于的正角. 其中D选项不包括，故错误. 故选：C. 7．已知角是第三象限角，则是第 象限角. 【答案】第一或第二，或终边在轴正半轴上的角 【分析】由象限角的概念分的取值范围讨论即可. 【详解】角是第三象限角，则，∴，， 当，时，是第一象限角， 当，时，是终边在轴正半轴上的角（轴间角）， 当，时，是第二象限角， 综上所述，是第一或第二象限角，或终边在轴正半轴上的角. 故答案为：第一或第二，或终边在轴正半轴上的角. 03 扇形弧长与面积，周长 8．已知扇形的圆心角为2，弧长为，面积为，扇形所在圆的半径为，则取最小值时，半径的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据弧长和扇形的面积公式，将转化为关于的函数，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为扇形的圆心角为2，扇形所在圆的半径为， 所以弧长，面积， 所以， 当且仅当时取等号， 故选：B. 9．如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积. 【详解】 如图所示，根据已知和图形知， 设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即， 在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知， 由扇形面积公式可得， 易知以直径的半圆的半径为，即，于是， 故选：A. 10．受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据扇形的面积公式及弧长公式列出方程计算即可. 【详解】由题意可得圆弧六边形的面积为： ①， 圆弧六边形的周长为： ，即②， 联立①②，解得，，所以. 故选：D 11．（2025·北京昌平·二模）如图，正方形的边长为1，点在直线上．是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，．．．，依次类推，其中点，共线，点，共线，点共线，点共线．则的长度为 ；由上述圆弧组成的曲线与直线恰有7个交点时，曲线长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出所在圆的半径，求解的长度；当圆弧组成的曲线与直线恰有7个交点时，要使曲线长度的最小，即由围成，运算得解. 【详解】由题可知，所在圆的半径为6，所以的长度即个圆弧， 所以的长度为； 当圆弧组成的曲线与直线恰有7个交点时，此时与直线的交点为， 曲线长度的最小，即由下面12个圆弧围成， ， 它们的圆弧半径依次为， 所以曲线长度的最小值为. 故答案为：；. 12．已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为 . 【答案】 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，即 则， 所以，解得，即该扇形周长为. 故答案为：. 13．如图，在半径为的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过弧度，黑蚂蚁每秒爬过弧度（其中），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，求它们从出发后到第二次相遇黑蚂蚁爬过的路程． 【答案】 【详解】解：由题意知，，所以．又，所以．所以，即．第一次相遇的时间为，第二次相遇的时间为出发后的第，圆的半径为1，所以黑蚂蚁爬过的路程为． 04 三角函数定义 14．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，由，利用三角函数定义可得点Q的纵坐标. 【详解】设点的坐标为，由， 有，解得， 所以点的纵坐标为. 故选：C. 15．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在单位圆上，且终边在第三象限，求出，再求出. 【详解】在单位圆上，， 又终边在第三象限，，，， . 故选：C. 16．如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的三角函数的定义及点A的坐标求出和，再结合求出，进而利用两角差的余弦公式求解结果． 【详解】∵角和的顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 17．已知和关于对称，写出一个满足条件的 【答案】（答案不唯一，） 【分析】根据给定条件，列出等式，利用和角公式化简即得. 【详解】点和关于对称， 则，由，得，则，， 由，得，则， ， 因此，取. 故答案为： 18．已知角的终边落在上，则 ． 【答案】 【分析】根据已知可得，再应用同角三角函数关系及齐次式的求法求值即可. 【详解】角的终边落在上， ， ． 故答案为： 05 ①②③ 知一求二 19．若A是的内角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的基本关系中的平方关系求解即可，，的根据条件求，再将齐次式化简求值. 【详解】由可得， 即， 即,, ①，所以； 所以， 所以. ②，所以； 所以， 所以. 故选：A 20．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件同时平方，再根据，化简得，再根据正弦二倍角公式即可求得. 【详解】已知，两边同时平方得，即， 又，得，即，所以. 故选：A. 21．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题中条件、完全平方公式与同角三角函数的平方关系可求出即可判断选项A；根据的符号及的范围可判断，，再利用完全平方公式与同角三角函数的平方关系以及选项A中结论即可判断选项B；根据的值和的值可解出，的值，进而可求，利用诱导公式即可判断选项C；根据二倍角的正切公式即可判断选项D. 【详解】， ， ，故选项A错误； ，. 又，，. 又， ∴，故选项C错误； 联立方程组，解得，∴. ∴，，故选项B错误，选项D正确. 故选：D. 22．已知是关于的方程的两个实根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用韦达定理，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】因为，是关于的方程的两个实根， 可得，平方可得，可得， 所以. 故答案为： 23．已知在中，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式、二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】在中，由，得，解得， 而，则，, 所以. 故答案为： 24．若，则 ． 【答案】 【分析】将已知条件两边平方得，再由商数关系及平方关系求目标式的值. 【详解】由，则， . 故答案为： 06 与分式，多项式求值 25．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合诱导公式以及两角和差公式可得，再根据齐次式问题分析求解. 【详解】由题意得，解得， 所以. 故选：A. 26．已知，则 . 【答案】 【分析】利用和角的正切公式求出，再利用齐次式法求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故答案为： 27．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】应用二倍角余弦公式化简结合弦化切计算求解. 【详解】由题意有. 故答案为：. 28．计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2) （i）求的值 （ii）求的值 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用同角公式列出方程求解. （2）（i）（ii）利用齐次式法求解. 【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得， 所以. （2）由，得（i）； （ii）. 29．已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式列式计算得解. （2）利用诱导公式化简，再利用齐次式法计算得解. 【详解】（1）依题意，，由是第二象限角，得， 又，解得，所以. （2）． 07 利用诱导公式化简 30．已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义先求，再利用诱导公式化简即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 31．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件式利用诱导公式及正余弦的齐次式化简得，再利用两角差的正切公式求解. 【详解】 ， 即，解得， 则. 故选：A. 32．化简 【答案】 【分析】由诱导公式化简即可. 【详解】原式. 故答案为：. 33．在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求实数及相应的值； (2)当时，化简并求值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由三角函数的定义建立方程，求得解，分情况求得函数值，可得答案； （2）由题意求得正弦值与余弦值，利用诱导公式与同角三角函数关系式，可得答案. 【详解】（1）根据三角函数的定义得，解得或， 当时，，， 当时，. （2）由可知，此时，， 原式. 34．化简求值： (1)； (2)； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）根据诱导公式化简即可； （3）先根据诱导公式化简，再结合同角求值进行切弦互化，即可求解. 【详解】（1）； （2） ； （3）由，得， 所以，又， 所以. 1．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，利用诱导公式和倍角公式得到AB错误，C正确，举出反例得到D错误. 【详解】由题意得， A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，若，此时，D错误. 故选：C 2．（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】接根据三角函数的定义可求出，再由诱导公式和二倍角余弦公式化简即可得出答案. 【详解】由三角函数的定义可得， 所以. 故选：B. 3．（2025·北京·三模）已知集合则集合M的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由，求出，即可求出，进而求出的值，可得答案. 【详解】因为，所以或， 所以或， 所以或， 若为偶数，则或， 若为奇数，则或， 所以或或或. 故选：B. 4．（2025·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，写出一个符合题意的 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据终边相同的角以及余弦函数的定义，计算即可. 【详解】由题意，，则或 故答案为：（答案不唯一）. 5．（2025·北京石景山·一模）如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为 【答案】/0.6 【分析】先根据三角函数的定义可得，进而结合诱导公式求解即可. 【详解】由题意，点的横坐标为，则， 则. 故答案为：. 1．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接， 因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故选：B. 2．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 3．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ． 【答案】 【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求． 【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理 ∵，∴，即， 即，令，， 则，∴，即， ∴ ， 则. 故答案为：；. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程 ∵，∴，即， 又，将代入得，解得， 则. 故答案为：；. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$